惠州一中高一数学竞赛1答案

1.H 在ABC ∆内部，则tan tan tan 0A HA B HB C HC ⋅+⋅+⋅= ⇔H 是ABC ∆的________心． 2．已知非零向量AB 和AC 满足条件()0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且12||||AB AC AB AC ⋅=，则ABC ∆是___________三角形．3.已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为4.已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，(2)(2)0f x f x +--=，且2()13f =，则1000()3f = ． 5.设函数2()min{1,1,1}f x x x x =-+-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者．若(2)()f a f a +>，则实数a 的取值范围为 ．6.已知n n n a a a a x a x a x a x f ,,,,)(321221且+++=成等差数列，n 为正偶数，又n f n f =-=)1(,)1(2，试比较)21(f 与3的大小。

7．等比数列{}n c 满足(){}1*1104,n n n n c c n N a -++=⋅∈数列的前n 项和为n S ，且2log .n n a c = （1）求,n n a S ； （2）数列{}{}1,41n n n n n b b T b S =-满足为数列的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得1,,m k T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m k 的值；若不存在，请说明理由.8．已知函数21()32f x x =+，()h x =． (1)设a R ∈，解关于x 的方程)]4([log )]([log ]43)1(23[log 224x h x a h x f ---=--；(2)试证明：2011()(20)(20)6k h k f h =<-∑．9．已知10≠>a a 且，函数])1,1[()(-∈+=-x a a x f x x ，])1,1[(42)(2-∈-+-=x a ax ax x g ． （1）求)(x f 的单调区间和值域；（2）若对于任意]1,1[1-∈x ，总存在]1,1[0-∈x ，使得()()01g x f x =成立，求a 的取值范围； （3）若对于任意]1,1[0-∈x ，任意]1,1[1-∈x ，都有)()(10x f x g ≥恒成立，求a 的取值范围．10.已知),,(42)(2R c b a c bx ax x f ∈++=.（1）当0≠a 时，若函数)(x f 的图象与直线x y ±=均无公共点，求证：;4142>-b ac （2）43,4==c b 时，对于给定的负数8-≤a ，记使不等式5|)(|≤x f 成立的)(a M .问为何值时，)(a M 最大，并求出这个最大的)(a M ，证明你的结论.7．（本题满分14分）解:（1）由已知得，40,103221=+=+c c c c ，所以公比4=q ． 2分10411=+c c ，得21=c ，即121242--=⋅=n n n c ， 4分所以212log 221n n a n -==-， 5分21()[1(21)]22n n n a a n n S n ++-===． 6分 （2）由（1）知211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，于是11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 9分 假设存在正整数(),1m k m k <<，使得1,,m k T T T 成等比数列，则2121321m k m k ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭， 10分可得2232410m m k m -++=>，所以22410m m -++>，从而有11m <<， 由,1m N m *∈>，得2m =， 13分 此时12k =.所以，当且仅当2m =，12k =时，1,,m k T T T 成等比数列. 14分8． 解：（1）原方程可化为422log (1)log log x -=即为42log (1)log x -=， 亦即为14a x x x --=-且14x ax <⎧⎨<<⎩， 亦即为2640x x a -++=，且14x ax <⎧⎨<<⎩， 2分① 当1a ≤时，显然原方程无解．② 当41≤<a 时，则1x a <<，此时，()364+42040a a ∆=-=->，632x ±==±因a a >≥-+453，a a <--<531，所以原方程仅有一解3x =-③ 当4>a 时，则14x <<，204a ∆=-，若54<<a ，则0∆>，原方程有两解3x =±若5a =，则0∆=，原方程有一解3x =；若5a >，则204a ∆=-0<，原方程无解． 综上，当14a <≤时，原方程有一解3x =- 当54<<a时，原方程有二解3x =±当5a =时，原方程有一解3x =；当1a ≤或5a >时，原方程无解． 6分（2）由已知得201()20k h k ==++++∑，(1()()436f x h x x =+因为(1(2)(2)(1)(1)76f h f h -=->+-16=+->(1(3)(3)(2)(2)6f h f h -=->+-16=+->……(1(20)(20)(19)92079196f hf h -+16=+->12分所以(20)(20)(1)(1)20f h f h ->+++，即7(20)(20)3206f h->+++， 所以1(20)(20)6f h-20=++++，所以不等式2011()(20)(20)6k h k f h =<-∑成立． 14分 9. 解：（1）任取11]1,1[2121≤<≤--∈x x x x ，且、，则)11)(()()(212121x x x x aa a ax f x f --=-． ……….1分 若1>a ，当时，，且、10]1,0[2121≤<≤∈x x x x0)11)(()()(212121<--=-x x x x a a a a x f x f ， 则)(x f 在[0，1]上递增． ……….2分 ∵)()(x f x f =-∴)(x f 为偶函数，则)(x f 在[-1,0]为减函数． ……….3分 因此)(x f 的值域为]1,2[aa +． ……….4分 同理，若10<<a ，则在[0，1]上为减函数；在]0,1[-上为增函数； ……….5分)(x f 的值域为]1,2[aa +． ………6分（2）a x a x g 24)1()(2-+-= ，在[－1，1]上递减，∴)(x g 在[-1,1]上的值域为]24,24[a a +-． ……….7分 ∵任意的]1,1[1-∈x ，总存在]1,1[0-∈x ，使得()()01g x f x =成立， ∴⊇+-]24,24[a a ]1,2[aa +， ………8分 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥+≤-≠>a a a a a a 12422410且． ∵10.≠>a a 且，∴a 的取值范围为1>a ． ……….10分 （3）∵任意的]1,1[0-∈x ,任意的]1,1[1-∈x ，使得)()(10x f x g ≥恒成立，∴)()(max min x f x g ≥， ……….12分即⎪⎩⎪⎨⎧+≥-≠>a a a a a 12410且，解得131<≤a ， ………13分 ∴a 的取值范围为)1,31[． ………14分10.解：(1)由),,(42)(2R c b a c bx ax x f ∈++=与直线x y ±=均无公共点（0≠a ），可知x c bx ax ±=++422无解， ………………1分 由04)12(2=+++c x b ax 无解，得：016)12(2<-+=∆ac b ， 整理得：b b ac +>-4142 (1) ………………3分 由04)12(2=+-+c x b ax 无解，得：016)12(2<--=∆ac b ， 整理得：b b ac ->-4142 (2) ………………5分由(1),(2)得: 4142>-b ac . ………………6分 (2) 由43,4==c b ，所以38)(2++=x ax x f ………………7分 因为a a f 163)4(-=-, 由8-≤a 得，5163)4(≤-=-aa f ………………9分 所以()5f x ≤恒成立，故不等式5|)(|≤x f 成立的x 的最大值也就是不等式()5f x ≥-成立的x 的最大值，…………10分 因此)(a M 为方程5382-=++x ax 的较大根，即aaa M 2424)(---=（8-≤a ） ………………11分当8-≤a时，()M a ==a 的增函数， ………………13分 所以，当8a =-时，)(a M 取得最大值，其最大值为251)(+=a M . ………………14分。