江苏省苏州中学园区校2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

江苏省苏州中学园区校2024届高一数学第二学期期末学业水平
测试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某船从A 处向东偏北30方向航行B 处，然后朝西偏南60的方向航行6千米到达C 处，则A 处与C 处之间的距离为（ ）
A
B ．
C ．3千米
D ．6千米
2．定义运算,:,a a b
a b b a b
≤⎧⊗⊗=⎨
>⎩，设()()()F x f x g x =⊗，若()sin f x x =，
()cos g x x =，R x ∈，则()F x 的值域为（ ）
A ．[]1,1-
B ．2⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦ C ．1,2⎡-⎢⎣⎦
D ．1,2⎡--⎢⎣⎦
3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是
310，那么概率是7
10
的事件是（ ） A ．2张恰有一张是移动卡 B ．2张至多有一张是移动卡 C ．2张都不是移动卡
D ．2张至少有一张是移动卡
4．从A ，B ，C 三个同学中选2名代表，则A 被选中的概率为（ ） A ．
1
3
B ．
14
C ．
12
D ．
23
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2019a =（） A ．201921-- B ．201936--
C ．2019
1728
⎛⎫-- ⎪⎝⎭
D ．2019
11033
⎛⎫--
⎪⎝⎭
6．函数tan(
)42
y x π
π
=-的部分图象如图，则（OA OB +）AB ⋅=（ ）
A ．0
B ．
33
C ．3
D ．6
7．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，
...，960，分组后某组抽到的号码为1．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的
人数为（ ） A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
8．已知角A 、B 是ABC 的内角，则“A B <”是“sin sin A B <”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．如图，AB 是圆O 的直径，点C D 、是半圆弧的两个三等分点，AC a =，AD b =，则AO =（ ）
A ．b a -
B ．
1
2
a b - C ．12
a b -
D ．22b a -
10．下列表达式正确的是（ ）
①min 2
(sin )22sin x x
+=(0,)x π∈ ②若0a b ->，则220a b -> ③若22ac bc >，则a b > ④若0a b >>，则ln 0b
a
<
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．给出下列四个命题：
①正切函数tan y x = 在定义域内是增函数； ②若函数()3cos(2)6
f x x π
=+
，则对任意的实数x 都有55(
)()1212
f x f x ππ
+=-；
③函数cos sin ()cos sin x x
f x x x
+=
-的最小正周期是π；
④cos()y x =-与cos y x =的图象相同.
以上四个命题中正确的有_________（填写所有正确命题的序号） 12．向量,a b 满足：2a b ==，a 与b 的夹角为3
π
，则2a b -＝_____________； 13．函数1
()ln f x x
=
的定义域记作集合D ，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1，2，⋅⋅⋅，6），记骰子向上的点数为t ，则事件“t D ∈”的概率为________.
14．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，
2PA AB =，给出下列结论：
①PB AE ⊥；
②直线//BC 平面PAE ； ③平面PAE ⊥平面PDE ；
④异面直线PD 与BC 所成角为45；
⑤直线PD 与平面PAB 10
. 其中正确的有_______（把所有正确的序号都填上） 15．已知sin 2sin αα=，0,
2a π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则tan α=________． 16．函数2arcsin y x =的反函数是______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．高考改革是教育体制改革中的重点领域和关键环节，全社会极其关注.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3x +”模式初露端倪.其中“3”指必考科目语文、数学、外语，“x ”指考生根据本人兴趣特长和拟报考学校及专业的要求，从物理、化学、生物、
历史、政治、地理六科中选择3门作为选考科目，其中语、数、外三门课各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.假定A 省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体15%35%35%15%、、、的，以此赋分70分、60分、50分、40分.为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，A 省某高中高一（1）班（共40人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单科全班排名，每名学生选三科计算成绩），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分100分）频率分布直方图，化学成绩（满分100分）茎叶图如下图所示，小明同学在这次考试中物理86分，化学70多分.
（1）求小明物理成绩的最后得分；
（2）若小明的化学成绩最后得分为60分，求小明的原始成绩的可能值；
（3）若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率.
18．从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名学生作为样本测量身高.测量发现被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155,160；第二组[)160,165；…；第八组[]
190,195.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同，第六组与第八组人数之和为第七组的两倍.
