推荐-唐山一中2018—2018学年第一学期期中考试数学(理科) 精品
【高一数学试题精选】2018年唐山一中高一数学第一学期期中试卷(有答案)
唐一中2018～2018学度年第一学期期中考试
高一年级数学学科Ⅱ卷答题纸
卷Ⅱ（非选择题，共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13______________；14_______________；
15________________；16________________
21解因为对任意正实数x,有f(x)=f(x)+f()
所以f(1)=f(1 )=f(1)+f(1)=2f(1),所以f(1)=0 --------2分
（1）所以f(1)=f(x )=f(x)+f( ,所以f( f(x) -----5分
（2）设(0,+ ),且则f(
又由（1）知f(x)=f( f(
f(为（0，）的减函数----------8分
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17．（本小题满分10分）
18．（本小题满分12分）
19（本小题满分12分）
20．（本小题满分12分）
21．（本小题满分12分）
22．（本小题满分12分）
5
（3）f(1)=f(2因为
f(10 2x) f(4)
得-----------------12分
22⑴解（1）当时，,令，因为在上单调递增，，即在的值域为
故不存在常数，使成立，所以函数在上不是有界函数。
（2）由题意知，对恒成立。
，令∴对恒成立………9分∴
设，，由，
由于在上递增，在上递减，
在上的最大值为，在上的最小值为
2018年唐山一中高一数学第一学期期中试卷（有答案）
5
10 cDcBA 11-12 cA
13 ---------2分
河北省唐山一中2018高三数学试卷
河北省唐山一中2018届高三教学质量监测数学（理）试卷说明： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，有且仅有一个正确的）1-10 17 181、已知复数121,1z i z i =-=+，则12z z i等于 .A 2i .B 2i - .C 2i + .D 2i -+2、设P 和Q 是两个集合，定义集合Q P -={}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}1log 2<=x x P ，{}12<-=x x Q ,那么Q P -等于{}{}{}{}32211010<≤<≤<<≤<x x D.x x C.x x B.x x A. 3、下列命题是真命题的是.A 若sin cos x y =，则2x y π+=.B 1,20x x R -∀∈> .C 若向量,//+=0a b a b a b满足，则 .D 若x y <,则 22x y <4、 已知向量为单位向量，且21-=⋅b a ，向量与+的最小值为...A B C D 131245、若函数)12(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象的对称轴方程是2211-==-== D. x C. x B. xA. x 6、设等比数列{}n a 的公比为q ，则“10<<q ”是“{}n a 是递减数列”的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件7、已知函数x x g x x f lg )(,)(2==，若有)()(b g a f =，则b 的取值范围是.A [0，＋∞） .B （0，＋∞） .C [1，＋∞） .D （1，＋∞）8、如图，在扇形OAB 中，︒=∠60AOB ，C 为弧．AB 上且与BA ,不重合．．．的一个动点，且y x +=，若(0)u x y λλ=+>存在最大值，则λ的取值范围为.A )3,1( .B )3,31( .C )1,21( .D )2,21(9、定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -．将函数sin 2()cos 2x f x x=6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 .A ,04π⎛⎫⎪⎝⎭ .B ,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .C ,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .D ,012π⎛⎫⎪⎝⎭10、已知数列{}n a 满足：*)(2,111N n a a a a n n n ∈+==+,若,),11)((11λλ-=+-=+b a n b nn 且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是3232<<>>λλλλ D. C. B. A. 11、已知函数()cos xf x x πλ=，存在()f x 的零点)0(,00≠x x ，满足[]222200'()()f x x πλ<-，则λ的取值范围是A．( B．(C.(,)-∞+∞ D．(,)-∞+∞ 12、已知定义在]8,1[上的函数348||,122()1(),2822x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩则下列结论中,错误．．的是 A ．1)6(=f B ．函数)(x f 的值域为]4,0[C ．将函数)(x f 的极值由大到小排列得到数列*},{N n a n ∈，则}{n a 为等比数列D ．对任意的]8,1[∈x ，不等式6)(≤x xf 恒成立卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13、 已知向量b为单位向量，向量(1,1)a = ，且||a = ，则向量,a b 的夹角为 .14、若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 .15、已知函数23)(nx mx x f +=的图象在点)2,1(-处的切线恰好与直线03=+y x 平行，若)(x f 在区间]1,[+t t 上单调递减，则实数t 的取值范围是________．16、已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)()()222,0,1,22,1,0,x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩且， ()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为 .三．解答题（共6小题，计70分）17、（本题12分）已知B A ,是直线0y =与函数2()2coscos()1(0)23xf x x ωπωω=++->图像的两个相邻交点，且.2||π=AB（Ⅰ）求ω的值；(Ⅱ)在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，若ABC c A f ∆=-=,3,23)( 的面积为33，求a 的值.18、（本题12分）已知数列}{},{n n b a 分别是等差数列与等比数列，满足11=a ，公差0>d ，且22b a =，36b a =，422b a =. (Ⅰ)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n c 对任意正整数n 均有12211+=+⋅⋅⋅++n nn a b c b c b c 成立，设}{n c 的前n项和为n S ，求证：20172017e S ≥（e 是自然对数的底）.19、（本题12分） 如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的的菱形，60BAD ∠= ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，3BF =，G 和H 分别是CE 和CF 的中点.（Ⅰ）求证：平面//BDGH 平面AEF ； （Ⅱ）求二面角H BD C --的大小.20、（本题12分）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程； (Ⅱ)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．21、（本题12分）已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.22、（本题10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线),0(cos 2sin:2>=a a C θθρ过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为：)( 224222为参数t t y tx ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=，直线l 与曲线C 分别交于N M 、两点． （Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若PN MN PM 、、成等比数列，求a 的值． 23、（本题10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数3212)(-++=x x x f . （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式1)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围．河北省唐山一中2018届高三教学质量监测数学（理）答案一.选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
河北省唐山市2018届高三年级第一次模拟考试(理科)数学(解析版)
唐山市2017-2018学年度高三年级第一次模拟考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B.C. D.【答案】A【解析】，故答案为：A.2. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合,，故两个集合相等.故答案为：C.3. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知,,将代入得到.故答案为：B.4. 两个单位向量，的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】两个单位向量，的夹角为,则代入得到.故答案为：.5. 用两个，一个，一个，可组成不同四位数的个数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意得到有两个1是相同的，故可以组成不同的四个数字为故答案为：D.6. 已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意得到，，故，,故得到.故答案为：D.7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（）A. 求B. 求C. 求D. 求【答案】C【解析】根据题意得到：a=0,s=0,i=1,A=1,s=1,i=2,A=4,s=1+4,i=3,A=9,s=1+4+9,i=4,A=16,s=1+4+9+16,i=5,依次写出s的表达式，发现规律，满足C.故答案为：C.8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】函数,将函数的图象向做平移个单位长度即可.故答案为：A.9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意得到该几何体是一个三棱柱切下了一个三棱锥，剩下的部分的表面积由一个等腰三角形，两个直角梯形，一个等腰直角三角形，一个长方形构成.面积和为故答案为：A.10. 已知为双曲线：的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点.若，则的离心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意画出图像，得到由结论焦点到对应渐近线的距离为b得到：AF=b,故OA=a,OF=c,而角AOF 等于角FOB ,又因为三角形AOB为直角三角形，由二倍角公式得到化简得到c=2b,故得到离心率为.故答案为：B.11. 已知函数，则下列关于的表述正确的是（）A. 的图象关于轴对称B. ，的最小值为C. 有个零点D. 有无数个极值点【答案】D【解析】A因为函数，故函数不是偶函数，图像也不关于y轴对称；A不正确；B. 假设，使得的最小值为，即有解，在同一坐标系中画出图像，得到的最大值为2，最小值为2，且不是在同一个x处取得的，故得到两个图像无交点，故B是错误的;C ,其中一个零点为0，另外的零点就是两个图像的交点，两者的图像只有一个交点，故选项不正确；D，化一得到，，此时满足的x值有无数个；或者根据排除法也可得到D.故答案为：D.12. 已知，，，是半径为的球面上的点，，，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如图，由题意，PA=PB=PC=2，∠ABC=90°，可知P在平面ABC上的射影G为△ABC的外心，即AC中点，则球的球心在PG的延长线上，设PG=h，则OG=2﹣h，∴OB2﹣OG2=PB2﹣PG2，即4﹣（2﹣h）2=4﹣h2，解得h=1．则AG=CG=，过B作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=,再设BD=y，由△BDC∽△ADB，可得,∴y=，,令f（x）=，则f′（x）=由f′（x）=0，可得x=，∴当x=时，f（x）max=，∴△ABD面积的最大值为,则三棱锥P﹣ABD体积的最大值是故答案为：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设，满足约束条件，则的最小值是__________．【答案】-5【解析】根据条件得到可行域是一个封闭的三角形区域，目标函数化为，得到当目标函数过点A （-1.-1）时有最小值，代入得到值为-5.故答案为：-5.14. 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是__________．（用数字作答）【答案】-160【解析】的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数为故答案为：-160.15. 已知为抛物线上异于原点的点，轴，垂足为，过的中点作轴的平行线交抛物线于点，直线交轴于点，则__________．【答案】【解析】如图，设P（t2，t），则Q（t2，0），PQ中点H（t2，）．M，∴直线MQ的方程为：令x=0，可得y N=∴则故答案为：．16. 在中，角，，的对边分别为，，，边上的高为，若，则的取值范围是__________．【答案】[2，2]【解析】根据题意得到故范围为[2，2].故答案为：[2，2].三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知数列为单调递增数列，为其前项和，.（1）求的通项公式；（2）若，为数列的前项和，证明：.【答案】(1) a n＝n (2)见解析【解析】试题分析：（1）根据题干中所得给的式子，再写一项两式做差得到a n＋1－a n＝1，进而求出通项；（2）根据题意得到的通项，进行裂项求和.解析：（Ⅰ）当n＝1时，2S1＝2a1＝a＋1，所以(a1－1)2＝0，即a1＝1，又{a n}为单调递增数列，所以a n≥1．由2S n＝a＋n得2S n＋1＝a＋n＋1，所以2S n＋1－2S n＝a－a＋1，整理得2a n＋1＝a－a＋1，所以a＝(a n＋1－1)2．所以a n＝a n＋1－1，即a n＋1－a n＝1，所以{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n＝n．（Ⅱ）b n＝＝＝－所以T n＝(－)＋(－)＋…＋[－]＝－＜．18. 某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤元，成本为每公斤元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失元.根据以往的销售情况，按，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于公斤，而另一天日销售量低于公斤的概率；（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值.（i）求日需求量的分布列；（ii）该经销商计划每日进货公斤或公斤，以每日利润的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货公斤还是公斤？【答案】(1)0.192(2)（ⅰ）见解析（ⅱ）该经销商应该选择每日进货400公斤【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图得到不低于350公斤的概率为0.4，有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于公斤，而另一天日销售量低于公斤的概率即分两种情况按照概率相乘计算即可；（2）（i）X可取100，200，300，400，500，根据图得到对应的长方形的概率值，（ii）根据题意求出进货量为300，400时的利润均值，选择较高的即可.解析;’（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192．（Ⅱ）（ⅰ）X可取100，200，300，400，500，P(X＝100)＝0.0010×10＝0.1；P(X＝200)＝0.0020×10＝0.2；P(X＝300)＝0.0030×10＝0.3；P(X＝400)＝0.0025×10＝0.25；P(X＝500)＝0.0015×10＝0.15；所以X的分布列为：（ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y1可取－100，700，1500，此时Y1的分布列为：此时利润的期望值E(Y1)＝－100×0.1＋700×0.2＋1500×0.7＝1180；当每日进货400公斤时，利润Y2可取－400，400，1200，2000，此时Y2的分布列为：此时利润的期望值E(Y2)＝－400×0.1＋400×0.2＋1200×0.3＋2000×0.4＝1200；因为E(Y1)＜E(Y2)，所以该经销商应该选择每日进货400公斤．19. 如图，在三棱柱中，平面平面，.（1）证明：；（2）若是正三角形，，求二面角的大小.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）要证线线垂直，可以从线面垂直入手，证得AC⊥平面A1B1C，进而得到AC⊥；（2）利用空间坐标系的方法，求得两个面的法向量，通过向量的夹角的计算得到二面角的大小.解析:（Ⅰ）过点B1作A1C的垂线，垂足为O，由平面A1B1C⊥平面AA1C1C，平面A1B1C∩平面AA1C1C＝A1C，得B1O⊥平面AA1C1C，又AC平面AA1C1C，得B1O⊥AC．由∠BAC＝90°，AB∥A1B1，得A1B1⊥AC．又B1O∩A1B1＝B1，得AC⊥平面A1B1C．又CA1平面A1B1C，得AC⊥CA1．（Ⅱ）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系C-xyz．由已知可得A(1，0，0)，A1(0，2，0)，B1(0，1，)．所以＝(1，0，0)，＝(－1，2，0)，＝＝(0，－1，)．设n＝(x，y，z)是平面A1AB的法向量，则即可取n＝(2，，1)．设m＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，则即可取m＝(0，，1)．则cos〈n，m〉＝＝．又因为二面角A1-AB-C为锐二面角，所以二面角A1-AB-C的大小为．20. 已知椭圆：的左焦点为，上顶点为，长轴长为，为直线：上的动点，，.当时，与重合.（1）若椭圆的方程；（2）若直线交椭圆于，两点，若，求的值.【答案】(1)(2) m＝±1【解析】试题分析：（1）根据题意得到由AF⊥BF得k AF·k BF＝-1，进而求出椭圆方程；（2）由AP⊥AQ得，|AM|2＝|PM|·|QM|，联立直线BM和椭圆得到二次方程，由韦达定理得到|PM|·|QM|的表达式，|AM|2＝2＋，两式相等即可.解析：（Ⅰ）依题意得A(0，b)，F(－c，0)，当AB⊥l时，B(－3，b)，由AF⊥BF得k AF·k BF＝·＝－1，又b2＋c2＝6.解得c＝2，b＝．所以，椭圆Γ的方程为＋＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得A(0，)，依题意，显然m≠0，所以k AM＝－，又AM⊥BM，所以k BM＝，所以直线BM的方程为y＝(x－m)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．y＝(x－m)与＋＝1联立得(2＋3m2)x2－6m3x＋3m4－12＝0，x1＋x2＝，x1x2＝．|PM|·|QM|＝(1＋)|(x1－m)(x2－m)|＝(1＋)|x1x2－m(x1＋x2)＋m2|＝(1＋)·＝，|AM|2＝2＋m2，由AP⊥AQ得，|AM|2＝|PM|·|QM|，所以＝1，解得m＝±1．学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...21. 已知函数，.（1）设，求的最小值；（2）证明：当时，总存在两条直线与曲线与都相切.【答案】(1) x＝－1时，F(x)取得最小值F(－1)＝－ (2)见解析【解析】试题分析：（1）对函数求导，研究函数的单调性，得到最小值；（2）根据公切线的定义得到(t－1)e t－1－t＋a＝0有两个根即可，研究这个函数的单调性和图像，得到这个图像和x轴有两个交点.解析：（Ⅰ）F'(x)＝(x＋1)e x－1，当x＜－1时，F'(x)＜0，F(x)单调递减；当x＞－1时，F'(x)＞0，F(x)单调递增，故x＝－1时，F(x)取得最小值F(－1)＝－．（Ⅱ）因为f'(x)＝e x－1，所以f(x)＝e x－1在点(t，e t－1)处的切线为y＝e t－1x＋(1－t)e t－1；因为g'(x)＝，所以g(x)＝ln x＋a在点(m，ln m＋a)处的切线为y＝x＋ln m＋a－1，由题意可得则(t－1)e t－1－t＋a＝0．令h(t)＝(t－1)e t－1－t＋a，则h'(t)＝t e t－1－1由（Ⅰ）得t＜－1时，h'(t)单调递减，且h'(t)＜0；当t＞－1时，h'(t)单调递增，又h'(1)＝0，t＜1时，h'(t)＜0，所以，当t＜1时，h'(t)＜0，h(t)单调递减；当t＞1时，h'(t)＞0，h(t)单调递增．由（Ⅰ）得h(a－1)＝(a－2)e a－2＋1≥－＋1＞0，又h(3－a)＝(2－a)e2－a＋2a－3＞(2－a)(3－a)＋2a－3＝(a－)2＋＞0，h(1)＝a－1＜0，所以函数y＝h(t)在(a－1，1)和(1，3－a)内各有一个零点，故当a＜1时，存在两条直线与曲线f(x)与g(x)都相切．点睛：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆：，圆：.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求，的极坐标方程；（2）设曲线：（为参数且），与圆，分别交于，，求的最大值.【答案】(1)ρ＝2cosθ；ρ＝6cosθ(2)当α＝±时，S△ABC2取得最大值3【解析】试题分析：（1）根据极坐标和直角坐标的转化公式得到两个曲线的极坐标方程；（2）S△ABC2＝×d×|AB|，根据极径的概念得到|AB|＝4cosα，进而求得最值.解析：（Ⅰ）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得，C1：ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρcosθ＋1＝1，所以ρ＝2cosθ；C2：ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－6ρcosθ＋9＝9，所以ρ＝6cosθ.（Ⅱ）依题意得|AB|＝6cosα－2cosα＝4cosα，－＜α＜，C2(3，0)到直线AB的距离d＝3|sinα|，所以S△ABC2＝×d×|AB|＝3|sin2α|，故当α＝±时，S△ABC2取得最大值3．23. 选修4-5：不等式选讲设函数的最大值为.（1）求的值；（2）若正实数，满足，求的最小值.【答案】(1) m＝1 (2)【解析】试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值，得到分段函数的表达式，根据图像即可得到函数最值；（2）将要求的式子两边乘以(b＋1)＋(a＋1)，再利用均值不等式求解即可. 解析：（Ⅰ）f(x)＝|x＋1|－|x|＝由f(x)的单调性可知，当x≥1时，f(x)有最大值1．所以m＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a＋b＝1，＋＝(＋)[(b＋1)＋(a＋1)]＝[a2＋b2＋＋]≥(a2＋b2＋2)＝(a＋b)2＝．当且仅当a＝b＝时取等号．即＋的最小值为．。
