2011年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

2011年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试
一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2011B1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201011S S -=，则2011S = ． ◆答案：
1009
2011
★解析：因为{}n a 是等差数列，所以201011S S -=即120091006=a ，得2009
1
1006=a ， 所以2011S =()2009
2011
201122011100620111==+a a a
2011B 2、已知复数z 的模为1，若1z z =和2z z =时1z i ++分别取得最大值和最小值，则
12z z -= .
◆答案：()i +12
★解析：由z i i z z i ++≤++≤-+111，即12112+≤
++≤-i z ，
当i z ++1取得最大值（最小值）时，z 与i +1共线，且方向相同（相反）， 又⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=
+4sin 4cos 21ππi i ，所以4sin 4cos 1ππi z +=，45sin
45cos 2ππi z += 所以()i i i z z +=--+=-124
5sin 45cos
4
sin
4
cos 21π
ππ
π
2011B 3、若正实数b a ,满足221
1≤+b
a ，32)(4)(a
b b a =-，则=b a log . ◆答案： 1- ★解析：由
221
1≤+b
a ，得a
b b a 22≤+． 又 2
3322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①
于是 ab b a 22=+．②
再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎩⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎩⎨⎧-=+=,
12,
12b a ，
故1log -=b a ．
2011B 4、把扑克牌中,2,
,,,A J Q K 的分别看作数字1,2,,11,12,13.现将一副扑克牌中的黑桃、
红桃各13张放在一起，从中随机取出2张牌，其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为_____． ◆答案：
65
2 ★解析：从26张牌中任意取出2张，共有3252
26=C 种取法。

牌的花色相同且积是完全平方数的有
414⨯=，919⨯=，8216⨯=，12336⨯=94⨯=共10对，因此概率为
65
2
32510=
2011B 5、若ABC ∆的角,A C 满足5(cos cos )4(cos cos 1)0A C A C +++=，则
tan
tan 22
A C
⋅= . ◆答案： 3
★解析：由题意得2
tan 12tan 1cos 22
A A
A +-=，2
tan 12tan 1cos 22
C C
C +-=，代入已知并化简得92tan 2tan 22=C A ,
又()0
090,02,2∈C A ，所以32
tan 2tan =C A
2011B 6、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，,M N 分别是111,BB B C 上的点，
112B M B N ==，,S P 分别是线段,AD MN 的中点，则异面直线SP 与1AC 的距离
为 ． ◆答案：
38
114
★解析：建立空间直角坐标系如图所示，则)6,6,0(A ,
)0,0,6(1C ,)6,6,3(S ,)1,0,1(P 。

所以)6,6,6(1--=AC ,)5,6,2(=,记与1AC ，PS 都垂直的向量为),,(z y x = 则⎪⎩⎪⎨
⎧=++=⋅=--=⋅0
5620
1z y x PS n z y x AC n ，取1=x ，得8,7=-=z y ，即)8,7,1(-=n
又)0,0,3(=AS ，所以异面直线SP 与1AC
的距离为38
114
114
3==
=d
2011B 7、在ABC ∆中，,E F 分别是,AC AB 的中点，23AB AC =.若BE t CF
<恒成立，则t 的最小值是 __ ． ◆答案：
8
7
★解析：由余弦定理得
2222222cos 323625cos 329441cos 2AC A A AC AC AC A AB AE AB AE BE ⎪⎭⎫
⎝⎛-=-+=
⨯-+=, 2222222cos 32910cos 3291cos 2AC A A AC AC AC A AC AF AC AF CF ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-+=
⨯-+=, 所以
8
7
2440151cos 2440151cos 2440cos 2425cos 3
2
910cos 32
3625=+-<--=--=--=A A A A A CF
BE
，从而
8
7
≥
t ，即t 的最小值87．
2011B 8、抛物线2
2()(0)2
p
y p x p =-
>上动点A 到点(3,0)B 的距离的最小值记为()d p ，满足()2d p =的所有实数p 的和为 ．
◆答案： 13
★解析：设()y x A ,，则()()()()
2
22
2
2
2
9322233p x p x p x p x y x AB -+-+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-
+-=+-=① ()p p p x 62322
+--+=，（2
p
x ≥
）②
当2
3p p ≥
-，即20≤<p 时，当p x -=3时，2AB 取得最小值，[]p p p d 62)(2
2+-=，又2)(=p d ，即4622=+-p p 解得1=p 或2；
当23p p <-，即2>p 时，当2
p x =时，2AB 取得最小值，[]()446)(2
2
=-=
p p d ，解得10=p 综上，满足条件的实数p 的和为131021=++
二、解答题：本大题共3小题，共56分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2011B 9、（本题满分16分） 已知实数,,x y z 满足：x y z ≥≥，1x y z ++=，2
2
2
3x y z ++=.求实数x 的取值范围.
★解析：令t x +=1，由1x y z ++=得y t z --=，代入2
2
2
3x y z ++=得
0122=-+++t t ty y *
由方程*有实根，得0)1(42
2
≥-+-=∆t t t ，解得3
2
2≤
≤-t 。

