2020-2021学年湖北省天门市高二(上)期末数学试卷

2020-2021学年湖北省天门市高二（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 直线l 垂直于直线y =x +1，且l 在y 轴上的截距为√2，则直线l 的方程是( )
A. x +y −√2=0
B. x +y +1=0
C. x +y −1=0
D. x +y +√2=0
2. 已知向量a ⃗ =(2,1，3)，b ⃗ =(x,2，1−x)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x =( )
A. −5
B. 5
C. 4
D. −1 3. 已知双曲线C ：
x 2a
2−
y 2b 2
=1(a >0,b >0)的离心率为√5，则双曲线C 的渐进线方程为( )
A. y =±1
2x
B. y =±2x
C. y =±√6x
D. y =±√5x
4. 已知圆C 1：x 2+y 2−2x +12y +33=0与圆C 2：x 2+y 2+10x −4y −52=0，则两圆公切线条数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1=3，前三项和为21，则a 3+a 4+a 5=( )
A. 33
B. 72
C. 84
D. 189 6. 已知椭圆
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a >b >0)短轴的两个端点为A 、B ，点C 为椭圆上异于A 、B 的一点，直线AC
与直线BC 的斜率之积为−1
4，则椭圆的离心率为( )
A. √3
2
B. √3
C. 1
2
D. √34
7. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC =1
2AA 1=1，∠A 1AC =∠A 1AB =π
3，D 点是线段AB 上靠近A
的一个三等分点，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )
A. 2
3
B. −2
3
C. 4
3
D. −4
3
8. 已知抛物线C ：y 2=6x 的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若FA
⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BF|=( ) A. 7
2
B. 3
C. 5
2
D. 2
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 已知双曲线C ：
x 2t
−y 2
9−t =1的离心率e =√3，则下列说法正确的是( )
A. t =3或−9
B. 双曲线C 的渐近线方程为y =±√2x
C. 双曲线C 的实轴长等于2√3
D. 双曲线C 的焦点到其渐近线的距离等于√3
10. 在等差数列{a n }中，a 1=−9，a 5=−1.记T n =a 1a 2⋅⋅⋅a n (n =1,2，…)，则数列{T n }( )
A. T 5=T 6
B. 有最大项T 4
C. 无最大项
D. 无最小项
11. 已知直线l ：ax −y −3a =0上存在相距为4的两个动点A ，B ，若圆C ：(x +1)2+(y −4)2=4上存
在点P 使得△PAB 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，则实数a 的值可以为( ) A. −2 B. −1 C. 0 D. 1
12. 已知球O 为正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的内切球，平面A 1C 1B 截球O 的面积为24π，下列命题中正确的
有( )
A. 异面直线AC 与BC 1所成的角为60°
B. BD 1⊥平面A 1C 1B
C. 球O 的表面积为36π
D. 三棱锥B 1−A 1C 1B 的体积为288
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知在空间四边形OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，点M 在线段OA 上，且OM ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 为BC 的中点，用a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 表示MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 14. 椭圆
x 29
+
y 25
=1的左、
右焦点分别为F 1，F 2，过焦点F 1的直线交该椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2的内切圆面积为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1,y 1)，
