山西大同市第一中学2025届高三第二学期第三次教学质量检测试题数学试题

山西大同市第一中学2025届高三第二学期第三次教学质量检测试题数学试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数2()22cos f x x x =
-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
，再向右平移8
π
个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．3,18⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
π C ．3,08⎛⎫
-
⎪⎝⎭
π D ．3,18⎛⎫
-
⎪⎝⎭
π 2．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．
1211e e
r R e e ++-- B ．
111e e
r R e e ++-- C ．1211e e
r R e e
-+++ D ．
111e e
r R e e
-+++ 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212
*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( ) A ．
()
12
n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++
4．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）
A ．0.30.4
3(log 0.3)(2)(2)f f f -->> B ．0.40.3
3(log 0.3)(2)(2)f f f -->> C ．0.30.4
3(2)(2)(log 0.3)f f f -->>
D ．0.40.3
3(2)(2)(log 0.3)f f f -->>
5．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤
B ．0x ∃∈R ，2
00x ≤.
C ．0x ∃∈R ，2
00x >
D ．x ∀∉R ，20x ≤.
6．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥
B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥
C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥
D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥
7．当输入的实数[]
230x ∈，
时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）
A ．
9
14
B ．
514
C ．
37
D ．
928
8．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.
由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'
2357︒'
2413︒'
2428︒'
2444︒'
正切值 0.439 0.444
0.450
0.455
0.461
年代
公元元年
公元前2000年
公元前4000年
公元前6000年
公元前8000年
根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年
B ．公元前4000年到公元前2000年
C ．公元前6000年到公元前4000年
D ．早于公元前6000年
9．已知函数()2
943,0
2log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩
，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,
2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B ．()1,0-
C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．()4,5
10．设12,x x 为()()3sin cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．π
B ．
2
π C ．
3
π D ．
4
π 11．设集合{
}
2
320M x x x =++>，集合1{|()4}2
x
N x =≤ ，则 M N ⋃=（ ）
A ．{}
2x x ≥-
B ．{}
1x x >-
C ．{}
2x x ≤-
D ．R
12．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．c a c b -<-
B ．22ac bc >
C ．
11a b
< D ．
1b a
< 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设()122331010
1010101010190909019090k
k k n C C C C C =-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+，则n 除以88的余数是______. 14．在如图所示的三角形数阵中，用().i j a i j ≥表示第i 行第j 个数()
*,i j N ∈，已知()*.1i 11
12
i a i N -=-
∈，且当3i ≥时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即(). 1.1 1.21i j i j i j a a a j i ---=+≤≤-，若.22019m a >，则正整数m 的最小值为______.
1
10
1
12
2
331
4
4
77778
4
4
8
152********
8
28
16
111122n n --⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
-⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
-
15．在平面直角坐标系中，已知
，若圆
上有且仅有四个不同的点C ，使得△ABC 的面
积为5，则实数a 的取值范围是____.
16．若5
2ax x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为240，则实数a 的值为________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，37
2
S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设(21)2
n
n n a b -=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．（12分）已知函数f(x ）=xlnx ，g(x)=
23
2
x ax -+-, （1）求f(x)的最小值；
（2）对任意(0,)x ∈+∞，()()f x g x ≥都有恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12
ln x
x e ex
>
-成立． 19．（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm ），得到如下的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）；
（2）若从这80个零件中尺寸位于[)62.5,64.5之外的零件中随机抽取4个，设X 表示尺寸在[]64.5,65上的零件个数，求X 的分布列及数学期望EX ；
（3）已知尺寸在[)63.0,64.5上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率. 现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个. 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已
知每个零件的检验费用为99元. 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.
20．（12分）已知椭圆E ：22
221x y a b
+=的离心率为12，左、右顶点分别为A 、B ，过左焦点的直线l 交椭圆E 于C 、
D 两点（异于A 、B 两点），当直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为1． （1）求椭圆的方程；
（2）设直线AC 、BD 的交点为Q ；试问Q 的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
21．（12分）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .设S 为ABC 的面积，满足()22
234
S a c b =+-. (1)求B ； (2)若3b =
，求
(
)
312a c -+的最大值.