河北省唐山市第一中学2017-2018学年高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
唐山一中2017-2018学年度第一学期期中考试高三年级理科数学试卷说明：1．考试时间120分钟，满分150分。
2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ的答案用黑色签字笔写在答题卡上。
3.本次考试需填涂的是准考证号（8位），不要误涂成座位号（5位），座位号只需在相应位置填写。
卷Ⅰ（选择题 共60分）一 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.）1. 若全集U=R,集合M ＝错误！未找到引用源。
，N ＝错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
等于 （ ）A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ． 错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
2．若复数z 满足1zi i =-,则z 的共轭复数是 （ ） A ．1i -- B ．1i -C ．1i -+D ．1i +3. 若直线60x ay ++=与直线(2)320a x y a -++=平行，则a = （ ） A ．1a =- B ． 13a a =-=或 C ．3a = D. 13a a =-=且 4．已知 “命题2:()3()p x m x m ->-”是“命题2:340q x x +-<”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．17m m ><-或 B ．17m m ≥≤-或 C ．71m -<< D ．71m -≤≤ 5．右图是函数()2f x x ax b =++的部分图像，则函数()()ln g x x f x '=+的零点所在的区间是 （ ）A. 1142（，）B. （1,2）C. 12（，1）D. （2,3）6．已知错误！未找到引用源。
，若直线错误！未找到引用源。
与线段错误！未找到引用源。
有一个公共点，则错误！未找到引用源。
（ ）A ．最小值为错误！未找到引用源。
2018届河北省唐山一中高三上学期期中考试理科数学试题及答案 (2)
唐山一中2017—2018学年度第一学期期中考试高三年级数学试卷（理）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合A ={x |y =x -2}， B ={y |y =x -2}，则A ∩B = （ ）A ．∅B ．RC ．(-∞，2]D ．[0，2]2．“a =2”是“1(0,),18x ax x∀∈+∞+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知i 是虚数单位，(1+2i )z 1=-1+3i ，z 2=1+10)1(i +，z 1、z2在复平面上对应的点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则⋅= （ ）A ．33B ．-33C ．32D ．-324. 已知实数[]1,9x ∈，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为（ ） A.58 B.38 C.23 D.135．在各项均为正数的等比数列}{n a ，若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列}{n a 的前n 项积为n T ，若21512m T -=，则m 的值为A ．4B ．5C ．6D ．76．已知点P 是△ABC 的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足2AP ·22BC AC AB =-，则点P 一定是△ABC 的（ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心 7．对于函数f (x )=x 3cos3(x +6π)，下列说法正确的是（ ）A ．f (x )是奇函数且在（6π6π，-）上递减 B ． f (x )是奇函数且在（6π6π，-）上递增 C ． f (x )是偶函数且在（6π0，）上递减 D ．f (x )是偶函数且在（6π0，）上递增 8．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图（如图所示），则余下部分的几何体的表面积为A ．532323++ππ＋1B ．523323++ππ＋1C ．53233++ππ D ．52333++ππ 9.若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点,且NM ,316a >-63516a -<<-65a >-63516a -≤≤-关于直线0=-y x 对称,动点P ()b a ,在不等式组200-+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩kx y kx my y 表示的平面区域内部及边界上运动，则21b w a -=-的取值范围是（ ） A ．),2[+∞ B ．]2,(--∞ C ．]2,2[- D ．),2[]2,(+∞⋃--∞10．已知Ｐ是抛物线24x y =上的一个动点，则点Ｐ到直线1:4370l x y --=和2:20l y +=的距离之和的最小值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．411.函数的1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 图像经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A. B. C.D.12.已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()b ba a f x dx g x dx =⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],ab 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==； ③()()234f xg x x π==； ④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在．其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13. 已知7270127()x m a a x a x a x -=++++的展开式中4x 的系数是－35，则1237a a a a ++++= . 14. 已知三棱锥A BCD -中,2,2AB AC BD CD BC AD =====, 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为 ．15. 已知21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，P 为双曲线左支上的一点，若a PF PF 8122=，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 16. 已知函数),()(R b a xb ax x f ∈+=,有下列五个命题 ①不论,a b 为什么值,函数)(x f y =的图象关于原点对称; ②若0a b =≠,函数)(x f 的极小值是2a ,极大值是2a -; ③若0ab ≠,则函数)(x f y =的图象上任意一点的切线都不可能经过原点; ④当0ab ≠时,函数)(x f y =图象上任意一点的切线与直线y ax =及y 轴所围成的三角形的面积是定值.其中正确的命题是 _________ (填上你认为正确的所有命题的序号)三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（本小题满分12分）在数列}{n a 中,已知*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈.(1)求证: }{n a n -是等比数列;(2)令n n nn S a b ,2=为数列}{n b 的前n 项和,求n S 的表达式.18.（本题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．（1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列．19. （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，060ABC ∠=，22AB CB ==．在梯形ACEF 中，EF ∥AC ，且=2AC EF ，EC ⊥平面ABCD ．(1)求证：BC AF ⊥；(2)若二面角D AF C --为045，求CE 的长．20. （本小题满分12分）已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆Γ∶)0(12222>>=+b a b y a x (a>b>0)的右焦点F 和上顶点B.(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图，过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点， 求⋅的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数()()2x f x ax x e =+其中e 是自然数的底数，a R ∈.(1)当0a <时，解不等式()0f x >；(2)若()[]11f x -在，上是单调增函数，求a 的取值范围；(3)当0=a ，求使方程()[]2,1f x x k k =++在上有解的所有整数k 的值.22. （本小题满分10分） 在直角坐标系xoy 中，直线l 经过点()1,0P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=.(1)若直线l 与曲线C 有公共点，求a 的取值范围：(2)设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.答案及解析：1-5 DAABB 6-10 BCADC 11-12 DC 13.1 14.π8 15.]3,1( 16. ①③④17.解：(Ⅰ)证明:由*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈可得11(1)2(),120n n a n a n a +-+=--=-≠所以数列{}n a n -以是-2为首项,以2为公比的等比数列(Ⅱ) 由(Ⅰ)得:1222n n n an --=-⨯=-,所以2n n a n =-,12n n n b =- 所以12221212(1)(1)(1)()222222n n n n n n S b b b n =+++=-+-++-=+++- 令212222n n nT =+++,则2311122222n n nT +=+++, 两式相减得231111*********2222n n n n n n n T ++=+++-=--, 所以222n n n T +=-,即222n n n S n +=--18.解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为． …………… 4分（2）设“从50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有2501225C =种，… 5分来自同一所中学的取法共有22221520105350C C C C +++=． (6)分 ∴3502()12257P M ==．答：从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为27． … 7分 （3）由（1）知，50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10．依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， (8)分 2102253(0)20C P C ξ===，1115102251(1)2C C P C ξ===，2152257(2)20C P C ξ===． (11)分∴ξ的分布列为： … 12分19.20.所以，整数k 的所有值为{-3，1}．22.解析： (I)将曲线C 的极坐标方程26cos 50ρρθ-+=化为直角坐标方程为22650x y x +-+=直线l 的参数方程为()1cos sin x t t y t θθ=-+⎧⎨=⎩为参数将1cos sin x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩代入22650x y x +-+=整理得28cos 120t t θ-+=直线l 与曲线C 有公共点，3[0,)θπ∴(II)曲线C 的方程22650x y x +-+=可化为()2234x y -+=其参数方程为()()32cos M ,2sin x x y y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数为曲线上任意一点，。
河北省唐山市一中2017-2018学年上学期高二期中考试数学理科试题
唐山一中2017-2018学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.直线MN 的斜率为2，其中点(11)N -，，点M 在直线1y x =+上，则（ ） A. (57)M ，B. (45)M ，C. (21)M ，D. (23)M ，B 【解析】设点(,1)M x x +,11222241MN x k x x x x ++==⇒+=-⇒=-，则(4,5)M ，选B. 2.过原点且与圆22430x y x +-+=相切的直线的倾斜角为（ ）A. 3π或23π B.6π或56πC.4π或34πD.3π或56πB【解析】把圆的方程化为22(2)1x y -+=，圆心(2,0)，半径为1，设切线方程为0kx y -=，根据圆心到切线的距21313k k =⇒=⇒=±，直线的倾斜角为6π或56π，选D. 3.由直线2y x =+上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）A.D. 1B 【解析】要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，﹣2） 到直线的距离m ，求出m ，由勾股定理可求切线长的最小值．【详解】要使切线长最小，必须直线y=x +2上的点到圆心的距离最小， 此最小值即为圆心（4，﹣2）到直线的距离m ，由点到直线的距离公式得． 故选B ．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理的应用．解题的关键是理解 要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小．4.平面内动点P 到两点,A B 距离之比为常数(0,1)λλλ>≠，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知(2,0)A -，(2,0)B ，12λ=，则此阿波尼斯圆的方程为（ ）A. 221240x y x +-+=B. 221240x y x +++=C. 2220403x y x +-+= D. 2220+403x y x ++= D 【解析】设动点(,)P x y ，12PA PB = ，=，整理得：2220403x y x +++=选D.5.已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>> ）A. 0x -=B.0y -=C.0y ±= D. 0x ±=D 【解析】22()1312b b e a a =-=-=⇒=则a b =，双曲线的渐近线方程为2y x =±，选D. 6.已知点P 在抛物线24x y =上，则当点P 到点()1,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A. ()2,1 B. ()2,1-C. 11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,4⎛⎫⎪⎝⎭D 【解析】因为点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线的准线1y =-的距离，所以P 到点()1,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小等价于P 到点()1,2Q 的距离与点P 到抛物线准线距离之和取得最小，如图，由几何性质可得，从()1,2Q 向准线作垂线，其与抛物线交点就是所求点，将1x =代入24x y =，可得14y =，点P 到点()1,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为11,4⎛⎫⎪⎝⎭，故选D . 【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将p 到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的. 7.抛物线22y x =的焦点到准线的距离是( ) A. 2 B. 1C.12D.14D 【解析】212x y =，122p = ，所以抛物线的焦点到其准线的距离是14，故选D.8.已知动点(,)P x y 满足225(1)(2)341x y x y -+-=+-，则点P 的轨迹为（ ）A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D. 椭圆B 【解析】把341x y=+-化为3415x y +-=，由于点(1,2)不在直线3410x y +-=上，满足抛物线的定义，则点P 的轨迹为抛物线.9.已知双曲线方程为2214y x -=，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有（ ）A 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条B【解析】试题分析：因为双曲线方程为2214y x -=，所以(1,0)P 是双曲线的右顶点，所以过(1,0)P 并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过(1,0)P 分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条.考点：本小题主要考查了直线与双曲线的位置关系.点评：考查双曲线与直线的位置关系时，不要忘记和双曲线的渐近线进行比较,而且还要记住只有一个交点不一定是相切.10.已知()00,P x y 是椭圆22:14x C y +=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若12·0PF PF <u u u r u u u u r ，则0x 的取值范围是（ ）A. 33⎛-⎝⎭B. ,33⎛-⎝⎭C. ,33⎛⎫-⎪⎪⎝⎭D. ,33⎛-⎝⎭A 【解析】解：由题意可知：())12,F F，则：(222120030PF PF x x y x y u u u r u u u u r⋅=+=+-< ，点P 在椭圆上，则：220014x y =- ，故：22001304x x ⎛⎫+--<⎪⎝⎭，解得：033x -<<，即0x 的取值范围是 33⎛- ⎝⎭.本题选择A 选项.点睛：解析几何问题和向量的联系：可将向量用点的坐标表示，利用向量运算及性质解决解析几何问题．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．11.已知不过原点的直线l 与2y x =交于,A B 两点，若使得以AB 为直径的圆过原点，则直线l 必过点（ ）A. (0)1，B. (10)，C. (0)2，D. (10)-， A 【解析】设直线方程为(0)y kx b b =+≠2y kx by x=+⎧⎨=⎩ 代入整理得：20x kx b --=，设1122(,),(,)A x y x y ，则1212,x x k x x b +==-，2221212y y x x b ==，以AB 为直径的圆过原点，则212120OA OB x x y y b b ⋅=+=-=u u u v u u u v，因为0b ≠，得1b =.直线方程为1y kx =+必过定点(0,1).12.设双曲线22221(0,0)x y C a b a b -=>>：的左右焦点分别为12,,F F 若在曲线C 的右支上存在点P ,使得12PF F ∆的内切圆半径为a ,圆心记为M ，又12PF F ∆的重心为G ，满足12MG F F ∥,则双曲线C 的离心率为（ ）．C. 2C 【解析】由//MG x 轴得：G M y y a ==，33p G y y a ==，所以12121123(2)22PF F S c a PF PF c a ∆=⋅⋅=⋅++⋅，又122PF PF a -=，由122,2PF c a PF c a =+=-，由222212()()p p PF x c PF c x -+=--，得：2p x a =，因此(2,3)P a a ，代入椭圆方程得：222249132a a b a e a b -=⇒=⇒==.【点睛】列出一个关于,,a b c 的等式，就可以求出双曲线的离心率；列出一个关于,,a b c 的不等式，就可以求出双曲线的离心率的取值范围；本题借助于三角形的内切圆半径表示出三角形的面积，利用面积相等列出等量关系，在借助于双曲线的定义，求出点P 的坐标满足双曲线方程，求出离心率.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上.13.点(,)P x y 为椭圆2219x y +=上的任意一点，则3x y +的最大值为 ______．【解析】设3cos ,sin x y θθ== ，33cos 3sin ))4x y πθθθθθ+=+=+=+，当sin()14πθ+=时，则3x y +的最大值为14.已知直线1:310l ax y +-=，222()30l x a a y +-+=：，且12l l ⊥已知则a =_. 0或13【解析】当0a =时，1212:310,:230,l y l x l l -=+=⊥符合题意；当1a =时，12:310,:230l x y l x +-=+=，1l 与2l 不垂直； 当01a a ≠≠且时，22()()13a a a -⋅-=--，整理得：330a a -=，由于0a ≠，解得13a =； 综上：103a 或=.15.