（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm 以上（含180cm ）的人数； （2）求第六组和第七组的频率并补充完整频率分布直方图. 19．已知
34πθπ<<，1tan 2θ=-. （1）求4cos πθ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
；
（2）求2
2sin cos
4cos 51sin 22
2
2
θ
θ
θ
θ+++.
20．已知函数
当时，求函数
的定义域；
若存在
使关于的方程
有四个不同的实根，求实数的取值范围.
21．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照[50,60),[60,70),
,[90,100]分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率
分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表 组别 分组
频数 频率 第1组
[50,60) 8
0.16
第2组
[60,70)
a
▆
第3组
[70,80)
20 0.40
第4组[80,90)▆0.08
第5组[90,100] 2 b
合计▆▆
a b x y的值；
（1）求,,,
（2）若在满意度评分值为[80,100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解题分析】
通过余弦定理可得答案.
【题目详解】
设A处与C处之间的距离为x千米，由余弦定理可得
()
222
=+-⨯-=，则23
x︒︒
(23)62236cos603012
x=
【题目点拨】
本题主要考查余弦定理的实际应用，难度不大.
2、C
【解题分析】
由题意()()()sin ,sin cos cos ,sin cos x x x
F x f x g x x x x ≤⎧=⊗=⎨
>⎩
， 由于sin y x =与cos y x =都是周期函数，且最小正周期都是2π， 故只须在一个周期[0,2]π上考虑函数的值域即可， 分别画出sin y x =与cos y x =的图象，如图所示， 观察图象可得：()F x 的值域为2
[1,
]2
-，故选C.
3、B 【解题分析】 概率
710的事件可以认为是概率为3
10
的对立事件． 【题目详解】
事件“2张全是移动卡”的概率是
310，它的对立事件的概率是7
10
，事件为“2张不全是移动卡”，也即为“2张至多有一张是移动卡”． 故选B ． 【题目点拨】
本题考查对立事件，解题关键是掌握对立事件的概率性质：即对立事件的概率和为1． 4、D 【解题分析】
先求出基本事件总数，A 被选中包含的基本事件个数2，由此能求出A 被选中的概率． 【题目详解】
从A ，B ，C 三个同学中选2名代表， 基本事件总数为：,,AB AC BC ，共3个，
A 被选中包含的基本事件为：,A
B A
C ，共2个，
A ∴被选中的概率23
p =
． 故选：D ． 【题目点拨】
本题考查概率的求法，考查列举法和运算求解能力，是基础题． 5、A 【解题分析】
再递推一步，两个等式相减，得到一个等式，进行合理变形，可以得到一个等比数列，求出通项公式，最后求出数列{}n a 的通项公式，最后求出2019a ，选出答案即可. 【题目详解】
因为323n n S a n =-，所以当2,n n N *
≥∈时，11323(1)n n S a n --=--，两式相减化
简得：1131212()n n n n a a a a --=--⇒++=-，而13a =-，所以数列{}1n a +是以
112a +=-为首项，2-为公比的等比数列，因此有
1(2)(2)(21)1n n n n a a -+==-⋅-⇒--，所以201292001919(2)121a --=--=，故本题
选A. 【题目点拨】
本题考查了已知数列递推公式求数列通项公式的问题，考查了等比数列的判断以及通项公式，正确的递推和等式的合理变形是解题的关键. 6、D 【解题分析】
先利用正切函数求出A ，B 两点的坐标，进而求出0A OB +与 AB 的坐标，再代入平面向量数量积的运算公式即可求解． 【题目详解】 因为y ＝tan （
4πx 2π-）＝0⇒4
πx 2π
-=k π⇒x ＝4k +2，由图得x ＝2；故A （2，0）
由y ＝tan （
4πx 2π-）＝1⇒4
πx 2π-=k 4π
π+⇒x ＝4k +3，由图得x ＝3，故B （3，1）
所以OA OB +=（5，1），AB =（1，1）． ∴（OA OB +）AB ⋅=5×1+1×1＝1．
故选D ． 【题目点拨】
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查了利用正切函数值求角的运算，解决本题的关键在于求出A ，B 两点的坐标，属于基础题． 7、C 【解题分析】
由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n ＝30n ﹣19，由401≤30n ﹣21≤755，求得正整数n 的个数，即可得出结论． 【题目详解】
∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为1，可知第一组抽到的号码为11，
∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为a n ＝11+（n ﹣1）30＝30n ﹣19， 由401≤30n ﹣19≤755，n 为正整数可得14≤n ≤25， ∴做问卷C 的人数为25﹣14+1＝12， 故选C ． 【题目点拨】
本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础． 8、C 【解题分析】
结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 【题目详解】
在三角形中，根据大边对大角原则，若A B <，则a b <，由正弦定理
sin sin a b
A B
=得sin sin A B <，充分条件成立；
若sin sin A B <，由sin sin a b A B
=可得a b <，根据大边对大角原则，则A B <，必要条件成立；
故在三角形中，“A B <”是“sin sin A B <”的充要条件 故选：C 【题目点拨】
本题考查充分条件与必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，三角形大边对大角原则应谨记，属于基础题 9、A 【解题分析】
连接,,OC OD CD ，证得CD AO =，结合向量减法运算，求得AO . 【题目详解】
连接,,OC OD CD ，由于C D 、是半圆弧的两个三等分点，所以3
COA COD π
∠=∠=
，
所以,COD COA ∆∆是等边三角形，所以OA AC CD DO ===，所以四边形OACD 是菱形，所以CD AO =，所以AO CD AD AC b a ==-=-. 故选：A
【题目点拨】
本小题主要考查圆的几何性质，考查向量相等的概念，考查向量减法的运算，属于基础题. 10、D 【解题分析】
根据基本不等式、不等式的性质即可 【题目详解】 对于①2sin 22sin x x
+
≥(0,)x π∈.当2
sin sin x x =，即sin 2x ==，而
sin (0,1]x ∈，min 2
(sin )322sin x x
+
=>.即①不成立。

对于②若0a b ->，则220a b ->，若0a =，1b =-显然不成立。

对于③若22ac bc >，则20c >，则a b >正确。

对于④若0a b >>，则01b a <<，则ln 0b
a
<，正确。

所以选择D 【题目点拨】
本题主要考查了基本不等式以及不等式的性质，基本不等式一定要满足一正二定三相等。

属于中等题。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、②③④ 【解题分析】
①利用反例证明命题错误；②先判断512
x π
=为其中一条对称轴；③()f x 通过恒等变换化成()tan()4
f x x π
=+；④对两个解析式进行变形，得到定义域和对应关系均一样.
【题目详解】 对①，当1230,4
x x π==
，显然12x x <，但12tan 0,tan 1x x ==-，所以12tan tan x x >，不符合增函数的定义，故①错； 对②，当512x π=
时，55()3cos()31266f πππ=+=-，所以512x π
=为()f x 的一条对称
轴，当1x 取5(
)12x π+，2x 取5()12
x π-时，显然两个数12,x x 关于直线512x π=对称，所
以12()()f x f x =，即55(
)()1212
f x f x ππ
+=-成立，故②对；
对③，)
cos sin 4()tan()cos sin 4)4
x x x f x x x x x π
ππ++=
==+-+，T π=，故③对； 对④，因为cos()cos y x x =-=，cos y x =cos ,0,
cos cos(),0,x x x x x ≥⎧==⎨
-<⎩
，两个函数的定义域都是R ，解析式均为()cos f x x =，所以函数图象相同，故④对. 综上所述，故填：②③④. 【题目点拨】
本题对三角函数的定义域、值域、单调性、对称性、周期性等知识进行综合考查，求解过程中要注意数形结合思想的应用. 12
、【解题分析】
根据模的计算公式可直接求解. 【题目详解】
(
)
2
2222441642a b a b
a a
b b -=
-=-⋅+=-⨯=
故填：【题目点拨】
本题考查了平面向量模的求法，属于基础题型. 13、
56
【解题分析】 要使函数()1
ln f x x
=
有意义，则ln 0x ≠且0x >，即0x >且1x ≠，即(0,1)(1,)D =⋃+∞，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子，记骰子向上的点数为t ，
则{}1,2,3,4,5,6t ∈，则事件“t D ∈”的概率为5
6
P =. 14、①③④⑤ 【解题分析】
设出几何体的边长，根据正六边形的性质，线面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，异面直线所成角，线面角有关知识，对五个结论逐一分析，由此得出正确结论的序号. 【题目详解】
设正六边形长为1，则2PA =.根据正六边形的几何性质可知AE AB ⊥，由PA ⊥平面
ABC 得PA AE ⊥，所以AE ⊥平面PAB ，所以AE PB ⊥，故①正确.由于//BC AD ，
而AD AE A ⋂=，所以直线//BC 平面PAE 不正确，故②错误.易证得
,DE AE DE PA ⊥⊥,所以DE ⊥平面PAE ，所以平面PAE ⊥平面PDE ，故③正确.