22．（10分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到22⨯列联表如下：
（1）将上22⨯列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？ （2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X ，求X 的分布列及期望.
（参考公式：()()()()()
2
2
n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解题分析】
先化简函数解析式,再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律,可得所求函数的解析式为2
2sin 13
4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,
再由正弦函数的对称性得解. 【题目详解】
23sin 22cos y x x =-
()
21cos 2x x =-+2sin 216x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭,
∴将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为
2
2sin 13
6y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,
再向右平移
8
π
个单位长度,所得函数的解析式为 22sin 1386y x ππ⎡⎤
⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
2
2sin 13
4x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,
233,3428
x k x k k Z ππ
ππ-=⇒=+∈， 0k =可得函数图象的一个对称中心为3,18⎛⎫
- ⎪⎝⎭
π，故选D.
【题目点拨】
三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解． 2、A
【解题分析】
由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离. 【题目详解】
椭圆的离心率：=(0,1)c
e a
∈，（ c 为半焦距; a 为长半轴），
设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r ，n ，如图：
则,n a c R r a c R =+-=--
所以1r R a e +=
-,()1r R e
c e
+=-, ()121111r R e r R e e
n a c R R r R e e e e
+++=+-=+-=+----
故选：A 【题目点拨】
本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题. 3、C 【解题分析】
根据已知条件判断出数列{}1n S +是等比数列，求得其通项公式，由此求得n S . 【题目详解】
由于()()()212
*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，所以数列{}1n S +是等比数列，其首项为11112S a +=+=，第二项为
212114S a a +=++=，所以公比为
4
22
=.所以12n n S +=，所以21n n S =-. 故选：C 【题目点拨】
本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题. 4、D 【解题分析】
利用()f x 是偶函数化简()3log 0.3f ，结合()f x 在区间()0,∞+上的单调性，比较出三者的大小关系. 【题目详解】
()f x 是偶函数，()33
31010log 0.3(log )(log )33
f f f ∴=-=， 而0.30.43
10
log 12203-->>>>，因为()f x 在(0,)+∞上递减， 0.30.4310
(log )(2)(2)3
f f f --∴<<，
即0.30.4
3(log 0.3)(2)(2)f f f --<<．
故选:D 【题目点拨】
本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题. 5、B 【解题分析】
根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【题目详解】
根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，2
00x ≤
本题正确选项：B 【题目点拨】
本题考查含量词的命题的否定，属于基础题. 6、C 【解题分析】
根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果. 【题目详解】
对于A ，当m 为α内与n 垂直的直线时，不满足m α⊥，A 错误； 对于B ，设l α
β=，则当m 为α内与l 平行的直线时，//m β，但m α⊂，B 错误；
对于C ，由m β⊥，n β⊥知：//m n ，又n α⊥，m α∴⊥，C 正确； 对于D ，设l αβ=，则当m 为β内与l 平行的直线时，//m α，D 错误.
故选：C . 【题目点拨】
本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础
题. 7、A 【解题分析】
根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出x 的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论. 【题目详解】
程序框图共运行3次，输出的x 的范围是[]
23247，
， 所以输出的x 不小于103的概率为24710314492472322414
-==-.
故选:A. 【题目点拨】
本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题. 8、D 【解题分析】
先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【题目详解】
解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：
则16tan 1.610α=
=，169.4tan 0.6610
β-==， tan tan 1.60.66
tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯．
0.4550.4570.461<<，
∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．
故选：D ． 【题目点拨】
本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及
数学运算能力，属中档题． 9、A 【解题分析】
首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0f
f x =，根据“0x ≤时，
()f x 的取值范围”得到()32log 93x f x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.
【题目详解】
当0x ≤时，()34f x <≤.