在抛物线216y x =内，过点(2,1)且被此点平分的弦所在直线的方程是 __________．8150x y --=【解析】设直线与抛物线的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，则21116y x =，22216y x =，两式相减得：121212()()16()y y y y x x +-=-，1212121616821y y k x x x x -====-+⨯，所求直线方程为18(2)y x -=-，即8150x y --=.16.已知定圆M ：22(3)16x y -+=，点A 是圆M 所在平面内一定点，点P 是圆M 上的动点，若线段PA 的中垂线交直线PM 于点Q ，则点Q 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③拋物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果的序号为___． ①②④⑥ 【解析】当点A 在在圆M 内，4QA QM QP QM MP +=+==Q ，4AM >，则点Q 的轨迹是以A M 、为焦点的椭圆，当点A 在圆上时，由于MP MA =，线段PA 的中垂线交直线PM 于M ，点Q 的轨迹为一个点；点A在圆外时，4QA QM -=，4AM <Q ，则点Q 的轨迹是以A M 、为焦点的双曲线；当点A 与M 重合时，Q 为半径PM 的中点，点Q 的轨迹是以M 为圆心，2为半径的圆，其中正确的命题序号为①②④⑥.【点睛】求点的轨迹问题，主要方法有直接法、定义法、坐标相关法、参数法等，本题利用几何图象中的等量关系找出动点需要满足的条件，根据常见曲线的定义衡量其符合哪种曲线的定义，根据定义要求，写出曲线方程.本题由于点A 为圆面上任意一点，所以需要讨论点A 在圆心、圆内、圆上、圆外几种情况讨论研究，给出相应的轨迹方程.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.直线l 过点P (43，2)，且与x 轴，y 轴的正方向分别交于A 、B 两点，当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程.3x ＋y －6＝0或3x ＋4y －12＝0 【解析】设直线l 方程为y kx b =+，0k <，由（1）知直线l 交x 轴的交点为,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭，y轴交点为()0,b . 当AOB ∆的面积为6时，1•62{423b b k k b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭+=，解得3{43k b =-=，或3{6k b =-=，∴直线l 的方程为334y x =-+或36y x =-+. 18.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．圆1C 和直线2C 的极坐标方程分别为4sin ρθ=，cos()4πρθ-=(1)求圆1C 和直线2C 的直角坐标方程． (2)求圆1C 和直线2C 交点的极坐标．（1）()2212:24,:40C x y C x y +-=+-=；（2）4,,24ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】试题分析：本题考查选修内容极坐标与参数方程，要学会极坐标与直角坐标的转化，包括点的坐标转化与曲线方程的转化，利用公式222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，把极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组解方程组，得出方程组的解写出交点的坐标，再把直角坐标化为极坐标. 试题解析：(1)由222cos ,sin ,,4sin x y x y ρθρθρρθ===+= ,即为24sin ρρθ= ,即有224x y y +=，cos()4πρθ-=,即为)ρθθ+=即40x y +-=,即有2212:(2)4,:40C x y C x y +-=+-=；(2)将直线和圆的方程联立后,即224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩，计算得出直角坐标为(0,4),(2,2) ,则交点的极坐标为(4,)2π,)4π.【点睛】本题考查选修内容极坐标与参数方程，要学会极坐标与直角坐标的转化，包括点的坐标转化与曲线方程的转化，不论是点的坐标转化与曲线方程的转化，都是利用公式222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+进行转化，求两条直线或曲线的交点坐标，需要联立方程组解方程组，得出方程组的解写出交点的坐标.19.已知抛物线C ：22y x =和直线l ：1y kx =+,O 为坐标原点． （1）求证：l 与C 必有两交点；（2）设l 与C 交于A ,B 两点,且直线OA 和OB 斜率之和为1,求k 的值． （1）见解析；（2）1k = 【解析】（1）联立抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx +1，可得2x 2﹣kx ﹣1＝0，利用△＞0，即可证明l 与C 必有两交点；（2）根据直线OA 和OB 斜率之和为1，利用韦达定理可得k 的值．【详解】（1）证明：联立抛物线C ：22y x =和直线l ：1y kx =+,可得2210x kx --=,280k ∴=+>V ,l ∴与C 必有两交点；（2）解：设()11,A x y ,()22,B x y ,则12121;y y x x +=① 因为111y kx =+,221y kx =+,代入①,得121121;k x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭② 又由韦达定理得1212x x k +=,1212x x =-,代入②得1k =．【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于基础题．20. 选修4-4：坐标系与参数方程． 已知直线l 的参数方程为4{31x t a y t =-+=-(t 为参数)，在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin 8ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M，求实数a 的值． （1）22(3)1x y +-=；（2）376a =或92a =． 【解析】试题分析：（1）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=即可将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程化为普通方程，结合（1）中所得的圆的方程，再利用点到直线距离公式即可求解.试题解析：（1）∵222226sin 868(3)1x y y x y ρρθ-=-⇒+-=-⇒+-=，∴圆M直角坐标方程为22(3)1x y +-=；（2）把直线l 的参数方程4{31x t a y t =-+=-(t 为参数)化为普通方程得：34340x y a +-+=，∵直线l 截圆MM 的圆心(0,3)M 到直线l的距离16319522a d a -===⇒=或376a =，∴376a =或92a =. 考点：1.导数的运用；2.分类讨论的数学思想．21.已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AF 求得c ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF ，()0,2A - 所以23c =，c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即2k <-或2k >时 1212221612,1414k x x x x k k+==++.所以PQ ===点O 到直线l 的距离d =所以21214OPQ S d PQ k∆==+，0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++，当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22.过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知613AB BC =u u u r u u u r .（1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.（1）12e =；（2）22143x y +=. 【解析】【详解】（1）∵A (,0)a -,设直线方程为2()y x a =+,11(,)B x y令0x =,则2y a =,∴(0,2)C a ,∴1111(,),(,2)AB x a y BC x a y =+=--u u u r u u u r ∵613AB BC =u u u r u u u r ，∴1x a +=11166(),(2)1313x y a y -=-, 整理得111312,1919x a y a =-= ∵B 点在椭圆上,∴22221312()()11919a b+⋅=,∴223,4b a = ∴2223,4a c a -=即2314e -=,∴12e = （2）∵223,4b a =可设223.4b t a t ==, ∴椭圆的方程为2234120x y t +-= 由2234120{x y t y kx m+-==+得222(34)84120k x kmx m t +++-= ∵动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P∴0∆=,即2222644(34)(412)0k m m m t -+-=整理得2234m t k t =+设P 11(,)x y 则有122842(34)34km km x k k =-=-++,112334m y kx m k =+=+ ∴2243(,)3434km m P k k -++ 又(1,0)M ,Q (4,4)k m +若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥, ∴2243(1,)(3,(4))03434km m k m k k+-⋅--+=++恒成立 整理得2234k m +=,∴223434k t k t +=+恒成立,故1t = 所求椭圆方程22143x y += 考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，共线向量，平面向量垂直的充要条件.。
河北省唐山市滦县一中2018届高三上学期期中数学试卷理科 含解析
2018-2018学年河北省唐山市滦县一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈N|x2﹣2x≤0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．82．已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．执行如图所示的程序框图，则输出的n值为（）（注：“n=1”，即为“n←1”或为“n：=1”．）A．4 B．5 C．6 D．74．已知正项等差数列{a n}满足a1+a2018=2，则+的最小值为（）A．1 B．2 C．2018 D．20185．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．π C．π D．20π6．已知函数f（x）=asin3x+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f+f′=（）A．8 B．2018 C．2018 D．07．设n=4sinxdx，则二项式（x﹣）n的展开式的常数项是（）A．12 B．6 C．4 D．18．下列说法错误的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0B．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”D．已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题9．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向心平移个单位10．如图在矩形ABCD中，AB=，BC=4，点E为BC的中点，点F在CD上，若，则的值是（）A．B．C．D．11．如图，已知双曲线﹣=1（a，b＞0）的左右焦点分别为F1F2，|F1F2|=2，P是双曲线右支上的一点，PF1⊥PF2，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．212．已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3﹣x），f＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，）B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．若实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m=．14．在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实施程序的编排方法共有种（用数字作答）．15．记等比数列{a n}的前n项积为T n（n∈N*），已知a m﹣1a m+1﹣2a m=0，且T2m﹣1=128，则m的值为．16．抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+2．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．18．某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=，E、F分别为线段PD和BC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAF；（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G的位置；若不存在，请说明理由．20．定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足=2．（Ⅰ）求点P的轨迹曲线C的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C交于M、N两点，求•的最大值．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：．四.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．（1）证明：PA=PD；（2）求证：PA•AC=AD•OC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x+1|（1）求使不等式f（x）＜6成立的x的取值范围．（2）∃x0∈R，使f（x0）＜a，求实数a的取值范围．2018-2018学年河北省唐山市滦县一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈N|x2﹣2x≤0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B的并集确定出B的个数即可．【解答】解：由A中的不等式解得：0≤x≤2，x∈N，即A={0，1，2}，∵A∪B={0，1，2}，∴B可能为{0}；{1}；{2}；{0，1}；{0，2}；{1，2}；{0，1，2}，∅共8个．故选：D．2．已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．【分析】根据复数的几何意义，先将复数进行化简，即可得到结论．【解答】解：∵z====，∴复数z在复平面内对应的点（）位于第一象限．故选：A．3．执行如图所示的程序框图，则输出的n值为（）（注：“n=1”，即为“n←1”或为“n：=1”．）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】由框图的流程依次求得其运行的结果，直到满足条件S＜0，求出输出的n值．【解答】解：由程序框图知第一次运行第一次运行S=100﹣2，n=2；第二次运行S=100﹣2﹣22，n=3；第三次运行S=100﹣2﹣22﹣23，n=4；第四次运行S=100﹣2﹣22﹣23﹣24，n=5；第五次运行S=100﹣2﹣22﹣23﹣24﹣25=38，n=6；第六次运行S=100﹣2﹣22﹣23﹣24﹣25﹣26=﹣26＜0，n=7，满足条件s＜0，程序运行终止，输出n=7．故选D．4．已知正项等差数列{a n}满足a1+a2018=2，则+的最小值为（）A．1 B．2 C．2018 D．2018【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的性质结合已知求得a2+a2018=2，进一步得到，则+=（）（+），然后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，则a2+a2018=a1+a2018=2，∴，又a n＞0，则+=（）（+）=1+．上式当且仅当a2=a2018=1时取“=”．故选：B．5．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．π C．π D．20π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．6．已知函数f（x）=asin3x+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f+f′=（）A．8 B．2018 C．2018 D．0【考点】导数的运算．【分析】观察已知解析式f（x）=asin3x+bx3+4，构造g（x）=f（x）﹣4=asin3x+bx3是奇函数，而它的导数是偶函数，利用奇偶函数的性质解答．【解答】解：由已知，设函数g（x）=f（x）﹣4=asin3x+bx3是奇函数，由g（﹣x）=﹣g（x），∴g（x）为奇函数，f′（x）=3acos3x+3bx2为偶函数，∴f′（﹣x）=f′（x），∴f+f′=g+4+f′=g+f′+8=8．故选A．7．设n=4sinxdx，则二项式（x﹣）n的展开式的常数项是（）A．12 B．6 C．4 D．1【考点】二项式定理的应用；定积分．【分析】根据定积分的公式求出n的值，再根据二项式展开式的通项公式求出展开式的常数项．【解答】解：∵n=4sinxdx=﹣4cosx=﹣4（cos﹣cos0）=4，∴二项式（x﹣）4展开式的通项公式为T r=•x4﹣r•=（﹣1）r••x4﹣2r；+1令4﹣2r=0，解得r=2，=（﹣1）2•=6．∴展开式的常数项是T2+1故选：B．8．下列说法错误的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0B．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件C．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”D．已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题【考点】特称命题；命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题判断A的正误；利用充要条件判断B的正误；否命题的真假判断C的正误；复合命题的真假判断D的正误；【解答】解：对于A，命题p：∃x∈R，x2﹣x+1=0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0，满足特称命题的否定是全称命题，所以A正确．对于B，“sinθ=”则θ不一定是30°，而“θ=30°”则sinθ=，所以是必要不充分条件，B不正确；对于C，“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”判断正确．对于D，p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则“p∧￢q”一假就假，所以为假命题，D正确．错误命题是B．故选B．9．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将y=f（x）的图象（）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向心平移个单位【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】函数f （x ）=sin （ωx +ϕ）（ω＞0）的图象可知其周期T ，从而可求得ω，继而可求得φ，利用三角函数的图象变换及可求得答案．【解答】解：依题意，f （x ）=sin （ωx +ϕ）（ω＞0）的周期T=2×（﹣）=π=，∴ω=2，又2×+φ=π，∴φ=．∴f （x ）=sin （2x +）=cos [﹣（2x +）]=cos （﹣2x ）=cos （2x ﹣）；∴f （x +）=cos [2（x +）﹣]=cos （2x +）；∴为了得到函数y=cos （2x +）的图 象，只需将y=f （x ）的图象向左平移个单位．故选C ．10．如图在矩形ABCD 中，AB=，BC=4，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算律．【分析】由题意得选择基向量和，求出它们的长度和，由向量加法的三角形法则求出，代入式子由数量积运算求出，同理求出和，代入进行化简求值．【解答】解：选基向量和，由题意得， =， =4，∴，∴==+=，即cos0=，解得=1，∵点E 为BC 的中点，=1，∴，，∴=（）•（）==5+，故选B．11．如图，已知双曲线﹣=1（a，b＞0）的左右焦点分别为F1F2，|F1F2|=2，P是双曲线右支上的一点，PF1⊥PF2，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】直角三角形的内切圆半径r===，可得|PF1|﹣|PF2|=，结合|F1F2|=2，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，直角三角形的内切圆半径r===，∴|PF1|﹣|PF2|=，∵|F1F2|=2，∴双曲线的离心率是e===．故选：B．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3﹣x），f＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，）B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质；导数的运算．【分析】根据函数的奇偶性和单调性推导函数的周期性，构造函数g（x），求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（x+1）=f（3﹣x）=f（x﹣3），∴f（x+4）=f（x），即函数是周期为4的周期函数，∵f=f（﹣1）=f（1）=2，∴f（1）=2，设g（x）=，则函数的导数g′（x）==，故函数g（x）是R上的减函数，则不等式f（x）＜2e x﹣1等价为，即g（x）＜g（1），解得x＞1，即不等式的解集为（1，+∞），故选：D二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．若实数x，y满足，如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，则实数m=8．