(x 2,y 2)，则△ABF 2的面积S = ______ ，|y 1−y 2|的值为______ ．
15. 过点P(3,4)作圆x 2+y 2=10的两条切线，设切点分别为A ，B ，则线段AB = ______ ．
16. 在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =6，AC =8，D 是斜边上一点，以AD 为棱折成60°二面角C −AD −B ，
则线段BC 最小值为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA =PC ．
(1)求证：BC//平面PAD ； (2)求证：PB ⊥AC ．
18. 已知△ABC 三边所在直线方程：l AB ：3x −2y +6=0，l AC ：2x +3y −22=0，l BC ：3x +4y −m =
0(m ∈R,m ≠30)． (1)判断△ABC 的形状；
(2)当BC 边上的高为1时，求m 的值．
19.在①3a2+b2+b4=0，②a4=b4，③S3=−27这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问
题中的λ存在，求实数λ的取值范围；若问题中的λ不存在，请说明理由．
设等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n，_____，a5=b1，4T n=3b n−1(n∈N∗)，是否存在实数λ，对任意n∈N∗都有λ≤S n？
20.已知与x=−1相切的圆C的圆心在射线x−3y=0(x>0)上，且被直线l：3x−4y+5=0截得弦长
为4√3．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C上有且仅有2个点到与l平行的直线l′的距离为2，求直线l′在x轴上截距的取值范围．
21.三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥AC，AB=AC，BC=AB1=2．
(1)求证：面ABC⊥面BB1C1C；
(2)在线段C1A1上是否存在一点M，使得二面角M−CB1−C1的大小为π
6，若存在，求出
C1M
C1A1
的值，若
不存在，请说明理由．
22.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>0,b>0)，离心率为√3
2
，且椭圆C经过点P(0,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为−1，试问：直线l是否经过定点，若经过求出该定点的坐标，若不经过请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为直线l垂直于直线y=x+1，
所以设直线l的方程为y=−x+b，
又因为l在y轴上的截距为√2，
所以b=√2，
故所求直线l的方程为y=−x+√2，即x+y−√2=0．
故选：A．
利用两条直线垂直的关系，先设出直线l的方程，再利用纵截距为√2，即可得到答案．
本题考查了直线方程的求解，主要考查的是截距式方程的应用，解题的关键是利用垂直关系先设出所求直线l的方程．
2.【答案】B
【解析】解：∵向量a⃗=(2,1，3)，b⃗ =(x,2，1−x)，a⃗⊥b⃗ ，
∴a⃗⋅b⃗ =2x+2+3(1−x)=0，
解得x=5．
故选：B．
利用向量垂直的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，双曲线C：x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的离心率为√5，
则有e2=c2
a2=a2+b2
a2
=1+b2
a2
=5，
则有b2
a2
=4，即b=2a，
又由双曲线x2
a2−y2
b2
=1的焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±b
a
x，
则该双曲线的渐近线方程为：y=±2x；故选：B．
根据题意，由双曲线的离心率公式可得e2=c2
a2=a2+b2
a2
=1+b2
a2
=5，分析可得b2
a2
=4，即b=2a，再由焦
点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±b
a
x分析可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，关键是由双曲线的离心率分析a、b的关系．
4.【答案】B
【解析】解：圆C1：x2+y2−2x+12y+33=0，即(x−1)2+(y+6)2=4，圆心C1(1,−6)，半径r=2，圆C2：x2+y2+10x−4y−52=0，即(x+5)2+(y−2)2=81，圆心C2(−5,2)，半径R=9，
所以圆心距d=√(1+5)2+(−6−2)2=10，
因为9−2<d<9+2，
所以两圆相交，
故两圆公切线条数为2．
故选：B ．
先将两个圆的一般式方程转化为标准方程，求出两圆的圆心和半径，利用两圆位置关系进行判断，得到两圆相交，从而得到答案．