由于//BC AD ,所以PDA ∠是异面直线PD 与BC 所成角，在Rt PAD ∆中，
2AP AD ==，故45PDA ∠=，也即异面直线PD 与BC 所成角为45，故④正确.
连接BD ，则//BD AE ，由①证明过程可知AE ⊥平面PAB ，所以BD ⊥平面PAB ，
所以DPB ∠是所求线面角，在三角形PBD 中，PB PD BD ===
弦定理得cos
4DPB ∠=，故⑤正确.综上所述，正确的序号为①③④⑤.
【题目点拨】
本小题主要考查线面垂直的判定，面面垂直的判定，考查线线角、线面角的求法，属于中档题. 153【解题分析】
由二倍角求得α，则tanα可求． 【题目详解】
由sin 2α=sinα，得2sinαcosα=sinα， ∵0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
, ∴sinα≠0,则12cos α=,即3
πα=. ∴3tan α=
3【题目点拨】
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查公式的灵活应用，属于基础题. 16、sin
2
x
y =，[],x ππ∈- 【解题分析】
求出函数2arcsin y x =的值域作为其反函数的定义域，再由2arcsin y x =求出其反函数的解析式，综合可得出答案. 【题目详解】
arcsin ,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，则[]2arcsin ,y x ππ=∈-，
由2arcsin y x =可得arcsin 2y x =
，sin 2
y x ∴=，
因此，函数2arcsin y x =的反函数是sin 2
x
y =，[],x ππ∈-. 故答案为：sin 2
x
y =，[],x ππ∈-. 【题目点拨】
本题考查反三角函数的求解，解题时注意求出原函数的值域作为其反函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1)70分 (2) 76,77,78,79. (3) 2
5
【解题分析】
（1）先求出此次考试物理成绩落在(](]
80,90,90,100内的频率，再由小明的物理成绩即可得出结果；
（2）根据选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体15%35%35%15%、、、的，以此赋分70分、60分、50分、40分，结合茎叶图中数据，即可得出结果；
（3）先记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为,,,,,A a b c d e ，用列举法列举出小明的所有可能选法，再列举出小明此次考试选考科目包括化学的选法，基本事件的个数之比就是所求概率. 【题目详解】 解：（1）
()11100.0050.0150.0250.0352
⎡⎤⨯-⨯+++⎣⎦ 0.1=，100.0050.05,⨯= ∴此次考试物理成绩落在(](]80,90,90,100内的频率依次为0.1,0.05，概率之和为
0.15
小明的物理成绩为86分，大于80分.
∴小明物理成绩的最后得分为70分.
（2）因为40名学生中，赋分70分的有4015%6⨯=人，这六人成绩分别为89,91,92,93,93,96；赋分60分的有4035%14⨯=人,其中包含80多分的共10人，70多分的有4人，分数分别为76,77,78,79；因为小明的化学成绩最后得分为60分，且小明化学70多分，所以小明的原始成绩的可能值为76,77,78,79；
（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为,,,,,A a b c d e ，小明的所有可能选法有：
()()()(),,,,,,,,,,,,A a b A a c A a d A a e ()()()(),,,,,,,,,,,A b c A b d A b e A c d ()(),,,,,A c e A d e
共10种，其中包括化学的有()()()(),,,,,,,,,,,A a b A a c A a d A a e 共4种，
∴若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为
25
. 【题目点拨】
本题主要考查频率分布直方图与茎叶图，以及古典概型，熟记古典概型的概率计算公式即可求解，属于常考题型.