【考点】简单线性规划．【分析】由目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2，我们可以画出满足条件的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m 的方程组，消参后即可得到m的取值．【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，故，解得x=，y=，代入x﹣y=﹣2得﹣=﹣2⇒m=8故答案为：8．14．在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，则实施程序的编排方法共有 96 种（用数字作答）．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据A 只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A 排列，程序B 和C 实施时必须相邻，把B 和C 看做一个元素，同除A 外的3个元素排列，注意B 和C 之间还有一个排列． 【解答】解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A 只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A 排列，有2种结果 ∵程序B 和C 实施时必须相邻，∴把B 和C 看做一个元素，同除A 外的3个元素排列，注意B 和C 之间还有一个排列，共有A 44A 22=48种结果根据分步计数原理知共有2×48=96种结果， 故答案为：9615．记等比数列{a n }的前n 项积为T n （n ∈N *），已知a m ﹣1a m +1﹣2a m =0，且T 2m ﹣1=128，则m 的值为 4 ．【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【分析】由a m ﹣1a m +1﹣2a m =0，结合等比数列的性质可得a m =2，从而可表示T 2m ﹣1，由此可求m 的值．【解答】解：∵a m ﹣1a m +1﹣2a m =0，∴由等比数列的性质可得，a m 2﹣2a m =0， ∵a m ≠0，∴a m =2，∵T 2m ﹣1=a 1a 2…a 2m ﹣1=（a 1a 2m ﹣1）•（a 2a 2m ﹣2）…a m =a m 2m ﹣2a m =a m 2m ﹣1=22m ﹣1=128， ∴2m ﹣1=7，∴m=4． 故答案为：4．16．抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p= 6 ．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y=﹣，准线方程与双曲线联立可得：，解得x=±，因为△ABF为等边三角形，所以，即p2=3x2，即，解得p=6．故答案为：6．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+2．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+）．由x∈[0，]，可得sin（2x+）∈[﹣，1]，从而解得f（x）的值域；（2）由题意根据三角函数中的恒等变换应用可得sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又b=，由余弦定理可解得A的值，从而求得B，C的值，即可求得f（B）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+2=sin2x﹣2sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）…4分∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，∴f（x）∈[﹣1，2]…6分（2）∵由题意可得sin[A+（A+C）]=2sinA+2sinAcos（A+C）有，sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C）化简可得：sinC=2sinA，…9分∴由正弦定理可得：c=2a，∵b=，∴由余弦定理可得：cosA===∴可解得：A=30°，B=60°，C=90°…11分所以可得：f（B）=1…12分18．某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据所给的茎叶图看出16个数据，找出众数和中位数，中位数需要按照从小到大的顺序排列得到结论．（2）由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“极幸福”包括有一个人是极幸福和有零个人是极幸福，根据古典概型公式得到结果．（3）由于从该社区任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”学生的人数，得到变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望．【解答】解：（1）由茎叶图得到所有的数据从小到大排，8.6出现次数最多，∴众数：8.6；中位数：8.75；（2）设A i表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则（3）ξ的可能取值为0、1、2、3.；；，所以Eξ=．另解：ξ的可能取值为0、1、2、3．则，．所以Eξ=．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=，E、F分别为线段PD和BC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAF；（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G的位置；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PA中点为H，连结CE、HE、FH，由已知得ABCD是平行四边形，四边形FCEH是平行四边形，由此能证明CE∥平面PAF．（2）由已知得CA⊥AD，CA⊥平面PAD，CA⊥PA，建立平面直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出平面PAG和平面PGC所成二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：取PA中点为H，连结CE、HE、FH，∵H、E分别为PA、PD的中点，∴HE∥AD，HE=，∵ABCD是平行四边形，且F为线段BC的中点，∴FC∥AD，EC=，∴HE∥FC，HE=FC，四边形FCEH是平行四边形，∴EC∥HF，又∵CE不包含于平面PAF，HF⊂平面PAF，∴CE∥平面PAF．…（Ⅱ）解：∵四边形ABCD为平行四边形且∠ACB=90°，∴CA⊥AD，又由平面PAD⊥平面ABCD，∴CA⊥平面PAD，∴CA⊥PA由PA=AD=1，PD=知，PA⊥AD…∴建立如图所示的平面直角坐标系A﹣xyz∵PA=BC=1，AB=，∴AC=1，∴B（1，﹣1，0），C（1，0，0），P（0，0，1），假设BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，设点G的坐标为（1，a，0），﹣1≤a≤0，∴，=（0，0，1），设平面PAG的法向量为=（x，y，z），则，令x=a，y=﹣1，z=0，∴=（a，﹣1，0），又=（0，b，0），=（﹣1，0，1），设平面PCG的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，y=0，z=1，∴=（1，0，1），…∵平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，∴|cos＜＞|=||=，∴a=±1，又﹣1≤a≤0，∴a=﹣1，…所以线段BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°点G即为B点．…20．定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足=2．（Ⅰ）求点P的轨迹曲线C的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C交于M、N两点，求•的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．【分析】（Ⅰ）设A（x0，0），B（0，y0），P（x，y），由得，（x，y﹣y0）=2（x0﹣x，﹣y），由此能求出点P的轨迹方程．（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化简得：（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积结合已知条件能求出的最大值为．【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，0），B（0，y0），P（x，y），由得，（x，y﹣y0）=2（x0﹣x，﹣y），即，又因为，所以（）2+（3y ）2=9，化简得：，这就是点P 的轨迹方程．（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立，化简得：（t 2+4）y 2+2ty ﹣3=0，由韦达定理得：，，又由△=4t 2+12（t 2+4）=16t 2+48＞0恒成立，得t ∈R ，对于上式，当t=0时，综上所述的最大值为．…21．已知函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣1（a ＞0，e 为自然对数的底数）． （1）求函数f （x ）的最小值；（2）若f （x ）≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，证明：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的运算． 【分析】（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得f （x ）在x=lna 处取得极小值，且为最小值；（2）f （x ）≥0对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，f （x ）min ≥0．由（1），构造函数g （a ）=a ﹣alna ﹣1，所以g （a ）≥0，确定函数的单调性，即可求得实数a 的值；（3）由（2）知，对任意实数x 均有e x ﹣x ﹣1≥0，即1+x ≤e x ，令（n ∈N *，k=0，1，2，3，…，n ﹣1），可得，从而有，由此即可证得结论．【解答】（1）解：由题意a＞0，f′（x）=e x﹣a，由f′（x）=e x﹣a=0得x=lna．当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．即f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，其最小值为f（lna）=e lna﹣alna﹣1=a﹣alna ﹣1．（2）解：f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min≥0．由（1），设g（a）=a﹣alna﹣1，所以g（a）≥0．由g′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna=0得a=1．∴g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．因此g（a）≥0的解为a=1，∴a=1．（3）证明：由（2）知，对任意实数x均有e x﹣x﹣1≥0，即1+x≤e x．令（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），则．∴．∴=．四.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D．（1）证明：PA=PD；（2）求证：PA•AC=AD•OC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连结OA，由已知条件推导出∠PAD=∠PDA，即可证明PA=PD．（2）连结OA，由已知条件推导出△PAD∽△OCA，由此能证明PA•AC=AD•OC．【解答】（1）证明：连结AC，∵直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D，BC是直径，∴∠C+∠B=90°，∠ODB+∠B=90°，∴∠C=∠ODB，∵直线PA为圆O的切线，切点为A，∴∠C=∠BAP，∵∠ADP=∠ODB，∴∠BAP=∠ADP，∴PA=PD．（2）连结OA，由（1）得∠PAD=∠PDA=∠ACO，∵∠OAC=∠ACO，∴△PAD∽△OCA，∴，∴PA•AC=AD•OC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．【考点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可；（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得关于t的一元二次方程，由根与系数的关系，求出t1、t2的关系式，结合参数的几何意义，求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程ρsin2θ=acosθ（a＞0），可化为ρ2sin2θ=aρcosθ（a＞0），即y2=ax（a＞0）；直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，化为普通方程是y=x﹣2；（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax（a＞0）中，得；设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，则；∵|PA|•|PB|=|AB|2，∴t1•t2=，∴=+4t1•t2=5t1•t2，即；解得：a=2或a=﹣8（不合题意，应舍去）；∴a的值为2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x+1|（1）求使不等式f（x）＜6成立的x的取值范围．（2）∃x0∈R，使f（x0）＜a，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得使不等式f（x）＜6成立的x的取值范围．（2）由题意可得，a大于f（x）的最小值，而由绝对值的意义可得f（x）的最小值为4，从而求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣3|+|x+1|表示数轴上的x对应点到3、﹣1对应点的距离之和，它的最小值为4，且﹣2 和4对应点到3、﹣1对应点的距离之和正好等于6，故使不等式f（x）＜6成立的x的取值范围为（﹣2，4）．（2）由题意可得，a大于f（x）的最小值，而由f（x）的最小值为4，可得a＞4．2018年1月4日。
2018届河北省唐山一中高三上学期调研考试理科数学试题及答案
2018届高三调研考试理科数学试卷（满分：150分，测试时间：120分钟）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合1122M x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}2N x x x =≤，则M N = ( )A ．1[0,)2B ．1(,1]2- C ．1[1,)2- D ．1(,0]2-2．复数5)z i i i -+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为( )A ．2i -B ．2i +C ．4i -D ．4i +3．设向量11(1,0),(,)22a b == ，则下列结论中正确的是( )A ．||||a b =B．2a b = C ．//a b D ．()a b b -⊥4．下列关于命题的说法错误的是( )A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”；B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间(0,)+∞上为增函数”的充分不必要条件；C ．若命题p ：,21000n n N ∃∈>，则p ⌝：,21000n n N ∀∈≤；D ．命题“(,0),23x x x ∃∈-∞< ”是真命题．5．右图是一容量为100则由图可估计样本的重量的中位数为( ) A ．11 B ．11.5 C ．12 D ．12.56．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2x y x =⋅的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．①④③②B ．①④②③C ．④①②③D ．③④②①7．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若//,,,a b αβαγβγ== 则//a bD ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα8．点)2,4(-P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )xA ．22(2)(1)1x y -++=B ．22(2)(1)4x y -++=C ．22(4)(2)4x y ++-=D ．22(2)(1)1x y ++-= 9．已知函数00x a e ,x f (x )ln x,x ⎧⋅≤=⎨->⎩，其中e 为自然对数的底数，若关于x 的方程0f (f (x ))=，有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．()0,-∞B ．()()001,,-∞C ．()01,D ．()()011,,+∞ 10．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A ．3πB ．π4C ．π2D ．π2511．已知b 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6的展开式中的常数项是( ) A ．-20 B ．20 C ．-540 D ．54012．设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-．若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是( )A ．74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
最新-河北唐山一中2018学年度高一第一学期期中考试试卷生物 精品
河北唐山一中2018-2018学年度高一第一学期期中考试试卷生物考试时间60分钟，满分100分。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：（本题共30道小题，每小题2分共60分）1．单细胞植物衣藻前端偏向一侧的地方有一个红色的眼点，对光的强弱很敏感，可以使其游向光照适宜的地方。
这种现象生物学上称为A.新陈代谢B.应激性C.生长发育D.光合作用2．保健品黄金搭档组合维生素片中含钙、铁、锌、硒等矿质元素，其中属于组成生物体的大量元素的是A．钙B．铁C．锌D．硒3．牛通过吃草从草中获得化合物和元素，那么，牛和草体内的各种化学元素A．种类差异很大，含量大体相同B．种类和含量差异都很大C．种类和含量都是大体相同的D．种类大体相同，含量差异很大4．苹果含有微量元素Zn，而锌是构成与记忆力息息相关的核酸和蛋白质不可缺少的元素，儿童缺Zn就会导致大脑发育不良，因此苹果被称为记忆之果。
这说明无机盐离子A．对维持酸碱平衡有重要作用B．对维持细胞形态有重要作用C．对调节细胞内的浓度有重要作用D．对维持生物体生命活动有重要作用5．下图表示细胞中各种化合物或主要元素占细胞鲜重的含量。
①②③④依次为A．水、蛋白质、糖类、脂质；N、H、O、CB．蛋白质、水、脂质、糖类；O、C、N、HC．水、蛋白质、脂质、糖类；H、O、C、ND．蛋白质、水、脂质、糖类；C、O、H、N6．胰岛素和性激素都是生物激素，它们的化学本质分别是A．蛋白质和脂肪 B．脂质和蛋白质C．蛋白质和固醇 D．磷脂和蛋白质7．生物体内的蛋白质千差万别，其原因不可能是A．组成肽键的化学元素不同B．组成蛋白质的氨基酸酸种类和数量不同C．氨基酸排列顺序不同D．蛋白质的空间结构不同8．下列跨膜运输的生理活动，属于主动运输的是：A．酒精进入胃粘膜细胞B．原尿中的葡萄糖进入肾小管上皮细胞C．二氧化碳由静脉血进入肺泡内D．水分子出入细胞9．临床上，给病人输液时常用到0.9℅的Nacl溶液,对其作用的解释正确的是A. 为病人消毒B. 给病人提供营养物质C. 给病人补充水分D. 维持细胞的形态10．有一种二肽的化学式是C8H14N2O5，水解后得到丙氨酸（C3H7NO2）和另外一种氨基酸X，X的化学式是（）A.C5H11NO5B.C5H7NO3C.C5H9NO4D.C3H7NO211．一般情况下，细胞内结合水含量较高时，最不可能出现的生命现象是A．抗寒性强B．抗旱性强C．代谢活动强D．细胞的黏性强12．下列有机物和它们水解产物的配对，哪项是错误．．的A．淀粉→葡萄糖B．蛋白质→氨基酸C．脂肪→甘油、脂肪酸D．DNA→磷酸、核糖、含氮碱基13．衣藻的细胞质内含有的糖类和核酸主要是A．糖元和核糖核酸B．糖元和脱氧核糖核酸C．淀粉和核糖核酸D．淀粉和脱氧核糖核酸14．下列脂质物质中能够对生物体的正常代谢及生殖活动起调节作用的是A．脂肪B．磷脂C．固醇D．维生素D 15．白细胞能吞噬绿脓杆茵，与这一现象有关的是（）A .主动运输 B.自由扩散C.细胞膜的选择透过性D.细胞膜的流动性16．植物从土壤中吸收并运输到叶肉细胞的氮和磷,主要用于合成为（）①淀粉②葡萄糖③脂肪④磷脂⑤蛋白质⑥核酸A.①④⑥B.③④⑤C.④⑤⑥D.②④⑤17．下列能正确表示细胞膜结构的是D18．下列各项功能中,与固醇类无直接关系的是（）A.促进新陈代谢B.促进肠道对钙的吸收C.维持第二性征D.降低血液中葡萄糖浓度19．新生儿小肠上皮细胞通过消耗ATP ，可以直接吸收母乳中的蛋白质和葡萄糖。
【高一数学试题精选】唐山一中2018—2018学年高一数学上册期中检测试题(有答案)
唐山一中2018—2018学年高一数学上册期中检测试题（有
答案）
5
唐一中2 B c 2 D 0
10已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（）
A B c D
11已知是上的减函数，则的取值范围为（）
A．（0，1）B．（1，2） c．（0，2） D．
12若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么解析式为，值域为{1，7}的“孪生函数”的所有函数值的和等于（）
A．32 B．64 c．72 D． 96
卷Ⅱ(非选择题共90分)
二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）
13若则实数的取值范围是_________
14函数的图象必过定点 , 点的坐标为_________
15．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则的解析式为_______________________
16若函数为奇函数, 函数为偶函数,且 ,则
三、解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出字说明，证明过程和演算步骤）把各题的解答过程写在答题纸上
17．（本题满分10分）
（1）画出函数的图象并指出单调区间；
（2）利用图象讨论
关于方程 ( 为常数)解的个数?