当0x ≥时，()2
932log 92log 9x
x
x f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当
0x ≤时，()34f x <≤.”，所以
令()()0f
f x =，得()32
log 93x
f x x =+-=，因为()303f =<，
3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫
=->⨯+-=> ⎪⎝⎭
，
所以函数()()y f f x =的零点所在区间为7
3,2⎛⎫
⎪⎝⎭
. 故选：A 【题目点拨】
本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 10、A 【解题分析】
先化简已知得()2sin()6
f x wx π
=-,再根据题意得出f （x ）的最小值正周期T 为1×2，再求出ω的值．
【题目详解】
由题得()2sin()6
f x wx π
=-
,
设x 1，x 2为f （x ）=2sin （ωx ﹣6
π）（ω＞0）的两个零点，且12x x -的最小值为1， ∴2T
=1，解得T=2； ∴
2π
ω
=2，
解得ω=π．
故选A ． 【题目点拨】
本题考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 11、D 【解题分析】
试题分析：由题{
}{
}
2
320|21M x x x x x x =++=--或，
{}2
111|()4|()|2222x x N x x N x x -⎧
⎫⎪⎪⎧⎫⎛⎫=≤=≤==≥-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎪⎪
⎩⎭，M N R ∴⋃=，选D
考点：集合的运算 12、A 【解题分析】
A 项，由a b >得到a b -<-，则c a c b -<-，故A 项正确；
B 项，当0c 时，该不等式不成立，故B 项错误；
C 项，当1a =，2b =-时，112>-，即不等式11
a b
<不成立，故C 项错误；
D 项，当1a =-，2b =-时，21b
a =>，即不等式1
b a
<不成立，故D 项错误．
综上所述，故选A ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1 【解题分析】
利用二项式定理得到1089n =，将89写成1+88，然后再利用二项式定理展开即可. 【题目详解】
101010(190)89(188)n =-==+12233101010101010188888888C C C C =⋅++++⋅⋅+，因展开式中
后面10项均有88这个因式，所以n 除以88的余数为1. 故答案为：1 【题目点拨】
本题考查二项式定理的综合应用，涉及余数的问题，解决此类问题的关键是灵活构造二项式，并将它展开分析，本题是一道基础题. 14、2022 【解题分析】
根据条件先求出数列,2{}n a 的通项，利用累加法进行求解即可． 【题目详解】
.11112n n a -=-
， 1.12
1
12
n n a --∴=-，()2n ≥， 下面求数列{}.2n a 的通项，
由题意知，.2 1.1 1.2n n n a a a --=+，()3n ≥，
.2 1.2 1.12
112
n n n n a a a ---∴-==-
，()3n ≥，
()()().2.2 1.2 1.2 2.2 3.2 2.2 2.2215
22
n n n n n n a a a a a a a a n ----∴=-+-+⋅⋅⋅+-+=
+-，
数列{}.2n a 是递增数列，且2021.22022.22019a a <<，
m ∴的最小值为2022.
故答案为：2022. 【题目点拨】
本题主要考查归纳推理的应用，结合数列的性质求出数列,2{}n a 的通项是解决本题的关键．综合性较强，属于难题． 15、（
，）
【解题分析】
求出AB 的长度，直线方程，结合△ABC 的面积为5，转化为圆心到直线的距离进行求解即可． 【题目详解】 解：AB 的斜率k
，|AB |
5，
设△ABC 的高为h ， 则∵△ABC 的面积为5， ∴S
|AB |h
h ＝5，
即h ＝2，
直线AB 的方程为y ﹣a
x ，即4x ﹣3y +3a ＝0
若圆x 2+y 2＝9上有且仅有四个不同的点C ，
则圆心O到直线4x﹣3y+3a＝0的距离d，
则应该满足d＜R﹣h＝3﹣2＝1，
即1，
得|3a|＜5
得a，
故答案为：（，）
【题目点拨】
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，求出直线方程和AB的长度，转化为圆心到直线的距离是解决本题的关键．16、－3
【解题分析】
依题意可得二项式展开式的常数项为
3
32
315
2
C
T ax x
x
+
⎛⎫
=⋅-
⎪
⎝⎭
即可得到方程，解得即可；
【题目详解】
解：∵二项式
5
2
ax x
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
的展开式中的常数项为
3
32
315
2
C80240
T ax x a
x
+
⎛⎫
=⋅-=-=
⎪
⎝⎭
，
∴解得3
a=-.