本题考查了两圆的公切线条数的确定，解题的关键是将问题转化为判断两圆的位置关系． 5.【答案】C
【解析】 【分析】
本题主要考查了等比数列的性质．要理解和记忆好等比数列的通项公式，并能熟练灵活的应用． 根据等比数列{a n }中，首项a 1=3，前三项和为21，可求得q ，根据等比数列的通项公式，得a 3+a 4+a 5=(a 1+a 2+a 3)q 2，整体代入即可得到答案． 【解答】
解：在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1=3，前三项和为21 故3+3q +3q 2=21， ∴q =2，
∴a 3+a 4+a 5=(a 1+a 2+a 3)q 2=21×22=84
故选：C ． 6.【答案】A
【解析】解：由题意可得A(0,b)，B(0,−b)，设C(x 0,y 0)， 由C 在椭圆上可得
x 0
2a 2
+y 0
2
b 2=1， 即有x 02=
a 2(
b 2−y 0
2)b 2
，①
由直线AC 与BC 的斜率之积为−1
4， 可得
y 0−b x 0
⋅
y 0+b x 0
=−1
4，
即为x 02=4(b 2−y 02
)，②
由①代入②可得a 2b 2
=4，即a =2b ，
c =√a 2−b 2=√3
2a ， 可得离心率e =
c a
=
√3
2
． 故选：A ．
由题意可得A(0,b)，B(0,−b)，设C(x 0,y 0)，代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，由题意可得a ，b 的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得．
本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，考查运算能力，属中档题． 7.【答案】A
【解析】解：如图，∵AB =AC =1，AA 1=2，∠A 1AC =∠A 1AB =π
3，
又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×2×12
−13
×1×2×12
=2
3
．
故选：A ．
可画出图形，根据题意得出CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后根据条件进行数量积的运算即可求出CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题． 8.【答案】D
【解析】解：由题可知，p =3，
如图所示，过点B 作BC ⊥l 于点C ，准线l 与x 轴交于点E ，设|BF|=m ，则|AB|=2m ，
由抛物线的定义可知，|BC|=|BF|=m ，∴∠ABC =60°=∠AFE ， ∴|AF|=2|EF|=2p =6， ∴|BF|=1
3|AF|=2．
故选：D ．
过点B 作BC ⊥l 于点C ，准线l 与x 轴交于点E ，设|BF|=m ，由于FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AB|=2m ，再结合抛物线的定义，可推出∠ABC =60°=∠AFE ，于是|BF|=1
3|AF|=2
3p ，进而得解．
本题考查抛物线的定义，平面向量的线性运算，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：∵t(9−t)>0，∴0<t <9，
∴双曲线的焦点在x 轴上，a =√t ，b =√9−t ，c =3， ∴离心率e =c
a =√t =√3，
∴t=3，即选项A错误；
双曲线的方程为x2
3−y2
6
=1，
∴渐近线方程为y=±b
a
x=±√2x，即选项B正确；
实轴长为2a=2√3，即选项C正确；
焦点(3,0)到渐近线y=√2x的距离为√2|
√2+1
=√6，即选项D错误．
故选：BC．
由双曲线方程的特征可确定t的取值范围，从而知焦点所在的轴，以及a、b、c的值，再根据选项中对应的双曲线的几何性质，逐一求解即可．
本题考查双曲线的几何性质，包含实轴长、焦点、渐近线、离心率等，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则
a5=a1+4d=−9+4d=−1，
解得d=2，
∴a n=−9+2(n−1)=2n−11，n∈N∗，
∴T1=a1=−9，
T2=T1a2=−9×(2×2−11)=63，
T3=T2a3=63×(2×3−11)=−315，
T4=T3a4=−315×(2×4−11)=945，
T5=T4a5=945×(2×5−11)=−945，
T6=T5a6=−945×(2×6−11)=−945，
∴T5=T6，故选项A正确，
∵当n≥7时，a n=2n−11>0，且数列{a n}单调递增，
而T6=−945<0，
∴当n≥7时，数列{T n}均小于0，且单调递减，
∴当n∈N∗时，数列{T n}的最大项为T4=945，
故选项B正确，故选项C错误，
当n→∞时，数列{T n}越来越小，但无最小项，
故选项D正确．
故选：ABD．