18．(本题满分12分)。
唐山市滦县2018届高三数学上学期期中试题 理
2017-2018学年度第一学期期中考试高三理科数学试题第I 卷(选择题）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）．1．设集合A ＝｛y ｜y ＝2x ，x ∈R ｝，B ＝{x |x 2－1〈0}，则A ∪B ＝A ．（－1,1)B ．（0，1）C ．（－1,＋∞）D ．(0，＋∞）2。
复数z 满足z （1﹣i ）=｜1+i|，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.在区间［1，2］上任选两个数x ，y ，则y ＜ 的概率为A ．2ln2﹣1B ．1﹣ln2C ．D ．ln24.在等比数列{a n ｝ 中,a 1=4，公比为q ，前n 项和为S n ，若数列｛S n +2｝也是等比数列，则q 等于A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣35。
函数f （x ）=x|x|．若存在x ∈[1，+∞)，使得f(x ﹣2k ）﹣k ＜0，则k 的取值范围是A ．（2,+∞）B ．（1，+∞）C ．（21，+∞）D ．（41，+∞）6.若,则|a 0｜﹣｜a 1｜+|a 2|﹣｜a 3｜+|a 4｜﹣|a 5｜=A ．0B ．1C ．32D ．﹣17.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A．32 B．18 C．16 D．108。
如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n"表示m除以n的余数),若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=A．0 B．5 C．45 D．909.设函数的图象关于直线x=对称，它的周期是π,则A．f（x）的一个对称中心是（，0) B．f（x)在[］上是减函数C．f（x）的图象过点（0，）D．将f（x)的图象向右平移｜φ|个单位得到y=3sinωx的图象10.过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F(﹣c,0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E,延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点,若=(+），则双曲线的离心率为A．B．C．D．11。
河北省唐山一中2018届高三上学期期中数学试卷理科 含解析
2018-2018学年河北省唐山一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若全集U=R，集合M={x|x2＞4}，N={x|＞0}，则M∩（∁U N）等于（）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜﹣2}或x≥3}C．{x|x≥32}D．{x|﹣2≤x＜3}2．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i3．若直线x+ay+6=0与直线（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a=（）A．a=﹣1 B．a=3 C．a=3或a=﹣1 D．a=3且a=﹣14．已知“命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）”是“命题q：x2+3x﹣4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）A．m＞1或m＜﹣7 B．m≥1或m≤﹣7 C．﹣7＜m＜1 D．﹣7≤m≤15．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）6．设点A（1，0），B（2，1），如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a2+b2（）A．最小值为B．最小值为C．最大值为D．最大值为7．设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．28．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD．EF 与平面ABCD的距离为1丈，问它的体积是（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．8立方丈10．已知函数f（x）=满足条件，对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A．B．﹣C． +3 D．﹣+311．如图所示是三棱锥D﹣ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若﹣1＜x＜1，则y=+x的最大值为．14．数列{a n}的通项，其前n项和为S n，则S30=．15．等腰三角形ABC中，AB=4，AC=BC=3，点E，F分别位于两腰上，E，F将△ABC分成周长相等的三角形与四边形，面积分别为S1，S2，则的最大值为．16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=称为狄利克雷函数，关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的序号为．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3=7，且a1，a2，a3﹣1成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；，n=1，2，3…，求和：．（2）若b n=log4a2n+118．如图，已知平面上直线l1∥l2，A、B分别是l1、l2上的动点，C是l1，l2之间一定点，C到l1的距离CM=1，C到l2的距离CN=，△ABC内角A、B、C所对边分别为a、b、c，a＞b，且bcosB=acosA（1）判断三角形△ABC的形状；（2）记∠ACM=θ，f（θ）=，求f（θ）的最大值．19．已知函数f（x）=2；（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点，若=4，求a的最小值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21．已知圆C：x2+y2=2，点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．（1）求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；（2）在（1）的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA、QB的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．22．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）若函数F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，求t的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．2018-2018学年河北省唐山一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若全集U=R，集合M={x|x2＞4}，N={x|＞0}，则M∩（∁U N）等于（）A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＜﹣2}或x≥3}C．{x|x≥32}D．{x|﹣2≤x＜3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出M与N中不等式的解集，根据全集U=R求出N的补集，找出M与N补集的交集即可．【解答】解：由M中的不等式解得：x＞2或x＜﹣2，即M={x|x＜﹣2或x＞2}，由N中的不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即N={x|﹣1＜x＜3}，∵全集U=R，∴∁U N={x|x≤﹣1或x≥3}则M∩（∁U N）={x|x＜﹣2或x≥3}．故选：B．2．若复数z满足zi=1﹣i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数z满足zi=1﹣i，可得z，从而求出即可．【解答】解：∵复数z满足zi=1﹣i，∴z===﹣1﹣i，故=﹣1+i，故选：C．3．若直线x+ay+6=0与直线（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a=（）A．a=﹣1 B．a=3 C．a=3或a=﹣1 D．a=3且a=﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线平行可得1×3﹣a（a﹣2）=0，解方程排除重合即可．【解答】解：∵直线x+ay+6=0与直线（a﹣2）x+3y+2a=0平行，∴1×3﹣a（a﹣2）=0，解得a=3或a=﹣1，经验证当a=3时，两直线重合，应舍去故选：A．4．已知“命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）”是“命题q：x2+3x﹣4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）A．m＞1或m＜﹣7 B．m≥1或m≤﹣7 C．﹣7＜m＜1 D．﹣7≤m≤1【考点】一元二次不等式的解法．【分析】分别求出两命题中不等式的解集，由p是q的必要不充分条件得到q能推出p，p 推不出q，即q是p的真子集，根据两解集列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可求出m的范围．【解答】解：由命题p中的不等式（x﹣m）2＞3（x﹣m），因式分解得：（x﹣m）（x﹣m﹣3）＞0，解得：x＞m+3或x＜m；由命题q中的不等式x2+3x﹣4＜0，因式分解得：（x﹣1）（x+4）＜0，解得：﹣4＜x＜1，因为命题p是命题q的必要不充分条件，所以q⊊p，即m+3≤﹣4或m≥1，解得：m≤﹣7或m≥1．所以m的取值范围为：m≥1或m≤﹣7故选B5．如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．【解答】解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，即有a=﹣1﹣b，从而﹣2＜a＜﹣1，而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，g（）=ln+1+a＜0，由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：0＜﹣＜1，解得﹣2＜a＜0，∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选C．6．设点A（1，0），B（2，1），如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a2+b2（）A．最小值为B．最小值为C．最大值为D．最大值为【考点】简单线性规划的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】由题意得：点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，那么把这两个点代入ax+by﹣1，它们的符号相反，乘积小于等于0，即可得出关于a，b的不等关系，画出此不等关系表示的平面区域，结合线性规划思想求出a2+b2的取值范围．【解答】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，∴（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0，即或；画出它们表示的平面区域，如图所示．a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，∵d=，那么a2+b2的最小值为：d2=．故选A．7．设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．2【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由向量满足|﹣（+）|=|﹣|，可得|﹣（+）|=|﹣|≥，即．当且仅当||=|﹣|即时，．即可得出．【解答】解：∵向量满足|﹣（+）|=|﹣|，∴|﹣（+）|=|﹣|≥，∴≤==2．当且仅当||=|﹣|即时，=2．∴．故选：D．8．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据min{m，n}的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图，两个图象的下面部分图象，由g（x）=﹣x2+2x+3=0，得x=﹣1，或x=3，由f（x）=|lnx|﹣1=0，得x=e或x=，∵g（e）＞0，∴当x＞0时，函数h（x）的零点个数为3个，故选：C．9．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD．EF 与平面ABCD的距离为1丈，问它的体积是（）A ．4立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．8立方丈 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过E 作EG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，过F 作FH ⊥平面ABCD ，垂足为H ，过G 作PQ ∥AD ，交AB 于Q ，交CD 于P ，过H 信MN ∥BC ，交AB 于N ，交CD 于M ，则它的体积V=V E ﹣AQPD +V EPQ ﹣FMN +V F ﹣NBCM ，由此能求出结果．【解答】解：过E 作EG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，过F 作FH ⊥平面ABCD ，垂足为H ，过G 作PQ ∥AD ，交AB 于Q ，交CD 于P ，过H 信MN ∥BC ，交AB 于N ，交CD 于M ，则它的体积：V=V E ﹣AQPD +V EPQ ﹣FMN +V F ﹣NBCM=+S △EPQ •NQ +=++=5（立方丈）． 故选：B ．10．已知函数f （x ）=满足条件，对于∀x 1∈R ，存在唯一的x 2∈R ，使得f （x 1）=f （x 2）．当f （2a ）=f （3b ）成立时，则实数a +b=（ ）A ．B ．﹣C ．+3 D ．﹣+3【考点】分段函数的应用．【分析】根据条件得到f （x ）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，得到a ，b 的关系进行求解即可．【解答】解：若对于∀x 1∈R ，存在唯一的x 2∈R ，使得f （x 1）=f （x 2）． ∴f （x ）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调， 则b=3，且a ＜0，由f （2a ）=f （3b ）得f （2a ）=f （9），即2a 2+3=+3=3+3，即a=﹣，则a+b=﹣+3，故选：D．11．如图所示是三棱锥D﹣ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】由三视图还原实物图；异面直线及其所成的角．【分析】由题意还原出实物图形的直观图，如图从A出发的三个线段AB，AC，AD两两垂直且AB=AC=2，AD=1，O是中点，在此图形中根据所给的数据求异面直线DO和AB所成角的余弦值【解答】解：由题意得如图的直观图，从A出发的三个线段AB，AC，AD两两垂直且AB=AC=2，AD=1，O是中点，取AC中点E，连接OE，则OE=1，又可知AE=1，由于OE∥AB，，故角DOE即所求两异面直线所成的角在直角三角形DAE中，求得DE=由于O是中点，在直角三角形ABC中可以求得AO=在直角三角形DAO中可以求得DO=在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE==故选A12．已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围．【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若﹣1＜x＜1，则y=+x的最大值为0．【考点】基本不等式．【分析】利用分离常数法化简解析式，并凑出积为定值，由x的范围化为正数后，利用基本不等式求出函数的最大值．【解答】解：由题意得，y=+x===，∵﹣1＜x＜1，∴﹣2＜x﹣1＜0，则0＜﹣（x﹣1）＜2，∴=2，则，当且仅当时，此时x=0，取等号，∴函数的最大值是0，故答案为：0．14．数列{a n}的通项，其前n项和为S n，则S30=．【考点】数列的求和．【分析】由a n=n（cos2）=ncosπ可得数列是以3为周期的数列，且，代入可求【解答】解：∵a n=n（cos2）=ncosπS30=[]=故答案为1515．等腰三角形ABC中，AB=4，AC=BC=3，点E，F分别位于两腰上，E，F将△ABC分成周长相等的三角形与四边形，面积分别为S1，S2，则的最大值为．【考点】基本不等式．【分析】根据条件画出图象，由图求出底边上的高和sinA的值，由正弦定理求出sinC，设CE=x，CF=y，利用三角形的面积公式求出S1和S2=S﹣S1，由条件列出方程化简后，三角形ABC根据基本不等式求出xy的范围，代入化简后求出的最大值．【解答】解：设E、F分别在AC和BC上，如图所示：取AB的中点D，连接CD，∵AB=4，AC=BC=3，∴CD==，则sinA==，由得，sinC===，设CE=x，CF=y，所以S1=xysinC=，﹣S1=2﹣S1=，则S2=S三角形ABC由条件得x+y=3﹣x+4﹣y+3，化简得x+y=5，则xy≤=，当且仅当x=y=时取等号，所以===≤=，当且仅当x=y=时取等号，则的最大值是，故答案为：．16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=称为狄利克雷函数，关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的序号为 ①②③④ ．（写出所有正确命题的序号） 【考点】分段函数的应用．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x 是有理数还是无理数，均有f （f （x ））=1； ②根据函数奇偶性的定义，可得f （x ）是偶函数； ③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=，可得A （，0），B （0，1），C （﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：①∵当x 为有理数时，f （x ）=1；当x 为无理数时，f （x ）=0， ∴当x 为有理数时，ff （（x ））=f （1）=1；当x 为无理数时，f （f （x ））=f （0）=1， 即不管x 是有理数还是无理数，均有f （f （x ））=1，故①正确； ②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （x ），故②正确；③若x 是有理数，则x +T 也是有理数； 若x 是无理数，则x +T 也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f （x +T ）=f （x ）对x ∈R 恒成立，故③正确；④取x 1=﹣，x 2=0，x 3=，可得f （x 1）=0，f （x 2）=1，f （x 3）=0，∴A （，0），B （0，1），C （﹣，0），恰好△ABC 为等边三角形，故④正确．即真命题的个数是4个，故答案为：①②③④．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 3=7，且a 1，a 2，a 3﹣1成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =log 4a 2n +1，n=1，2，3…，求和：．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列的性质． 【分析】（1）由已知得：，设数列{a n }的公比为q ，把等比数列的通项公式代入，求出q=2，a 1=1，由此得到数列 {a n }的通项公式．（2）先求出 b n =log 4 4n =n ，要求的式子即，用裂项法求出它的值．【解答】解：（1）由已知得：，解得 a 2=2．设数列{a n }的公比为q ，由 a 2=2，可得 a 1=，a 3=2q ，又S 3=7，可知+2+2q=7，即 2q 2﹣5q +2=0，解得 q=2，或q=．由题意得q＞1，∴q=2，a1=1，故数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由（1）得a2n+1=22n=4n，由于b n=log4 a2n+1，∴b n=log4 4n=n．=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣．18．如图，已知平面上直线l1∥l2，A、B分别是l1、l2上的动点，C是l1，l2之间一定点，C到l1的距离CM=1，C到l2的距离CN=，△ABC内角A、B、C所对边分别为a、b、c，a＞b，且bcosB=acosA（1）判断三角形△ABC的形状；（2）记∠ACM=θ，f（θ）=，求f（θ）的最大值．【考点】已知三角函数模型的应用问题．【分析】（1）利用正弦定理，结合结合bcosB=acosA，得sin2B=sin2A，从而可三角形△ABC 的形状；（2）记∠ACM=θ，表示出f（θ）=，利用辅助角公式化简，即可求f（θ）的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理可得：结合bcosB=acosA，得sin2B=sin2A∵a＞b，∴A＞B∵A，B∈（0，π），∴2B+2A=π，∴A+B=，即C=∴△ABC是直角三角形；（2）记∠ACM=θ，由（1）得∠BCN=∴AC=，BC=∴f（θ）==cosθ+=cos（θ﹣），∴θ=时，f（θ）的最大值为．19．已知函数f（x）=2；（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点，若=4，求a的最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用三角恒等变换，可化简f（x）=sin（2x+），利用正弦函数的性质可求得函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）由已知=4，化简整理可得bc=8，再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA 结合不等式即可求得a的最小值．【解答】解：（1）因此，最小正周期为T=π…，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）…（2）由题知：=c2+b2﹣bccosA﹣a2=2bccosA﹣bccosA=bc=4，∴bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，∴a≥2，∴a的最小值为2…20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP，则AD⊥OB，由勾股定理得出AD ⊥OP，故而AD⊥平面OPB，于是AD⊥PB；（II）以O为原点建立坐标系，设M（m，0，n），求出平面BCM的平面ABCD的法向量，令|cos＜＞|=cos解出n，从而得出的值．