故答案为：3
-
【题目点拨】
本题考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2
12n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭
（2）1
16(23)2n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭
【解题分析】
（1）判断公比q 不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比q ，进而得到所求通项公式；
（2）求得1
(21)1(21)22n n n n a b n --⎛⎫==-⋅ ⎪
⎝⎭
，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所
求和. 【题目详解】
解：（1）设公比q 为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，37
2
S =， 可得1q =时，317
362
S a ==≠
，不成立； 当1q ≠时，()3321712
q S q
-==
-，即2
714q q ++=， 解得12q =
（3
2
-舍去）， 则1
2
11222n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
（2）1
(21)1(21)22n n n n a b n --⎛⎫
==-⋅ ⎪
⎝⎭
，
前n 项和0
1
2
1
1111135(21)2222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⋅+⋅+⋅+
+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
1
2
3
11111135(21)22222n
n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
两式相减可得1231
1
1111112(21)222222n n
n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++
+--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
111112212(21)1212n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+⋅--⋅ ⎪⎝⎭-，
化简可得1
16(23)2n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭
. 【题目点拨】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 18、 (1)1
e
-
(2)（,4]-∞ (3)见证明 【解题分析】
（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小值取法；（2）先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；（3）构造两个函数，再利用两函数最值关系进行证明. 【题目详解】
（1）1
()=ln 10f x x x e
+=∴=
' 当1(0,)x e
∈时，()0,()f x f x '<单调递减，当1(,)x e
∈+∞时，()0,()f x f x '
>单调递增，所以函数f(x ）的最小值
为f(
1e ）=1e
-； （2）因为0x >，所以问题等价于22ln 332ln x x x a x x x x
++≤=++在()0,x ∈+∞上恒成立，
记()3
2ln ,t x x x x
=++则()min a t x ⎡⎤≤⎣⎦，
因为()()()2231231x x t x x x x
+='-=
+-， 令()013t x x x =='=-得或舍，
()()0,10,x t x ∈'<时函数f(x ）在（0,1）上单调递减; ()()1,0,x t x ∈+∞'>时函数f(x ）在（1，+∞）上单调递增；
()()min 1 4.t x t ⎡⎤∴==⎣⎦即4a ≤，
即实数a 的取值范围为（,4]-∞. （3）问题等价于证明()2
ln ,0,.x x x x x e e
>
-∈+∞ 由（1）知道()11ln ,f x x x f e e
⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
的最小值
()()()21,0,x x
x x
x x x e e e
设则φφ-=
-∈+='∞，令()01x x 得，φ'== ()()0,10,x x φ∈'>时函数()x φ在（0,1）上单调递增；
()()1,0,x x φ+∞'∈<时函数()x φ在（1，+∞）上单调递减；
所以{()()max 1]1x e
φφ==-， 因此12ln x x x x e e e ≥-
≥-，因为两个等号不能同时取得，所以2ln ,x x x x e e
>- 即对一切()0,x ∈+∞，都有12
ln x x e ex
>-成立.
【题目点拨】
对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 19、（1）63.47；（2）分布列见详解，期望为16
7
；（3）余下所有零件不用检验，理由见详解. 【解题分析】
（1）计算[)[)62.0,63.0,63.0,63.5的频率，并且与0.5进行比较，判断中位数落在的区间，然后根据频率的计算方法，可得结果.
（2）计算位于[)62.5,64.5之外的零件中随机抽取4个的总数，写出X 所有可能取值，并计算相对应的概率，列出分布列，计算期望，可得结果.
（3）计算整箱的费用，根据余下零件个数服从二项分布，可得余下零件个数的期望值，然后计算整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值，进行比较，可得结果. 【题目详解】
（1）尺寸在[)62.0,63.0的频率：
()0.50.0750.2250.15⨯+=
尺寸在[)63.0,63.5的频率：0.50.7500.375⨯= 且0.150.50.150.375<<+
所以可知尺寸的中位数落在[)63.0,63.5 假设尺寸中位数为x
所以()0.1563.00.7500.563.47x x +-⨯=⇒≈ 所以这80个零件尺寸的中位数63.47
（2）尺寸在[)62.0,62.5的个数为800.0750.53⨯⨯=
尺寸在[]64.5,65.0的个数为800.1000.54⨯⨯=
X 的所有可能取值为1，2，3，4
则()1343474
135C C P X C ===，()22434
718235C C P X C === ()31434712335C C P X C ===，()44471
435
C P X C ===
所以X 的分布列为
1234353535357
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯= （3）二等品的概率为()0.50.0750.2250.1000.2⨯++= 如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为
1100999900P =⨯=（元）
余下二等品的个数期望值为890.217.8⨯= 如果不对余下的零件进行检验， 整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为
2119950017.89989P =⨯+⨯=（元）
所以12P P >，所以可以不对余下的零件进行检验. 【题目点拨】
本题考查频率分布直方图的应用，掌握中位数，平均数，众数的计算方法，中位数的理解应该从中位数开始左右两边的频率各为0.5，考验分析能力以及数据处理，属中档题.