18、（1）144人（2）频率分别为0.08和0.1，见解析 【解题分析】
（1）由直方图求出前五组频率为0.82，后三组频率为10.820.18-=，由此能求出这所学校高三男生身高在180cm 以上（含180)cm 的人数．
（2）由频率分布直方图得第八组频率为0.04，人数为2人，设第六组人数为m ，则第七组人数为0.185027m m ⨯--=-，再由22(7)m m +=-，得4m =，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.1．由此能求出结果． 【题目详解】
（1）由图知前5组频率为()0.0080.0160.0420.0650.82++⨯+⨯=
∴后三组频率为10.820.18-=.
∴全校高三男生身高在180cm 以上的人有8000.18144⨯=人.
（2）如图知第八组频率为00085004..⨯=，人数为0.04502⨯=人. 设第六组人数为m ，后三组共9人.
∴第七组人数为927m m --=-.
()227m m +=-，4m ∴=.
即第六组4人，第七组3人，其频率分别为0.08和0.1，高度分别为0.016和0.012，如图所示.
【题目点拨】
本题考查频率分布直方图的应用，频率分布直方图的性质等基础知识，考查数据处理能力，属于基础题. 19、（1）1010-
，（2）25
2 【解题分析】
（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得
sin θ和cos θ的值，可得4cos πθ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
的值 （2）由题意利用二倍角公式，求得原式子的值． 【题目详解】 （1）∵已知
34πθπ<<，1sin tan 2cos θθθ
=-=，22sin cos 1θθ+=， ∴525
sin 55
θθ=
=-
则2210
cos()cos 4
2210
π
θθθ-=
+=-
（2）2
2sin
cos
4cos 51sin 22
22θ
θ
θ
θ+++1cos sin 45sin cos 2θ
θθθ+=+⨯++
545525
225555
=
+-+=-
【题目点拨】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
20、（1）见解析；（2）.
【解题分析】
（1）将问题转化为解不等式
，即，然后就与的大小进行分类讨论，求出该不等式的解，即可得出函数的定义域；
（2），将问题转化为：关于的方程
有两个不同的
正根，得出，两根之和为正、两根之积为正，列出不等式组可解出实数的取值范
围.
【题目详解】 （1）由题意，，即，
解方程，得
，
.
①当
时，即当
时，解不等式
，得
或，
此时，函数的定义域为； ②当
时，即当
时，解不等式，得
，
此时，函数的定义域为； ③当
时，即当
时，解不等式，解得或，
此时，函数的定义域为；
（2）令，
则关于的方程有四个不同的实根可化为， 即
有两个不同的正根，则
，
解得
.
【题目点拨】
本题考查含参不等式的求解，考查函数的零点个数问题，在求解含参不等式时，找出分类讨论的基本依据，在求解二次函数的零点问题时，应结合图形找出等价条件，通过列不等式组来求解，考查分类讨论数学思想以及转化与化归数学思想，属于中等题。

21、（1）16,0.04,0.032,0.004a b x y ====；（2）3
5
. 【解题分析】
（1）根据频率分布表可得b.先求得[80,90)内的频数,即可由总数减去其余部分求得a .结合频率分布直方图,即可求得,x y 的值.
（2）根据频率分布表可知在[80,90)内有4人,在[90,100]有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能,由古典概型概率计算公式即可求解. 【题目详解】
（1）由频率分布表可得2
0.0450
b =
= [80,90)内的频数为500.084⨯=,
∴508204216a =----= ∴[60,70)内的频率为16
0.3250
= ∴0.32
0.03210
x =
= ∵[90,100]内的频率为0.04 ∴0.04
0.00410
y =
= （2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,
设第4组的4人分别为1a 、2a 、3a 、4a ；第5组的2人分别为1b 、2b 从中任取2人的所有基本事件为：
()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()11,a b ,()12,a b ,()23,a a ,()24,a a ,()21,a b ,()22,a b ,()34,a a ,()31,a b ,()32,a b ,()41,a b ,()42,a b ,()12,b b 共15个.
至少一人来自第5组的基本事件有：
()11,a b ,()12,a b ,()21,a b ,()22,a b ,()31,a b ,()32,a b ,()41,a b ,()42,a b ()12,b b 共9个.
所以93155
P =
=. ∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为35
. 【题目点拨】
本题考查了频率分布表及频率分布直方图的应用,列举法表示事件的可能,古典概型概率计算方法,属于基础题.。