本题先设等差数列{a n}的公差为d，然后通过已知条件计算出等差数列{a n}的通项公式，然后根据T n=
a1a2⋅⋅⋅a n计算出数列{T n}的前几项的值，再根据等差数列的单调性及正负性判断出数列{T n}的单调性，即可判断出正确选项．
本题主要考查等差数列的基本量的运算，以及数列单调性来判断最值问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，若△ABP为等腰直角三角形，其中P为直角顶点，且|AB|=4，
则P到AB的距离为|AB|
2
=2，
若圆C：(x+1)2+(y−4)2=4上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，
则圆心C到直线l的距离d≤4，即有
√a2+1
≤4，
解得：a ≤0，
结合选项可得，实数a 的值可以为−2，−1，0． 故选：ABC ．
根据题意，由直角三角形的性质分析可得P 到AB 的距离为|AB|2
=2，结合直线与圆的位置关系可得圆心O
到直线l 的距离d ≤4，即有
|−4a−4|√a 2+1
≤4，解得a 的取值范围，即可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，考查数学转化思想，是中档题． 12.【答案】AC
【解析】解：由正方体图形可知，
连接A 1C 1，A 1B ，可知A 1C 1//AC ，即异面直线AC 与BC 1所成的角为角∠A 1C 1B ，又因三角形A 1C 1B 为正三角形，所以异面直线AC 与BC 1所成的角为600，故选项A 正确； 由图形可知BD 1与BC 1不垂直，故选项B 不正确，
平面A 1C 1B 截球O 的截面恰好是三角形A 1C 1B 的内切圆，由截面圆的面积为24π，故内切圆的半径为2√6， 设正方体的边长为a ，则三角形A 1C 1B 的边长为√2a ，此时内切圆的半径为r =√3
3
×√2a =2√6，
所以a =6，此时内切球的半径为3，所以球的表面积为4πR 2=36π，故C 选项正确；三棱锥1
3×1
2×6×6×6=36，故选项D 错误， 故选：AC ．
由题意可知正方体内切球的球心在正方体的中心，球的半径为正方体棱长的一半，平面A 1C 1B 截球O 的截面恰好是三角形A 1C 1B 的内切圆，可以直接判断出选项．
本题考查了正方体的基本性质，球的相关知识，属于基础题． 13.【答案】−3
4a
⃗ +1
2b ⃗ +1
2c ⃗
【解析】解：如图空间四边形OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，
∵点M 在OA 上，且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 为BC 的中点， ∴ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，
∴MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−34
OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3
4a ⃗ +1
2b ⃗ +1
2
c ⃗ ．
故答案为：−34a ⃗ +12b ⃗ +1
2
c ⃗ ． 根据题意画出图形，结合图形，利用空间向量的线性运算法则，用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，属于基础题． 14.【答案】6 3
【解析】解：∵椭圆
x 29
+
y 25
=1的左右焦点分别为F 1，F 2，a =3，b =√5，
c =2，
过焦点F 1的直线交椭圆于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点， △ABF 2的内切圆的面积为π， ∴△ABF 2内切圆半径r =1．
△ABF 2面积S =1
2×1×(AB +AF 2+BF 2)=2a =6； ∴ABF 2面积S =1
2|y 1−y 2|×2c =1
2|y 1−y 2|×2×2=6， 得|y 1−y 2|=3． 故答案为：6；3．
由已知△ABF 2内切圆半径r =1，从而求出△ABF 2面积，再由ABF 2面积=1
2|y 1−y 2|×2c ，能求出|y 1−y 2|. 本题考查椭圆的几何性质，考查了椭圆的定义、三角形内切圆的性质和三角形的面积公式等知识，属于中档题．
15.【答案】2√6
【解析】解：由切线的性质可知，切点A ，B 在以PO 为直径的圆上， 因为PO 的中点坐标为(3
2,2)，PO 的长度为|PO|=5， 所以以PO 为直径的圆的方程为(x −3
2)2+(y −2)2=
254
，
即x 2−3x +y 2−4y =0，
又切点A ，B 在圆x 2−3x +y 2−4y =0，也在圆x 2+y 2=10上， 两式相减可得直线AB 的方程为3x +4y −10=0，
因为圆x 2+y 2=10的圆心到直线3x +4y −10=0的距离为d =2， 所以线段AB 的长度为2√r 2−d 2=2√10−4=2√6． 故答案为：2√6．