20、（1）22
143
x y +=
（2）是为定值，Q 的横坐标为定值4- 【解题分析】
（1）根据“直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为1”列方程，由此求得b ，结合椭圆离心率以及222a b c =+，求得,a c ，由此求得椭圆方程.
（2）设出直线l 的方程1x my =-，联立直线l 的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线,AC BD 的方程，并求得两直线交点Q 的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得Q 的横坐标为定值4-. 【题目详解】
（1）依题意可知2
12262b a a
⨯⋅=，
解得23b =，
即b =而12e =，即2a c =，结合222a b c =+解得2a =，1c =，因此椭圆方程为22
143
x y +=
（2）由题意得，左焦点()1,0F -，设直线l 的方程为：1x my =-，()11,C x y ，()22,D x y ．
由221,3412,x my x y =-⎧⎨+=⎩
消去x 并整理得()22
34690m y my +--=，∴122634m y y m +=+，122
934y y m -=+． 直线AC 的方程为：()1122
y y x x =
++，直线BD 的方程为：()2222y
y x x =--．
联系方程，解得1221
12
4263my y y y x y y +-=
+，又因为()121223my y y y -=+．
所以()122112
1212
626124433y y y y y y x y y y y -++---=
==-++．所以Q 的横坐标为定值4-．
【题目点拨】
本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运算求解能力，属于中档题. 21、 (1)
3
π
；
(2)【解题分析】
(1)根据条件形式选择1
sin 2
S ac B =，然后利用余弦定理和正弦定理化简，即可求出； (2)由(1)求出角3
B π
=
，利用正弦定理和消元思想，可分别用角A 的三角函数值表示出,a c ，
即可得到
))
2122
1sin 4sin 3a c A A π⎛⎫
+=+- ⎪⎝⎭
，再利用三角恒等变换，化简为
)
124a c A π⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，即可求出最大值．
【题目详解】
(1)∵1sin 2S ac B =，222
cos 2a c b B ac
+-=即2222cos a c b ac B =+-，
∴)222S a c b =
+-
变形得：1sin 2cos 2ac B ac B =，
整理得：tan B = 又0B π<<，∴3
B π
=
；
(2)∵A B C π++=，∴203
A π
<<
，
由正弦定理知
sin 2sin sin sin 3
b A A
a A B π=
==，sin 22sin sin 3b C c A B π⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，
∴
))
2122
1sin 4sin 3a c A A π⎛⎫
+=+- ⎪⎝⎭
)
22
1sin 4sin 3A A π⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
A A =+
4A π⎛
⎫=+≤ ⎪⎝
⎭4A π=时取最大值．
故
)
12a c +
的最大值为【题目点拨】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，以及利用三角恒等变换求函数的最值，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题
22、（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分布列见解析，期望为
12
5
. 【解题分析】
（1）根据题中所给的条件补全列联表，根据列联表求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.
（2）首先确定X 的取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望. 【题目详解】
（1）根据题意及22⨯列联表可得完整的22⨯列联表如下：
根据公式可得()2
21004040101036 6.63550505050
k ⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.
（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人， 所以获得奖励的35岁以下（含35岁）的人数为X ， 则X 的可能为1，2，3，且
()128231081120C C P X C ===，()218
23
1056210C C P X C ===，()3
831056
3120
C P X C ===， 其分布列为
1231201201205
EX =⨯
+⨯+⨯=. 【题目点拨】
独立性检验依据2K 的值结合附表数据进行判断，另外，离散型随机变量的分布列，在求解的过程中，注意变量的取值以及对应的概率要计算正确，注意离散型随机变量的期望公式的使用，属于中档题目.。