【解答】证明：（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP．∵AD∥BC，∠ADC=∠BCD=90°，CD∥OB，∴四边形OBCD是矩形，∴OB⊥AD．OD=BC=2，∵PD=4，∠PDA=60°，∴OP==2．∴OP2+OD2=PD2，∴OP⊥OD．又OP⊂平面OPB，OB⊂平面OPB，OP∩OB=O，∴AD⊥平面OPB，∵PB⊂平面OPB，∴AD⊥PB．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OA⊥AD，∴OP⊥平面ABCD．以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则B（0，，0），C（﹣2，，0），假设存在点M（m，0，n）使得二面角M﹣BC﹣D的大小为，则=（﹣m，，﹣n），=（﹣2，0，0）．设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则．∴，令y=1得=（0，1，）．∵OP⊥平面ABCD，∴=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量．∴cos＜＞===．解得n=1．∴==．21．已知圆C：x2+y2=2，点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．（1）求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；（2）在（1）的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA、QB的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）先求出|PM|=2，设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直，由此能求出结果．（2）设直线QA的斜率为k，则直线QB斜率为﹣k，直线QA的方程：y+1=k（x+1）联立，得（1+k2）x2+2k（k﹣1）x+k2﹣2k﹣1=0，从而求出x A，x B，由此能求出直线AB与直线PM垂直．【解答】解：（1）因为点P（2，0），M（0，2），所以|PM|=2，设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，所以=．△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直，故有最大值h=d+r=，最大面积，此时点Q坐标为点（﹣1，﹣1）．（2）直线AB与直线PM垂直，理由如下：因为过点Q（﹣1，﹣1）作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点，直线QA、QB的倾斜角互补，所以直线QA、QB斜率都存在．设直线QA的斜率为k，则直线QB斜率为﹣k，所以直线QA的方程：y+1=k（x+1）联立，得（1+k2）x2+2k（k﹣1）x+k2﹣2k﹣1=0，又因为点Q（﹣1，﹣1）在圆C上，故有，所以x A=，同理，===1，又k PM=，所以有k PM•k AB=﹣1，故直线AB与直线PM垂直．22．已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）若函数F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，求t的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可得到结论．（Ⅱ）构造函数h（x）=f（x）﹣x和G（x）=，求函数的导数，分别求出函数的最值进行比较比较即可．（Ⅲ）利用参数分离法，转化为以m为变量的函数关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）g′（x）=2x，F（x）=tf（x）=tlnx，F′（x）=tf′（x）=，∵F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，∴k=F′（1）=g′（1），即t=2，（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=﹣1=，则h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，∴h（x）的最大值为h（1）=﹣1，∴|h（x）|的最大值是1，设G（x）==+，G′（x）=，故G（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，故G（x）max=+＜1，∴；（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，则a≤mlnx﹣x对所有的都成立，令H（x）=mlnx﹣x，是关于m的一次函数，∵x∈[1，e2]，∴lnx∈[0，2]，∴当m=0时，H（m）取得最小值﹣x，即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立，故a≤﹣e2．2018年12月15日。
河北省唐山一中高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
唐山一中2017-2018学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.直线MN 的斜率为2，其中点(11)N -，，点M 在直线1y x =+上，则（ ） .A (57)M ，.B (45)M ， .C (21)M ， .D (23)M ， 2.过原点且与圆22430x y x +-+=相切的直线的倾斜角为（ ）.A3π或23π .B 6π或56π .C 4π或34π .D 3π或56π3.由直线2y x =+上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）.A .B .C .D 14.平面内动点P 到两点,A B 距离之比为常数(0,1)λλλ>≠，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知(2,0)A -，(2,0)B ，12λ=，则此阿波尼斯圆的方程为（ ）.A 221240x y x +-+= .B 221240x y x +++= .C 2220403x y x +-+= .D 2220+403x y x ++=5.已知双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>，则该双曲线的渐近线方程为（ ）.A 0x -= .B 0y -= .C 0y ±= .D 0x ±= 6.已知点P 在抛物线24x y =上，则当点P 到点(1,2)Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）.A (2,1) .B (2,1)- .C 1(1,)4- .D 1(1,)47. 抛物线22y x =的焦点到准线的距离是( ).A 2 .B 1 .C 12 .D 148.已知动点(,)P x y 满足341x y =+-，则点P 的轨迹为（ ）.A 直线 .B 抛物线 .C 双曲线 .D 椭圆9.已知双曲线方程为2214y x -=，过点(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有（ ）.A 4 .B 3 .C 2 .D 110.已知00(,)P x y 是椭圆22:14x C y +=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF ⋅<，则0x 的取值范围是（ ）.A (33-.B (33- .C (33- .D (33- 11. 已知不过原点的直线l 与2y x =交于,A B 两点，若使得以AB 为直径的圆过原点，则直线l 必过点（ ）.A (01)，.B (10)， .C (02)， .D (10)-， 12. 设双曲线22221(0,0)x y C a b a b -=>>：的左右焦点分别为12,,F F 若在曲线C 的右支上存在点P ,使得12PF F ∆的内切圆半径为a ,圆心记为M ，又12PF F ∆的重心为G ，满足12MG F F ,则双曲线C 的离心率为（ ）．.A .B .C 2 .D第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上.13.点(,)P x y 为椭圆2219x y +=上的任意一点，则3x y +的最大值为 ______ ．14. 已知直线1310l ax y +-=：，222()30l x a a y +-+=：，且12l l ⊥已知则a =__. 15.在抛物线216y x =内，过点(2,1)且被此点平分的弦所在直线的方程是 __________ ．16.已知定圆()22316M x y -+=：，点A 是圆M 所在平面内一定点，点P 是圆M 上的动点，若线段PA 的中垂线交直线PM 于点Q ,则点Q 的轨迹可能是: ①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点；⑦线段.其中正确的命题序号为__________ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)直线l 过点4(,2)3P ，且与x 轴,y 轴的正方向分别交于,A B两点, O 为坐标原点，当AOB ∆的面积为6时，求直线l 的方程.18. (本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．圆1C 和直线2C 的极坐标方程分别为4sin ρθ=，cos()4πρθ-=(1)求圆1C 和直线2C 的直角坐标方程． (2)求圆1C 和直线2C 交点的极坐标．19. (本小题满分12分)已知抛物线2:2C y x =和直线:1l y kx =+，O 为坐标原点． (1)求证：l 与C 必有两交点；(2)设l 与C 交于,A B 两点，且直线OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值．20. (本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin 8ρρθ-=-． (1)求圆M 的直角坐标方程；(2)若直线l 截圆M a 的值．21.(本小题满分12分)已知点(0,2)A -,椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为F 是椭圆的焦点,直线AF , O 为坐标原点. (1)求E 的方程.(2)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点,当OPQ ∆的面积最大时,求l 的方程.22. (本小题满分12分)过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知613AB BC =. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.选择题1-5BBBDD 6-10DDBBA 11-12AC 13141516 ①②④⑥17直线的方程为线或18解:(1)由,,,,即为,即有;,即为,即,即有,;(2)将直线和圆的方程联立后,即计算得出直角坐标为,,则交点的极坐标为,(注:极坐标表示法不唯一).19(1)证明:联立抛物线和直线,可得,,与C必有两交点;(2)解:设,,则①因为,,代入①,得②因为,,代入②得20（1）∵，∴圆的直角坐标方程为；（2）把直线的参数方程(为参数)化为普通方程得：，∵直线截圆所得弦长为，且圆的圆心到直线的距离或，∴或21（1）设，由条件知，，得。
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唐山一中2018——2018学年度第一学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设A ，B ，C 为非空集合，N M P C B N C A M ⋃=⋂=⋂=,,，则必有 （ ）A ．C P C =⋂B ．P PC =⋂C ．P C P C ⋃=⋂D ．=⋂P C2．},63|{},,66|{z k k y y N z k k x x M ∈±==∈+==ππππ，则有 （ ）A ．M N M =⋂B ．M N M =⋃C ．M=ND ．M N M ⊂⋂3．函数的值域为xx f 51)(-=（ ）A ．),0[+∞B ．),0(+∞C ．)1,0[D ．（0，1）4．有下列命题①“若xy =1,则x,y 互为倒数”的逆命题②“面积相等的三角形全等”的否命题③“若有实根则02,12=+-≤m x x m ”的逆否命题④“若M N N N M ⊆=⋃则”的逆否命题。
其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．③④ 5．已知)(x f 的图象恒过（1，1）点，则)4(-x f 的图象恒过（ ）A ．（－3，1）B ．（5，1）C ．（1，－3）D ．（1，5） 6．若=≠-=-)21(),0(1)21(22f x x x x f 那么 （ ）A ．1B ．3C ．15D ．307．若x 是实数，则)1|)(|1(x x +-是正数的一个必要但不充分条件是（ ）A ．1||<xB ．1||>xC ．111<<--<x x 或D ．x <18．设函数)1()(,121)(1+=+-=-x f y x g x x x f 的图象与函数的图象关于直线y =x 对称，则g(1)=（ ）A ．23-B ．－1C ．21-D ．0 9．若a a a a b b b b b a ---=+>>则且,22,1,0的值等于 （ ）A ．6B ．22-或C ．2D ．－2 10．已知函数)()(,)(是常数则有反函数a a x f x f y ==（ ） A ．有且仅有一个实根 B ．至多有一个实根C ．至少有一个实根D ．实根个数可能有0个，1个，1个以上11．函数axa x f --=5)1()(在[1，2]上为单调递减函数，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．),2(+∞B ．（1，2）C ．]25,2(D ．（1，5）12．已知函数时当构造函数)(|)(|:)(,1)(,12)(2x g x f x F x x g x f x≥-=-=， )(,),()(,)(|)(||,)(|)(x f x g x F x g x f x f x F 那么时当-=≤=（ ）A ．有最小值0，无最大值B ．有最小值－1，无最大值C ．有最大值1，无最小值D ．无最小值，也无最大值第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题4分，共16分。
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河北省唐山一中2018—2018学年度高一第一学期期中考试数学试卷说明：1．考试时间120分钟，满分150分。
2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.。
3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。
卷Ⅰ（选择题 共60分）一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项正确）1.若集合{}{}0)1(,2,1,0,1=-=-=x x x N M ，则=N M （ ）A.{}2101，，，- B.{}210，， C.{}101，，- D.{}10， 2.不等式的0)2)(1(>-+x x 解集为（ ）A.{}21>-<x x x 或 B.{}12>-<x x x 或 C. {}12<<-x xD.{}21<<-x x3.设021:,020:22<-->--x x q x x p ,则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.有下列四个命题（1）“若1=xy ，则y x ,互为倒数”的逆命题 ； （2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若1≤m ，则022=+-m x x 有实数解”的逆否命题；（4）“若B B A = ,则B A ⊆”的逆否命题. 其中真命题为（ ） A.（1）（2）B.（2）（3）C.（4）D.（1）（2）（3）5.函数)40(422≤≤--=x x x y 的值域为（ ）A.[]2,2-B.[]2,1C.[]2,0D.[]0,2- 6.已知函数R x x x f ∈-=,1)(.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)21(,)21(f f b f f a ，则（ ）A.b a >B.b a <C.b a =D.b a ≠ 7.若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.3-≤aB. 3-≥aC. 5≤aD. 3≥a8.已知函数)1(11)(2-<-=x x x f ，则)31(1--f 的值是（ ） A.2- B.3- C.1 D.3 9.不等式62<+ax 解集为()2,1-，则实数a 的值是（ ）A.8B.2C.4-D.8-10.对于任意实数x ，不等式04)2(222<----x m x m ）（恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.2<mB. 2≤mC. 22<<-mD. 22≤<-m11.已知函数)(1x f y -=的图像过点()0,1，则)121(-=x f y 的反函数的图象一定过点（ ）A.()2,1B.()1,2C.()2,0D.()0,2 12.设定义域为R 的函数)(x f 满足[]2)()(21)1(x f x f x f -+=+，且1)1(=f ，则)2008(f 等于（ ）A.1-B.1C.21D.0或1卷Ⅱ（非选择题 共90分）二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分） 13.函数322)(2-+-=x x x x f 的定义域为_______________.（用区间表示）14.已知)(x f y =是定义在()1,1-上减函数，且)12()1(-<-a f a f ，则a 的取值范围是______________.15.如果[]12)(-=x x f f ，则一次函数=)(x f ______________.16.有下列几个命题：①函数122++=x x y 在()+∞,0上不是增函数；②函数11+=x y 在()()+∞--∞-,11, 上是减函数；③函数245x x y -+=的单调区间是[)+∞-,2；④已知)(x f 在R 上是增函数，若0>+b a ，则有)()()()(b f a f b f a f -+->+.其中正确命题的序号是______________. 三．解答题（计70分）17.（本小题10分）已知集合{},1,,32+-=x x A {}1,12,32+--=x x x B ，其中R x ∈,如果{}3-=B A ,求B A .18.（本小题12分）已知函数223)(x x x f --=(1)写出函数)(x f 的单调区间，并注明单调性(2)求函数)(231)(x f x f y --=的值域19.（本小题12分）给定两个命题：p ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根.如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围.20.（本小题12分）已知)1(11)(2≥⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x x f（1）求)(x f 的反函数)(1x f -（2）判断)(1x f -的单调性，并加以证明.21.（本小题12分）函数)(1x f y =为正比例函数，图象过点)1,1(A ；函数)(2x f y =为反比例函数，设)()()(21x f x f x F +=，且8)(=x F 有两个相等实根 （1）求)(x F 的解析式（2）求解关于x 的不等式10)(≤x F（3）若当[]10,3∈x 时，28)(32+<<-n x F mx 恒成立，求实数m 和n 的取值范围.22. （本小题12分）定义在()11，-上的函数)(x f 满足对任意()1,1-∈n m 、都有)1()()(mnnm f n f m f ++=+，且当()0,1-∈x 时有0)(>x f（1） 试判断)(x f -与)(x f 间的关系（要有推理过程） （2） 判断)(x f 的单调性，并证明 （3） 求证：)21()131()111()51(2f n n f f f >+++++参考答案一.选择题（共12小题，每小题5分，计60分）1.D2.D3.A4.A5.C6.C7.A8.A9.C 10.D 11.A 12.C 二.填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13.()(]213，， -∞- 14.⎪⎭⎫⎝⎛320，15.212)(212)(++-=-+=x x f x x f 或 16.④ 三.解答题17.{}2,4,0,1,3--=B A18.（1）在[]13--，上单调递增，在[]11，-上单调递减 （2）(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+--∞-，，311 19.a 的取值范围是0441<<<a a 或. 20.（1）[)1,011)(1∈-+=-x xx x f（2）证：任取1021<<≤x x[).10)()()(0)()(0,01,0101,01,0,10))(1)(1()1)(1)((2)1)(1()(21111)()(121112111212121212121212121212122112111上单调递增，在即：而x f x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f -------∴<<-∴>+>+>+>->-<-∴<<≤+--++-=---=-+--+=-21.（1）x x x F 16)(+= （2）()[]8,20, ∞- （3）56,10073><n m 22.（1）)()(0)0()()(,,0)0(),0()0()0(0x f x f f x f x f x n x m f f f f n m -=-∴==+-=-===+==得再令得，得令 （2）任取1121<<<-x x().11)()()(0)1(01110,011)1()()()()(212121212121212121212121上单调递减，在-∴>∴>--∴<--<-∴<<<-∴<<<---=-+=-x f x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x f x f（3）证明:1231322-++=++n n n n 令)32()21()21()131()111()51()21()11()21()11()131()2)(1(1121111)1)(2()1()2(12311312222+=+-=+++++∴+-+=+-++=++++-+-+=-++--+=-++=++n n f n f f n n f f f n f n f n f n f n n f n n n n n n n n n n n n .)21()32(2132即原式成立f n n f n n >+∴<+。
河北省唐山市2018届高三数学上学期期中试题理(无答案)