由切线的性质知切点A 、B 在以PO 为直径的圆上，利用两圆的公共弦所在的直线写出直线AB 的方程，再求出圆x 2+y 2=10的圆心到直线AB 的距离为d ，利用勾股定理求得弦长AB 的长度． 本题考查了圆的切线与弦长问题，属于基础题． 16.【答案】2√7
【解析】解：如图，过C ，B 作AD 的垂线，垂足分别为E ，F ， 故BF ⊥EF ，EC ⊥EF ，
所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC
⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 以AD 为棱折叠后，则有BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
=(BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC
⃗⃗⃗⃗⃗ )2
=BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+FE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
+2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC
⃗⃗⃗⃗⃗ ， =|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|FE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC
⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为以AD 为棱折成60°二面角C −AD −B ，
所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC
⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°， 令∠BAD =α，则∠CAE =90°−α，
在Rt △ABF 中，BF =AB ⋅sinα=6sinα，AF =ABcosα=6cosα，
在Rt △ACE 中，
EC =AC ⋅sin(90°−α)=8cosα，AE =AC ⋅cos(90°−α)=8sinα，
故FE =AE −AF =8sinα−6cosα，
所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(6sinα)2+(8sinα−6cosα)2+(8cosα)2+2⋅6sinα⋅
8cosα×(−12) =36(sin 2α+cos 2α)+64(sin 2α+cos 2α)−144sinαcosα
=100−72sin2α，
故当α=45°时，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2有最小值28，
故线段BC 最小值为2√7．
故答案为：2√7．
过C ，B 作AD 的垂线，垂足分别为E ，F ，从而得到BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，然后将BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 用BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EC
⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，求出|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2的表达式，再设∠BAD =α，利用边角关系求出所需向量的模，同时利用二面角的大小得到
向量BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角，利用同角三角函数关系和二倍角公式化简|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2的表达式，再利用正弦函数的有界性分析求解即可．
本题考查了翻折问题，涉及了空间向量基本定理的应用、数量
积的应用、模的求解、同角三角函数关系以及二倍角公式的应
用，解题的关键是将|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2表示出来．
17.【答案】证明：(1)∵底面ABCD 为菱形，
∴BC//AD ，
∵BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，
∴BC//平面PAD ．
(2)设AC ∩BD =O ，连结OP ，∵底面ABCD 为菱形，
∴AC ⊥BD ，
∵PA =PC ，AO =CO ，
∴AC ⊥PO ，
∵BD ∩PO =O ，BD ⊂平面PBD ，PO ⊂平面PBD ，
∴AC ⊥平面PBD ，
又PB ⊂平面PBD ，
∴PB ⊥AC ．
【解析】(1)设AC ∩BD =O ，连结OE ，推导出AC ⊥平面PBD ，由此能证明PB ⊥AC ．
