2018~2019版高中数学模块综合测评

模块综合测评
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.若a>b>c,则的值()
A.大于0
B.小于0
C.小于或等于0
D.大于或等于0
解析因为a>b>c,所以a-c>b-c>0.
所以,所以>0,故选A.
答案A
2.不等式|x+3|+|x-2|<5的解集是()
A.{x|-3≤x<2}
B.R
C.⌀
D.{x|x<-3或x>2}
解析令f(x)=|x+3|+|x-2|=则f(x)的图象如图,由图可知,f(x)<5的解集为⌀.故原不等式的解集是⌀.
答案C
3.若P=(x>0,y>0,z>0),则P与3的大小关系是()
A.P≤3
B.P<3
C.P≥3
D.P>3
解析因为1+x>0,1+y>0,1+z>0,
所以=3,即P<3.
答案B
4.不等式>a的解集为M,且2∉M,则a的取值范围为()
A. B.
C. D.
解析由已知2∉M,可得2∈∁R M,于是有≤a,即-a≤≤a,解得a≥,故应选B.
答案B
5.某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n层楼,上、下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满
意度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为,则此人应选()
A.1楼
B.2楼
C.3楼
D.4楼
解析设第n层总的不满意程度为f(n),则f(n)=n+≥2=2×3=6,当且仅当n=,即n=3时等号成立.答案C
6.若关于x的不等式|x-1|+|x-3|≤a2-2a-1在R上的解集为⌀,则实数a的取值范围是()
A.a<-1或a>3
B.a<0或a>3
C.-1<a<3
D.-1≤a≤3
解析|x-1|+|x-3|的几何意义是数轴上与x对应的点到1,3对应的两点距离之和,则它的最小值为2.
∵原不等式的解集为⌀,∴a2-2a-1<2,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.故选C.
答案C
7.已知x+3y+5z=6,则x2+y2+z2的最小值为()
A. B.
C. D.6
解析由柯西不等式,得
x2+y2+z2=(12+32+52)(x2+y2+z2)×≥(1×x+3×y+5×z)2×=62×
.
答案C
8.设函数f(n)=(2n+9)·3n+1+9,当n∈N+时,f(n)能被m(m∈N+)整除,猜想m的最大值为()
A.9
B.18
C.27
D.36
解析当n=1时,f(1)=(2×1+9)·31+1+9=108.
当n=2时,f(2)=(2×2+9)·32+1+9=360.
故猜想m的最大值为36.
(1)当n=1时,猜想成立.
(2)当n=k(k≥1)时猜想成立,即f(k)=(2k+9)·3k+1+9能被36整除.
当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+9]·3k+2+9
=(2k+9+2)·3·3k+1+9
=3[(2k+9)·3k+1+9]+6·3k+1-18
=3[(2k+9)·3k+1+9]+18(3k-1).
∵(2k+9)·3k+1+9,18(3k-1)均能被36整除,
∴猜想成立.
综上,m的最大值为36.
答案D
9.(2017 山东淄博一模)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若
A,B,C三点共线,则的最小值为()
A.4
B.6
C.8
D.9
解析=(a-1,1),=(-b-1,2),
∵A,B,C三点共线,∴2(a-1)-(-b-1)=0,整理,得2a+b=1.
又a>0,b>0,则=(2a+b)=4+≥4+2=8,当且仅当
b=2a=时,等号成立.故选C.
答案C
10.用反证法证明“△ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列,求证B<”,假设正确的是()
A.B是锐角
B.B不是锐角
C.B是直角
D.B是钝角
答案B
11.实数a i(i=1,2,3,4,5,6)满足(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6-a5)2=1,则(a5+a6)-(a1+a4)的最大值为()
A.3
B.2
C. D.1
解析因为[(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6-a5)2](1+1+1+4+1)
≥[(a2-a1)×1+(a3-a2)×1+(a4-a3)×1+(a5-a4)×2+(a6-a5)×1]2
=[(a6+a5)-(a1+a4)]2,
所以[(a6+a5)-(a1+a4)]2≤8,即(a6+a5)-(a1+a4)≤2.
答案B
12.已知x,y,z,a,b,c,k均为正数,且x2+y2+z2=10,a2+b2+c2=90,ax+by+cz=30,a+b+c=k(x+y+z),则
k=()
A. B.
C.3
D.9
解析因为x2+y2+z2=10,a2+b2+c2=90,ax+by+cz=30,
所以(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,
又(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2,
当且仅当=k时,等号成立,
则a=kx,b=ky,c=kz,代入a2+b2+c2=90,
得k2(x2+y2+z2)=90,于是k=3.
