原创1：3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果和给药方式有
关的结论？
口服 注射 合计
有效 58 64 122
无效 40 31 71
合计 98 95 193
解：设H0：药的效果与给药方式没有关系.
K2
19358 31 64 402
1.3896
122 71 98 95
因当H0成立时，K2≥1.3896的概率大于15%，故不能否定假设 H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论.
独立性检验的基本思想 对“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度的判断： （1）假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系” 成立.
（2）在假设条件下，计算构造的随机变量K2，如果由观测数据 计算得到的K2很大，则在一定程度上说明假设不合理. （3）根据随机变量K2的含义和临界值可以确定 “两个分类有关 系”这一结论成立的可信程度.
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 不吸烟
不吸 烟
患肺癌 比例
吸烟 吸烟
不患肺癌 比例
等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例.
问题探究二
你有多大的把握认为它们有关系？ 我们先假设：
H0：吸烟与患肺癌没有关系
看看能推出什么样的结论
把表1-7中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：
275 70 245 100
因当H0成立时，K2≥10.828的概率为0.001，故有99.9%的把握认 为，两种药物的疗效有差异.
课堂小结
独立性检验
K2
（ n ad - bc）2
(a b)(c d )(a c)(b d )
(a b)(c d )(a c)(b d )
若H0成立，即“吸烟和患肺癌没有关系”K2 应该很小
独立性检验
不吸烟 吸烟 总计
吸烟与肺癌列联表
不患肺癌
患肺癌
7775
42
2099
49
9874
91
总计 7817 2148 9965
通过公式计算
K 2 9965(7775 49 42 2099）2 56.632 7817 2148 9874 91
1.如果k>10.828，就有99.9%的把握认为“X与Y有关系” 2.如果k>6.635，就有99%的把握认为“X与Y有关系” 3.如果k>2.706，就有90%的把握认为“X与Y有关系” 4.如果k<=2.706，就认为没有充分的证据显示“X与Y有关系”
例Baidu Nhomakorabea解析
例1.在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214 人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175人秃顶。问你有多大的把握认为秃顶与患心脏病有关系？
9965人，得到如下结果（单位：人）
吸烟与肺癌列联表
不患肺癌
患肺癌
总计
不吸烟
7775
42
7817
吸烟
2099
49
2148
总计
9874
91
9965
在不吸烟者中患肺癌的比重是_0_._5_4_%___. 在吸烟者中患肺癌的比重是2_._2_8_%_______
问题探究一
从直观上你能得出什么结论？
直观结论：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟 者患肺癌的可能性大.
例题解析
例2.在500人身上试验某种血清预防感冒作用，把他们一年中的感
冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所
示.
使用血清 未使用血清
合计
未感冒 252 224 476
感冒 248 276 524
合计 500 500 1000
判断这种血清能否起到预防感冒的作用？
解：设H0：感冒与是否使用该血清没有关系.
2.气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人员对两种中草药 治疗慢性气管炎的疗效进行对比，所得数据如表所示，问：它们 的疗效有无差异？
复方江剪刀草 胆黄片 合计
有效 184 91 275
无效 61 9 70
合计 245 100 345
解：设H0：两种中草药的治疗效果没有差异. K 2 345184 9 61 912 11.098
这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果.
定量变量 变量 分类变量 （定性变量） 对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的不同“值” 表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.
如是否吸烟、宗教信仰、是否患肺癌、国籍等等.
问题探究
列联表
为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了
问题探究三
这个值到底能告诉我们什么呢？怎样判断K2的观测k值是大还是 小呢？ H0成立的情况下
P( K 2 6.635) 0.01 k 56.632
这是一个小概率事件.现在K2的观测值为56.632，远远大于6.635， 所以有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”. 但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99 ％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”.
不吸烟 吸烟 总计
不患肺癌 a c
a+c
患肺癌 b d
b+d
总计 a+b c+d a+b+c+d
若吸烟与患肺癌没有关系。则吸烟者中不患肺癌的的比例应该与不吸 烟者中相应的比例差不多，即：
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，
统计学家构造一个随机变量
K2
（ n ad - bc）2
独立性检验： 利用随机变量K2来判断“两个分类变量是否有关系”的方法称 为两个分类变量的独立性检验.
临界值
P(K 2 k) 0.50 0.40 0.5 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.445 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
第三章 统计案例 §3.2独立性检验的基本思想及其初步应用
高中数学选修2-3·精品课件
问题引入
问题: 数学家庞加莱每天都从一家面包店买一块1000g 的面包， 并记录下买回的面包的实际质量.一年后，这位数学家发现，所记 录数据的均值为950g.于是庞加莱推断这家面包店的面包分量不足.
假设“面包份量足”，则一年购买面包的质量数据的平均值应该不少于 1000g ； “这个平均值不大于950g”是一个与假设“面包份量足”矛盾的小概率事件；
K 2 1000258 284 242 2162 7.075
474 526 500 500
因当H0成立时，K2≥6.635的概率约为0.01，故有99%的把握认
为该血清能起到预防感冒的作用.
巩固练习
1.为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无
效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查的结果列在表中，
解：列联表为
秃顶 不秃顶 总计
患心脏病 不患心脏病
214
175
451
597
665
772
总计 389
1048
1437
根据联表1-13中的数据，得到
K 2 1437 (214 597 175 451)2 16.373 6.635. 389 1048 665 772
所以有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”.