(2)推导出BC//AD ，利用线面平行的判定定理即可证明BC//平面PAD ．
本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题． 18.【答案】解：(1)直线AB 的斜率为k AB =32，直线AC 的斜率为k AC =−2
3，
所以k AB ⋅k AC =−1，
所以直线AB 与AC 互相垂直，
因此，△ABC 为直角三角形；
(2)解方程组{3x −2y +6=02x +3y −22=0
，得{x =2y =6，即A(2,6)． 由点到直线的距离公式得d =22=|30−m|5 当d =1时，|30−m|
5=1，即|30−m|=5，
解得m =25或m =35．
【解析】(1)计算三角形各边的斜率，发现k AB ⋅k AC =−1，AB 与AC 互相垂直，从而得解．
(2)解方程组求得A 的坐标，由点到直线的距离公式求得m 的值．
本题考查两条直线垂直的判定方法，两条直线的交点坐标的求法，以及点到直线的距离公式的应用． 19.【答案】解：设等差数列{a n }的公差为d ，
当n =1时，4T 1=3b 1−1，得b 1=−1，从而a 5=−1，
当n ≥2时，4b n =4T n −4T n−1=(3b n −1)−(3b n−1−1)=3b n −3b n−1，
得b n =−3b n−1，所以数列{b n }是首项为−1，公比为−3的等比数列，
所以b n =−(−3)n−1，
由对任意n ∈N ∗，都有λ≤S n ，
当等差数列{a n }的前n 项和S n 存在最小值时，
假设n =k 时，S n 取最小值． (4分)
(1)若补充条件是①3a 2+b 2+b 4=0，因为b 2=3，b 4=27，
从而a 2=−13(b 2+b 4)=−10，由a 5=a 2+3d 得d =3，
所以a n =a 1+(n −1)d =a 2+(n −2)d =−10+3(n −2)=3n −16，(8分)
由等差数列{a n }的前n 项和S n 存在最小值，则，得133≤k ≤16
3，
又k ∈N ∗，所以k =5，所以λ≤S 5=−35，故实数λ的取值范围为(−∞,−35]. (12分)
(2)若补充条件是②a 4=b 4，
由b 4=27，即a 4=27，又a 5=b 1=−1，
所以d =a 5−a 4=−1−27=−28；
所以a n =a 1+(n −1)d =a 5+(n −5)d =−1−28(n −5)=−28n +139，(8分)
由于该数列{a n }是递减数列，所以不存在k ，使得S n 取最小值，故实数λ不存在．
(3)若补充条件是③S 3=−27，
由S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=−27，得a 2=−9，
又a 5=b 1=−1=a 2+3d ，所以d =a 5−a 2
3=83，
所以a n =a 1+(n −1)d =a 2+(n −2)d =−9+83(n −2)=83n −
43
3，(8分) 由等差数列{a n }的前n 项和S n 存在最小值，则，
得358≤k ≤43
8，又k ∈N ∗，所以k =5，所以存在k =5，使得S n 取最小值，
所以λ≤S 5=−953，故实数λ的取值范围为(−∞,−953].(12分)
【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，当n =1时，4T 1=3b 1−1，得b 1=−1，从而a 5=−1，当n ≥2时，4b n =4T n −4T n−1，得b n =−3b n−1，可得数列{b n }是首项为−1，公比为−3的等比数列，b n =−(−3)n−1，由对任意n ∈N ∗，都有λ≤S n ，当等差数列{a n }的前n 项和S n 存在最小值时，假设n =k 时，S n 取最小值，
再根据已知条件，适当补充即可得出结论．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设圆C的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r≥0)，
此时圆心坐标为(a,b)，半径为r，
把圆心坐标代入直线x−3y=0中得：a=3b，①
又圆C与x=−1相切，∴r=|a+1|，②
又圆被直线l：3x−4y+5=0截得弦长为4√3，
∴(3a−4b+5
5
)2+(2√3)2=r2，③
将①②代入③，得(b+1)2+12=(3b+1)2，
解得b=−3
2
(舍去)，或b=1．
∴a=3×1=3，r=4．
∴圆C的标准方程为(x−3)2+(y−1)2=16；
(2)∵l′与直线l平行，∴设l′：3x−4y+t=0，
l′与圆心的距离r−2=2时，到l′距离为2有3个点；
l′与圆心的距离r+2=6时，到l′距离为2有1个点；
∴2<d<6，d=|3×3−4+t|
5=|5+t|
5
，
即2<|5+t|
5
<6，解得5<t<25，或−35<t<−15．
y=0时，3x+t=0，即x=−t
3
，
∴直线l′在x轴上截距的取值范围是(−25
3,−5
3
)∪(5,25
3
).