答案C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为.
解析2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=2a+4≥7(当且仅当(x-a)2=1时,等号成立), 则a≥,即实数a的最小值为.
答案
14.不等式|x-4|+|x-3|≤a有实数解的充要条件是.
解析不等式a≥|x-4|+|x-3|有解⇔a≥(|x-4|+|x-3|)min=1.
答案a≥1
15.设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为.
解析由柯西不等式可得(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2(22+22+12)≥[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2=(2x+2y+z-
1)2=81,
所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥9当且仅当,即x=-1,y=-4,z=2时,等号成
立.
答案9
16.导学号26394074对于任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a||x-1|恒成立,则实数x的取值范围是.
解析依题意只需不等式的左边的最小值≥|a||x-1|,由绝对值三角不等式得|a+b|+|a-
b|≥|(a+b)+(a-b)|=|2a|=2|a|,故只需求解2|a|≥|a||x-1|即可,解得-1≤x≤3.
答案[-1,3]
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知x,y均为正数,且x>y,求证2x+≥2y+3.
证明因为x>0,y>0,x-y>0,
所以2x+-2y=2(x-y)+
=(x-y)+(x-y)+
≥3=3
,
所以2x+≥2y+3.
18.(本小题满分12分)已知m>1,且关于x的不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4].
(1)求m的值;
(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.
解(1)∵m>1,不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1,
∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.
∵其解集为[0,4],
∴解得m=3.
(2)由(1)知a+b=3.
(方法一:利用基本不等式)
∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),
∴a2+b2≥,
∴a2+b2的最小值为.
(方法二:利用柯西不等式)
∵(a2+b2)·(12+12)≥(a×1+b×1)2
=(a+b)2=9,
∴a2+b2≥,
∴a2+b2的最小值为.
(方法三:消元法求二次函数的最值)
∵a+b=3,∴b=3-a.
∴a2+b2=a2+(3-a)2
=2a2-6a+9=2,
∴a2+b2的最小值为.
19.(本小题满分12分)用数学归纳法证明:>n!(n>1,n∈N+).(n!=n×(n-1)×…×2×1)
证明(1)当n=2时,>2!=2,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,
即>k!.
当n=k+1时,
=+…+(k+1)·
=(k+1)·>(k+1)·k!=(k+1)!,
所以当n=k+1时不等式成立.
由(1)(2)可知,对n>1的一切自然数,不等式成立.
20.(本小题满分12分)已知x+y>0,且xy≠0.
(1)求证:x3+y3≥x2y+y2x;
(2)如果恒成立,试求实数m的取值范围.
(1)证明因为x3+y3-(x2y+y2x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x+y)(x-y)2,且x+y>0,(x-y)2≥0,
所以x3+y3-(x2y+y2x)≥0,
故x3+y3≥x2y+y2x.
(2)解①若xy<0,则等价于.
又因为=-3,
即<-3,
因此m>-6.
②若xy>0,则等价于.
因为=1,即≥1(当且仅当x=y时,等号成立),故m≤2.
综上所述,实数m的取值范围是(-6,2].
21.导学号26394075(本小题满分12分)设函数f(x)=|x+2|-|x-2|.
(1)解不等式f(x)≥2;
(2)当x∈R,0<y<1时,求证:|x+2|-|x-2|≤.
(1)解由已知可得,f(x)=
故f(x)≥2的解集为{x|x≥1}.
(2)证明由(1)知,|x+2|-|x-2|
≤|(x+2)-(x-2)|=4.
∵0<y<1,∴0<1-y<1.
∴[y+(1-y)]
=2+≥4,
当且仅当,即y=时,等号成立.
∴|x+2|-|x-2|≤.
22.(本小题满分12分)已知a,b,c为非零实数,且a2+b2+c2+1-m=0,+1-2m=0.
(1)求证:;
(2)求实数m的取值范围.
(1)证明由柯西不等式得
(a2+b2+c2)
≥,
即(a2+b2+c2)≥36.
∴.
(2)解由已知得a2+b2+c2=m-1,=2m-1,
∴(m-1)(2m-1)≥36,即2m2-3m-35≥0,
解得m≤-或m≥5.
又a2+b2+c2=m-1>0,
=2m-1>0,
∴m≥5,
即实数m的取值范围是[5,+∞).。