河北省唐山市2018届高三数学上学期期中试题 理（无答案）第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U=R ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=01|A x x x ，{}1|≥=x x B ，则集合{}0|≤x x 等于 A ．A B ⋂B ．UC A B ⋃（） C ． UC A B ⋂（）D ．A B⋃2．若复数z 满足i iz 42+=，则z = A ．i 24-B ．i 42-C ．i 42+D ．i 24+3．已知等比数列{}n a 的公比大于1，7273=a a ，2782=+a a ，则a A ．48B ．64C ．72D ． 964．已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,下面四个命题 (1) α∥β⇒l ⊥m (2) α⊥β⇒l ∥m(3) l ∥m ⇒α⊥β (4) l ⊥m ⇒α∥β中正确的两个命题是( ) A.(1)与(3) B.(3) 与(4) C.(2)与 (4) D.(1)与(2) 5．下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，＋∞)上是减函数；(3)是偶函数.这样的函数是A . y ＝x 3＋1 B . y ＝2|x|C . y ＝log 2 (|x|＋2)D . y ＝(12)|x|6．阅读如图所示的程序框图，若输入919a =，则输出的k 值是 A ．9 B ． 10 C ．12 D ． 117．直线3x + 4y + 2 = 0与圆x 2+ y 2+ 4x = 0交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是 （ ）A 4x －3y －2 = 0B 4x －3y －8 = 0C 4x - 3y + 8= 0D 4x +3y + 8 = 08．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．π2 B ．π22C ．（212+）πD ．（222+）π9．已知正三角形ABC 的边长是3，D 是BC 上的点，BD=1，则BC AD ∙=A ．29-B ．215C ．23-D ．25 10．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2x y x =⋅的图象则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②①11．曲线y=11x x -+在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ） A ．12 B ． 41C ．43D ．1812．设函数)(x f y =在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数：⎩⎨⎧>≤=))(()(()()(k x f kkx f x f x f k ,取函数x e x x f ---=2)(，若对任意的),(∞+-∞∈x ，恒有)()(x f x f k =，则A. k 的最小值为1B. k 的最小值为2C. k 的最大值为1D. k 的最大值为2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量)1,(z x -=，),2(z y +=，且b a ⊥，若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥5231y x xy x ，则z 的最大值为 14．球内接正六棱锥的侧棱长与底面边长分别为22和2，则该球的体积为 ；15．由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积为 . 16．下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据：x因为儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 ．三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知向量))4sin(),6(cos()),4sin(2),6cos(2(ππππ+--=---=x x x x ,2)(-∙=b a x f .（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 在区间]2,12[ππ-上的最值.18 （本题满分12分）设数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项的和为n S ，点(,)n n a S 在函数2111822y x x =++的图像上；数列{}n b 满足1111,()n n n n b a b a a b ++=-=．其中n N *∈． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n na cb =，求证：数列{}n c 的前n 项的和59n T >（n N *∈）．19、（本题满分12分）在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足sin 2A A =. (1)求A 的大小；(2)现给出三个条件：①2a =； ②45B =︒；③c =.试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，写出你的选择并以此为依据求ABC ∆的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) .20．（本小题12分）已知正方形ABCD 的边长为1，AC BD O = ．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使1AC =，得到三棱锥A —BCD ，如图所示．（I ）若点M 是棱AB 的中点，求证：OM∥平面ACD ； （II ）求证：AO BCD ⊥平面； （III ）求二面角A BC D --的余弦值．21.（本小题满分12分） 已知函数32()23 3.f x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围. 请考生在第22、23两题题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x t y t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数)，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于点A ，B ，若点P 的坐标为P ，求11PA PB+的值. 23．（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲．已知函数a a x x f +-=2)(．(I)若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；(II)在(I)的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．。
河北省唐山市开滦一中2018学年高二上学期期中数学试卷
2018-2018学年河北省唐山市开滦一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题中只有一个正确答案）1．直线经过原点和点（﹣1，﹣1），则它的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．02．直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．设双曲线﹣=1（a＞0）的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．14．经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（）A．y2=4x B．x2=yC．y2=4x 或x2=y D．y2=4x 或x2=4y5．过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A．y=B．y=﹣ C．D．6．圆：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是（）A．2 B．C．D．7．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=08．若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），则这个椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．9．与椭圆+=1有公共焦点，且离心率e=的双曲线的方程为（）A．B．C．D．10．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A． B． C．4 D．11．已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，则点M的轨迹是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线12．直线y=﹣x与椭圆C：=1（a＞b＞0）交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．﹣1 D．4﹣2二、（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中横线上）13．双曲线C：﹣=1的实轴长度为．14．在y轴上的截距是﹣3，且经过A（2，﹣1），B（6，1）中点的直线方程为．15．椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．16．已知抛物线y=x2的焦点为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到x轴的距离等于．三、解答题（本题共6道题，共70分）17．已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+（a﹣2）y+a=0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．18．已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求AB长．19．已知圆心在y轴上的圆C经过点A（1，2）和点B（0，3）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l在两坐标轴上的截距相等，且被圆C截得的弦长为，求l的方程．20．如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（1）求实数b的值；（2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．22．如图，已知抛物线y 2=4x ，过点P （2，0）作斜率分别为k 1，k 2的两条直线，与抛物线相交于点A 、B 和C 、D ，且M 、N 分别是AB 、CD 的中点（1）若k 1+k 2=0，，求线段MN 的长； （2）若k 1•k 2=﹣1，求△PMN 面积的最小值．附加题23．已知椭圆C 的方程为： +=1（a ＞0），其焦点在x 轴上，离心率e=．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P （x 0，y 0）满足=+2，其中O 为坐标原点，M ，N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为﹣，求证：x 18+2y 18为定值．（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A ，B ，使得|PA |+|PB |为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．2018-2018学年河北省唐山市开滦一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题中只有一个正确答案）1．直线经过原点和点（﹣1，﹣1），则它的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0【考点】直线的斜率．【分析】利用斜率计算公式即可得出．【解答】解：它的斜率k==1，故选：A．2．直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】设出直线的倾斜角，求出斜率，就是倾斜角的正切值，然后求出倾斜角．【解答】解：设直线的倾斜角为α，由题意直线的斜率为，即tanα=所以α=150°故选D．3．设双曲线﹣=1（a＞0）的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再求a的值．【解答】解：的渐近线为y=，∵y=与3x±2y=0重合，∴a=2．故选C．4．经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（）A．y2=4x B．x2=yC ．y 2=4x 或x 2=yD ．y 2=4x 或x 2=4y【考点】抛物线的简单性质．【分析】分别讨论焦点在x 轴及y 轴，设其标准方程，代入即可求得抛物线的标准方程． 【解答】解：设抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线方程为：y 2=2px ， 将（1，2）代入即4=2p ，解得：p=2， ∴抛物线方程为：y 2=4x ，设抛物线的焦点在y 轴上，设抛物线方程为：x 2=2py ，将（1，2）代入即1=4p ，解得：p=，∴抛物线方程为：x 2=y ，综上可知：抛物线的方程为：y 2=4x 或x 2=y ，故选C ．5．过原点的直线与圆x 2+y 2+4x +3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）A ．y=B ．y=﹣C ．D ．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，利用三角函数可以求直线的斜率，求出直线方程． 【解答】解：如图，圆方程为（x +2）2+y 2=12， 圆心为A （﹣2，0），半径为1，．故选C ．6．圆：x 2+y 2﹣2x ﹣2y +1=0上的点到直线x ﹣y=2的距离最大值是（ ）A ．2B ．C ．D ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先将圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y +1=0转化为标准方程：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1，明确圆心和半径，再求得圆心（1，1）到直线x ﹣y=2的距离，最大值则在此基础上加上半径长即可． 【解答】解：圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y +1=0可化为标准形式：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1， ∴圆心为（1，1），半径为1圆心（1，1）到直线x ﹣y=2的距离，则所求距离最大为， 故选B ．7．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，PQ的斜率k===1可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0故选：C8．若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），则这个椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先设出椭圆方程，根据椭圆过的定点坐标和椭圆的焦点坐标，即可求出椭圆方程，得到a的值，再根据焦点坐标求出c的值，利用椭圆的离心率e=求出椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴设椭圆方程为（a2﹣4＞0）又∵椭圆经过点P（2，3），∴解得，a2=16或a2=1，∵a2﹣4＞0，∴a2=16∴a=4，∵焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴c=2∴e==故选C9．与椭圆+=1有公共焦点，且离心率e=的双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】先求出椭圆的焦点为（±5，0），由此得到与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程中，c=5，a=4，从而能求出双曲线方程．【解答】解：∵椭圆的焦点为（±5，0），∴与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程中，c=5，a=4，b2=25﹣16=9，∴所求的双曲线方程为：．故选B．10．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A． B． C．4 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选B．11．已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，则点M的轨迹是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线【考点】轨迹方程．【分析】设出M的坐标，直接由M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，列式整理得方程．【解答】解：设M（x，y），由点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，得=，整理得：（x+1）2+y2=4．∴点M的轨迹方程是圆（x+1）2+y2=4．故选A．12．直线y=﹣x与椭圆C：=1（a＞b＞0）交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．﹣1 D．4﹣2【考点】圆与圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的关系．【分析】以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形，求出矩形宽与长，利用椭圆的定义，即可求得椭圆C的离心率．【解答】解：由题意，以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B 两点为顶点得一矩形．直线y=﹣x的倾斜角为120°，所以矩形宽为c，长为c．由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即c+c=2a．∴故选C．二、（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中横线上）13．双曲线C：﹣=1的实轴长度为4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的方程可知，焦点在x轴上，且a=2，则双曲线的实轴长为2a=4．【解答】解：由双曲线的方程可知：焦点在x轴上，且a=2，∴双曲线的实轴长为2a=4，故答案为：4．14．在y轴上的截距是﹣3，且经过A（2，﹣1），B（6，1）中点的直线方程为3x﹣4y﹣12=0．【考点】直线的两点式方程．【分析】先求出中点坐标，再根据截距式方程即可求出．【解答】解：经过A（2，﹣1），B（6，1）中点的坐标为（4，0），又y轴上的截距是﹣3，∴直线方程为﹣=1，即3x﹣4y﹣12=0，故答案为：3x﹣4y﹣12=0．15．椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．【考点】椭圆的标准方程；两点间的距离公式．【分析】先根据椭圆的方程求得椭圆的左准线方程，进而根据椭圆的第二定义求得答案．【解答】解：椭圆的左准线方程为x=﹣=﹣，∵=e=，∴|PF2|=．故答案为：．16．已知抛物线y=x2的焦点为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到x轴的距离等于．【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义及弦长，可得弦AB的中点到准线的距离，进而可求弦AB的中点到y轴的距离．【解答】解：由题意，抛物线y=x2的焦点坐标为（0，），准线方程为y=﹣，根据抛物线的定义，∵|AB|=4，∴A、B到准线的距离和为4，∴弦AB的中点到准线的距离为2∴弦AB的中点到y轴的距离为2﹣=，故答案为：．三、解答题（本题共6道题，共70分）17．已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+（a﹣2）y+a=0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】（1）由垂直可得a+3（a﹣2）=0，解之即可；（2）由平行可得a=3，进而可得直线方程，代入距离公式可得答案．【解答】解：（1）由l1⊥l2可得：a+3（a﹣2）=0，…4分解得；…6分（2）当l1∥l2时，有，…8分解得a=3，…9分此时，l1，l2的方程分别为：3x+3y+1=0，x+y+3=0即3x+3y+9=0，故它们之间的距离为．…12分．18．已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求AB长．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】求出直线方程，代入椭圆方程，求得交点的坐标，即可求得弦AB的长．【解答】解：椭圆的右焦点坐标为（，0），∵斜率为1的直线过椭圆+y2=1的右焦点，∴可设直线方程为y=x﹣，代入椭圆方程可得5x2﹣8x+8=0，∴x=，∴弦AB的长为×=．19．已知圆心在y轴上的圆C经过点A（1，2）和点B（0，3）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l在两坐标轴上的截距相等，且被圆C截得的弦长为，求l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）求出线段AB的垂直平分线的方程，结合圆C的圆心C在直线x﹣y+2=0上，又在y轴上，求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程；（Ⅱ）由题意，分类讨论，设方程，利用直线被圆C截得的弦长为，可得圆心到直线的距离为，即可求出直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得线段AB的中点坐标为（，），直线AB的斜率k AB==﹣1，所以线段AB的垂直平分线的方程为y﹣=x﹣，即x﹣y+2=0．由题意，圆C的圆心C在直线x﹣y+2=0上，又在y轴上，所以C（0，2），半径r=|BC|=1，所以圆C的方程为x2+（y﹣2）2=1．…．（Ⅱ）由题意，直线不过原点，设方程为x+y﹣a=0，∵直线被圆C截得的弦长为，∴圆心到直线的距离为，∴=，∴a=1或3，∴所求直线方程为x+y﹣1=0或x+y﹣3=0，直线过原点，设直线l的方程为y=kx．∴=，∴k=x，∴所求直线方程为y=x．综上所述所求直线为x+y﹣1=0或x+y﹣3=0或y=x．20．如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（1）求实数b的值；（2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由题意，联立方程组，根据判别式从而求实数b的值；（2）求出点A的坐标，因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，问题得以解决．