【解析】(1)设圆C的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r≥0)，由题意可得关于a，b，r的方程，联立求解a，b，r的值，则圆的方程可求；
(2)由题意设l′：3x−4y+t=0，分析可得2<d<6，又d=|3×3−4+t|
5=|5+t|
5
，得到2<|5+t|
5
<6，求得t
的范围，进一步可得直线l′在x轴上截距的取值范围．
本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】(1)证明：取BC的中点O，连AO，B1O，
∵AB=AC，AB⊥AC，BC=2，
∴AO=1，AO⊥BC，
又BC=BB1，∠CBB1=60°，
∴OB1⊥BC，OB1=√3，
又AB1=2，
∴OA2+OB12=AB12，即AO⊥OB1，
∵BC∩OB1=O，BC、OB1⊂平面BB1C1C，
∴AO⊥面BB1C1C，
又AO⊂面ABC，
∴面ABC⊥面BB1C1C.
(2)解：以O 为原点，OB ，OB 1，OA 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图空间直角坐标系， 则A(0,0,1),B(1,0,0),C(−1,0,0),B 1(0,√3,0)，
∴BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，
设C 1M
C 1A 1=λ，则C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λC 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，
∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λC 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1+λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1+λ,√3,λ)，
设平面CMB 1的法向量为n ⃗ 1=(x,y,z)，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0
，即{(λ−1)x +√3y +λz =0x +√3y =0， 取x =3，则y =−√3，z =6−3λλ，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(3,−√3,6−3λλ)，
由(1)知，AO ⊥面BB 1C 1C ，
∴面BB 1C 1C 的一个法向量为n ⃗ 2=(0,0,1)，
∵二面角M −CB 1−C 1的大小为π6，
∴cos π6=n ⃗⃗ 1⋅n ⃗⃗ 2
|n ⃗⃗ 1|⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=6−3λλ√12+(λ)2=√32，
化简得，3λ2+4λ−4=0，
解得λ=23或−2，
∵0≤λ≤1，∴λ=23，
故存在一点M 满足条件，且C 1M
C 1A 1=2
3．
【解析】(1)取BC 的中点O ，连AO ，B 1O ，可知AO =1，AO ⊥BC ，易知△BB 1C 为等边三角形，从而有OB 1⊥BC ，OB 1=√3，由勾股定理证得AO ⊥OB 1，再结合线面垂直、面面垂直的判定定理，得证；
(2)以O 为原点建立空间直角坐标系，设C 1M C
1A 1=λ∈[0,1]，求得平面CMB 1的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ ，由(1)知，面BB 1C 1C 的一个法向量为n ⃗ 2=(0,0,1)，由cos π6=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗
|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |，解出λ的值，即可． 本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由椭圆C 经过点P(0,1).可得b =1，
因为e =c a =√a 2−1a =√32
，所以a 2=4； 所以椭圆C 的方程为x 2
4+y 2=1．
(2)当直线l 斜率不存在时，由椭圆的对称性可知k PB +k PB =0，不满足题意；
当直线l 斜率存在时，设l ：y =kx +m(m ≠1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，
由{y =kx +m x 2+4y 2=4
整理，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0， 所以x 1+x 2=−8km 1+4k 2，x 1x 2=
4m 2−41+4k 2， △=64k 2m 2−4(1+4k 2)(4m 2−4)>0⇒4k 2+1−m 2>0． k PB +k PB =y 1−1
x 1+y 2−1x 2=x 2(kx 1+m)−x 2+x 1(kx 2+m)−x 1
x 1x 2=−1，
⇒2×k(m−1)(m+1)(m−1)=−1，
又m ≠1，所以m =−2k −1，此时△=−4k ，存在k ，使得△>0成立，
所以直线l 的方程为y =kx −2k −1，
当x =2时，y =−1，
所以直线ll 过定点(2,−1)．
【解析】(1)根据椭圆过点(0,1)即可求得b =1，再由离心率可求得a =2，从而可得椭圆的标准方程；
(2)当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l ：y =kx +m(m ≠1)，与椭圆方程联立，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0，由此利用根的判别式、根与系数的关系、直线方程，结合已知条件即可证明直线l 过定点(2,−1)．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的综合，考查推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．。