【解答】解：（1）由得x2﹣4x﹣4b=0，①因为直线l与抛物线C相切，所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，解得b=﹣1．（2）由（1）可知b=﹣1，故方程①即为x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入x2=4y，得y=1．故点A（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，即r=|1﹣（﹣1）|=2，所以圆A的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k 的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，∴∴b=∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．22．如图，已知抛物线y2=4x，过点P（2，0）作斜率分别为k1，k2的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点（1）若k1+k2=0，，求线段MN的长；（2）若k1•k2=﹣1，求△PMN面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）若k1+k2=0，线段AB和CD关于x轴对称，利用，确定坐标之间的关系，即可求线段MN的长；（2）若k1•k2=﹣1，两直线互相垂直，求出M，N的坐标，可得|PM|，|PN|，即可求△PMN 面积的最小值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞0，则设直线AB的方程为y=k1（x﹣2），代入y2=4x，可得y2﹣y﹣8=0∴y1+y2=，y1y2=﹣8，∵，∴y1=﹣2y2，∴y1=4，y2=﹣2，∴y M=1，∵k1+k2=0，∴线段AB和CD关于x轴对称，∴线段MN的长为2；（2）∵k1•k2=﹣1，∴两直线互相垂直，设AB：x=my+2，则CD：x=﹣y+2，x=my+2代入y2=4x，得y2﹣4my﹣8=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣8，∴M（2m2+2，2m）．同理N（+2，﹣），∴|PM|=2|m|•，|PN|=•，|=|PM||PN|=（m2+1）=2（|m|+）≥4，∴S△PMN当且仅当m=±1时取等号，∴△PMN面积的最小值为4．附加题23．已知椭圆C的方程为： +=1（a＞0），其焦点在x轴上，离心率e=．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P（x0，y0）满足=+2，其中O为坐标原点，M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为﹣，求证：x18+2y18为定值．（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；圆锥曲线的综合．【分析】（1）根据椭圆焦点在x轴上，离心率，即可求出椭圆的标准方程；（2）假设M，N的坐标，利用向量条件寻找坐标之间的关系，结合点M，N在椭圆上，即可证明为定值；（3）由（2）知点P是椭圆上的点，根据椭圆的定义可得该椭圆的左右焦点满足|PA|+|PB|为定值．【解答】（1）解：由，b2=2，解得，故椭圆的标准方程为．（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），即x0=x1+2x2，y0=y1+2y2，∵点M，N在椭圆上，∴设k OM，k ON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，，∴x1x2+2y1y2=0，故=，即（定值）（3）证明：由（2）知点P是椭圆上的点，∵，∴该椭圆的左右焦点满足为定值，因此存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值．2018年11月28日。
河北省唐山一中高三上学期期中考试——数学理数学(理)
河北省唐山一中 2017届高三上学期期中考试数学（理）试题说明：1．考试时间120分钟，满分150分。
2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ的答案用黑色签字笔写在答题卡上。
3.本次考试需填涂的是准考证号（8位），不要误涂成座位号（5位），座位号只需在相应位置填写。
卷Ⅰ（选择题 共60分）一 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.）1. 若全集U=R,集合M ＝，N ＝，则等于 （ ） A ． B ． C ． D ． 2．若复数满足,则的共轭复数是 （ ）A ．B ．C ．D ．3. 若直线与直线平行，则 （ ） A ． B ． C ． D.4．已知 “命题2:()3()p x m x m ->-”是“命题”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为 （ ）A ．B ．C ．D ．5．右图是函数的部分图像，则函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D.6．已知，若直线与线段有一个公共点，则 （ ）A ．最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D 最大值为7．设为单位向量，若向量满足，则的最大值是 （ ） A ． B ． 2 C ． D ．18. 已知函数，，用表示中最小值，设函数{}()min (),()h x f x g x =，则函数的零点个数为 （ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 9．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”，下底面宽丈，长丈，上棱丈,∥平面.与平面的距离为1丈，问它的体积是 （ ） A ．4立方丈 B ．5立方丈 C ．6立方丈 D ．8立方丈10．已知函数()⎩⎨⎧<+≥+=0,0,3x b ax x x x f 满足条件：对于，存在唯一的，使得.当成立时，则实数（ ）A. B. C. +3 D. +311. 右图是三棱锥D －ABC 的三视图，点O 在三个视图 中都是所在边的中点，则异面直线DO 和AB 所成角的 余弦值等于 （ ） A. 12 B. 22 C. 33D. 3 12．已知函数23)3(4,0,()log (1)1,0a x a x f x x a x x ⎧+<+++≥-=⎨⎩（）在R上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是 （ ） A.（0，] B.[，] C.[，]{} D.[，）{}卷Ⅱ（主观题 共90分）二 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案写在答题纸上.） 13．若，则的最大值为________. 14．数列的通项22(cos sin )33n n n a n ππ=+g ，其前项和为，则为________. 15．等腰三角形中，43AB AC BC ===，，点分别位于两腰上,将分成周长相等的三角形与四边形，面积分别为，则的最大值为________. 16.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1, ()0, x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数称为狄利克雷函数，关于函数有以下四个命题： ①；②函数是偶函数；③任意一个非零有理数,对任意恒成立；④存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x ，使得为等边三角形. 其中真命题的序号为________.（写出所有正确命题的序号）三 解答题（本大题共6小题，共70分.） 17. (本题满分10分)设是公比大于1的等比数列,为数列的前项和,已知且成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若,3,2,1,log 124 ==+n a b n n 求和:nn b b b b b b b b 14332211111-++++ .18. (本题满分12分)如图，已知平面上直线，分别是上的动点，是之间的一定点，到的距离，到的距离，三内角、、所对边分别为，，且. （1）判断的形状； （2）记()11,ACM f AC BCθθ∠==+，求的最大值.19．(本题满分12分)已知函数()()272cos sin 216f x x x x R π⎛⎫=+--∈⎪⎝⎭； （1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图象经过点，若2=4AB AC CB BC --uu u r uu u r uu r uu u rg ，求的最小值.20．(本题满分12分)四棱锥中，底面为直角梯形，ADC BCD 90∠=∠=︒，2460BC CD PD PDA ===∠=，，o ，且PAD ABCD ⊥平面平面；（1）求证：；（2）在线段上是否存在一点,使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21. (本题满分12分)已知圆，点，设为圆上一个动点．（1）求面积的最大值，并求出最大值时对应点的坐标；（2）在（1）的结论下，过点作两条相异直线分别与圆相交于两点，若直线的倾斜角互补，问直线与直线是否垂直？请说明理由．22.（本题满分12分）已知函数（1）若函数与函数在点处有共同的切线，求的值；（2）证明：；（3）若不等式对所有都成立，求实数的取值范围．参考答案一 选择题BCAB ，CAAC ，BDCC.二 填空题13. 0；14. 15；15.；16. ①②③④. 三 解答题1n +--19.解：（1）()272cos sin 21sin(2)66f x x x x ππ⎛⎫=+--=+⎪⎝⎭因此，最小正周期为…………3分…………5分（2）由题知： =c2+b2﹣bccosA﹣a2=2bccosA﹣bccosA=bc=4，∴bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，∴a≥2，∴a的最小值为．…………10分20解：证明：（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP．∵AD∥BC，∠ADC=∠BCD=90°，CD∥OB，∴四边形OBCD是矩形，∴OB⊥AD．OD=BC=2，∵PD=4，∠PDA=60°，∴OP==2．∴OP2+OD2=PD2，∴OP⊥OD．又OP⊂平面OPB，OB⊂平面OPB，OP∩OB=O，∴AD⊥平面OPB，∵PB⊂平面OPB，∴AD⊥PB．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OA⊥AD，∴OP⊥平面ABCD．以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则B（0，，0），C（﹣2，，0），假设存在点M（m，0，n）使得二面角M﹣BC﹣D的大小为，则=（﹣m，，﹣n），=（﹣2，0，0）．设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则．∴，令y=1得=（0，1，）．∵OP⊥平面ABCD，∴=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量．∴cos＜＞===．解得n=1．∴==．21.解：（1）因为点P（2，0），M（0，2），所以，…设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM的距离为d，所以．△QPM面积的最大值即需要h取的最大值，此时点Q与圆心C的连线与PM垂直，故有最大值，最大面积，…此时点Q坐标为点（﹣1，﹣1）．…（2）直线AB与直线PM垂直，理由如下：…因为过点Q（﹣1，﹣1）作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点，直线QA、QB的倾斜角互补，所以直线QA、QB斜率都存在．设直线QA的斜率为k，则直线QB斜率为﹣k，所以直线QA的方程：y+1=k（x+1）⇒（1+k2）x2+2k（k﹣1）x+k2﹣2k﹣1=0，…又因为点Q（﹣1，﹣1）在圆C上，故有，所以，同理，…又，所以有k PM•k AB=﹣1，故直线AB与直线PM垂直．…容易得到DE＝DAtanθ＝1.8tanθ，CF＝BC·tanθ＝1.8tanθ.又AB＝DC＝EF－(DE＋CF)，22、解：（Ⅰ）g′（x）=2x，F（x）=tf（x）=tlnx，F′（x）=tf′（x）=，∵F（x）=tf（x）与g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，∴k=F′（1）=g′（1），即t=2，（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=﹣1=，则h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，∴h（x）的最大值为h（1）=﹣1，∴|h（x）|的最大值是1，设G（x）==+，G′（x）=，故G（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，故G（x）max=+＜1，∴；（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，则a≤mlnx﹣x对所有的都成立，令H（x）=mlnx﹣x，是关于m的一次函数，∵x∈[1，e2]，∴lnx∈[0，2]，∴当m=0时，H（m）取得最小值﹣x，即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立，故a≤﹣e2．。
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唐山一中2018—2018学年度第一学期期中考试高三年级理科数学试卷 命题人：陈玉珍 孟文丛 审核人：刘克让第Ⅰ卷注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3. 本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一. 选择题2004.4006.4007.4008.0.0,0,0}{.81)62sin(.1)62sin(.1)32sin(.1)32sin(.162sin .7.0.0.0.30)()0(0)0(|||lg |)(.6....255321.53[]9.393.[]9.03123)(.48.7.6.5.)5()2()()2(,1)1()(),(.3....}{}{.2),1()0,1()1,(..),1()1,0()0,(..}1|{}1|{.1200420032004200312232D C B A n s n a a a a a a x y D x y C x y B x y A x y b D b C b B b A b x f x x x x f D C B A C B A D C B A t t tx x x f D C B A f f x f x f f R x x f y D C B A a a a D C B R A UN M C xy y N x x M R U n n n n n U 是自然数成立的最大项和则使前是等差数列，首项若）平移后的解析式是，（的图象按向量将函数不确定个不同根，则有且仅有若方程已知等边三角形钝角三角形锐角三角形直角三角形）为顶点的三角形是，（）、，（）、，（以），，（），（），（），，（的取值范围为，则）上恒小于，在（已知函数的值为，则是奇函数，函数一定不是等比数列一定是等差数列差可能是等比也可能是等一定是等比数列为等比数列，则数列是），则（，，集合已知全集><⋅>+>--=++=++=--=-==><==+⎩⎨⎧=≠=---∞+-∞-∞+-∞-∞+-∞----=+=+=∈=++∞---∞+∞-∞=====+πππππφ第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在题中的横线上1687.5.1671.4.)(),()()()(),()(22)(,)(},221|{.12.sin 32.sin 32.sin 32.sin 32,20.1197.31.31.97.)232cos(,31)6sin(.102.22.2.31.]10[)1,0)(1(log )(.9000002D C B A A x f x g x f x g x g x f x f Ax x A xx x g q px x x f x x A x D x x C xx B xx A x x x D C B A D C B A a a a x x f a 上的最小值在且时，有、上的函数，当是定义在设集合的取值有关与的大小关系与则若则已知，则，的定义域和值域都是若函数=≤≤∈+=++=≤≤==<><<--=+=-=≠>+=παπαπ。
的一个必要不充分条件使它成为的一个取值范围，的条件下，求在分）（本题满分三、解答题的范围是则已知的值是，则的前项和已知数列的面积是，则，，中，若在定义域为函数}85|{}08)8(|{},831|{12.17sin sin ,sin 2sin 2sin 3.16||||||||14}{.1523230.14)34(log .132222*********≤<=≤--+=>-++=+=++++++-=∆==︒=∆-=x x P M a a x a x x p x x x M a a a a n n S a ABC AC AB B ABC x y n n βααβαnn n n n n n n n s n a b n a a b n a a a a a y x y x y x b a b a b a y x b x y a y x b a 项和的前求数列的通项公式；求数列令设分）（本题满分的值，求夹角为与）若（，）求（、表示、）用（，，，，且满足、、、设平面内有四个向量分）（本题满分}{)2(}{),3,2,1()1(),2,1(,3235,35,112.19cos 3.||||2.11||||212.1811221 =-==-=====⊥-=-=+++θθ术改造的累计纯利润？计纯利润超过不进行技年进行技术改造后的累起该企业至少经过多少）依上述预测，从今年（的表达式；资金），求万元（须扣除技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后术改造的累计纯利润为年，若该企业不进行技）设从见年起的前（为正整数））万元（（润为利年（今年为第一年）的金的情况下，第测在未扣除技术改造资万元进行技术改造，预次性投入资金万元，今年初该企业依润减少年起每年比上一年纯利行技术改造，预测从今逐年下降。
若不进因，企业的生产能力将万元，因设备老化等原年的纯利润为某企业分）（本题满分上的单调区间，在周期，并写出的最大值、最小正求函数令已知响量分本题满分2121150060020500200412.21]0[)()(,)()),42sin(2()),42tan(,2cos 2()12.(20n n n n nB A B A n n n x f x f b a x f x b x x a +⋅=+=+=πππ，说明理由的取值范围；若不存在成立？若存在，求出时，恒有，，使当）是否存在实数（解析式；）求函数（）对称，的图像关于点（的图像与函数已知函数的反函数为且设函数分本题满分ax g x fa a x a x g y a x fy x g y x f y a a a a x f x 1|)()(|]32[2)(10)()(),()1,0(3)()14.(22111≤--++∈====≠>+=---唐山一中2018—2018学年度期中考试数学理科试卷参考答案一、选择题 ABADA ABCDA DB二、填空题13.（3/4，1 ] 14.332或 15. 67 16. [0，4/9]三、解答题17、M={x|x<-3或x>5}, P={x|(x+a)(x-8)≤0}………………………………………………4分 由M ∩P={x|5<x ≤8}时，-5≤a ≤3，此时有a ≤3，但a ≤3≠>M ∩P={x|5<x ≤8}所以a ≤3 是M ∩P={x|5<x ≤8}的必要但不充分条件。
…………………………………………12分ba yb a x yx b y x a +=+=∴+=+=2,2,)1(.18 解： ……………………………………………………………2分5||2||)2(========x ………………………………8分()()10103cos cos 2)3(=⋅=+⋅+=⋅θθ…………………………………………12分分）解：（6323,1321232323232)()()()(323232)(3232351.191121122111********* ------+++++++++-==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-++-+-+-=-⎪⎭⎫⎝⎛=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴=-=--=-=n nn n n n nn n n n n n n nn n n nn n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a b b b a a a a a a a bnn n s ⎪⎭⎫⎝⎛+-=326632）（ ………………………………………………………………12分.]3,2[34)(,22101)34(log 11|)()(|]32[8106))(1(log )(3)3)(3(log )(3)(3)(.2212401016501210501401085012102500141010250)1(10250)1(1010025001010)2(1002500500460021121121150010490)20500()40500()20500(.21124402284sin 2cos sin 12cos 22cos 2sin 22tan 112tan 2tan 12tan 12cos 222sin 222cos 2242tan 42tan 42sin 2cos 22)(.202222112222上是增函数在可得由成立可得时，恒有，由已知当分由题意可得分分得反函数从中反解出得由分（答）时当）（时当）（时当）为增函数，在（因为函数分解分单调减，单调增，，最小值所以，最大值分+++-=>+<<≤+-≤-≤-++∈<<->+-=>-=>+=>≥>--≥--+≥<--≤--+≤≤∞--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=--+=---=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=-+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=-+=+-⋅-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅=--a a a ax x x r a a a a ax x x g x f a a x a a x ax x g a x a x x f x a x f a a x f A B n n n n n n n n x x y n n n n A B n B n n n A x x x x x x xx x x x x x x x x x b a x f a a a x n n n x n n n n n n n n ππππππππ分的范围是所求分从而为减函数1412579012540125790)69(log )3()()44(log )2()()34(log )(min max 22 -≤<≤<-≤<-=+=-=+=+-=a a a a a a u x u a a u x u a ax x x U a a a。