由方程*及z y >可得23442t t t y --+-=，23442
t t t z ----=，又y x ≥，所以
234412t t t t --+-≥+，即234432t t t --≥+，解得0≥t ，综上可得3
2
0≤≤t ，
即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=35,11t x ，所以实数x 的取值范围为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡35,1。

2011B
10
、（
本
题
满
分
20
分
）
已
知
数
列
{}
n a 满足：
122(1)a t t R t =-∈≠±且,112-1(*)22
n n
n n n t a a n N a t ++=∈+-（）.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0t >，试比较1n a +与n a 的大小. ★解析：
（1）112-1(*)22
n n n n n t a a n N a t ++=∈+-（），即21
12)1(2211
1+--=-+=-++n n n n n
n n n n t a t a t a a t a ， 令1
-=
n n n t a b ，则221+=+n n n b b b ，2111
=-=t a b ，则21111+=+n n b b ，从而2)1(21211n
n b n =-+= 所以n t a n n 2
1=-，于是有()n t a n n 12-=
（2）n t n t a a n n n n )1(21)1(211--+-=-++
[]
)1)(1()1()
1()
1(2122-+++++-+++++-=
n n t t t n t t t n n n t
[]
1221222)1()1()
1()1(2----+++++++++++++-=n n n n t t t t t t t t t n n n t 显然当0>t 时，恒有01>-+n n a a ，即n n a a >+1
2011B 11、（本题满分20分）已知111222333(,),(,),(,)A x y A x y A x y 是抛物线2
2(0)y px p =>上不同的三点，123A A A ∆有两边所在的直线与抛物线2
2(0)x qy q =>相切，证明：对不同的
{},1,2,3i j ∈，()i j i j y y y y +为定值.
★证明：依题意有i i px y 22
=，3,2,1=i ，321,,y y y 互不相等。

不妨设21A A ,32A A 所在的直线与抛物线22(0)x qy q =>相切，因为qy x 22
=的过原点O 的切线与
抛物线2
2(0)y px p =>只有一个公共点，所以原点O 不能是所设内接三角形的顶点，即
()()0,0,≠i i y x （3,2,1=i ）。

由于设21A A 所在的直线与抛物线2
2(0)x qy q =>相切，所以21A A 不平行y 轴，即21x x ≠，
21y y ≠。

直线21A A 的方程为2121212y y y y x y y p y +++=
，联立qy x 22=得0242
121212=+-+-y y y qy x y y pq x
由0=∆化简得()q p y y y y 2
21212-=+①
由于32A A 所在的直线与抛物线2
2(0)x qy q =>相切，同理可得()q p y y y y 232322-=+②
①减去②式，及()()0,0,≠i i y x ，21y y ≠得0321=++y y y ，即0312=--=y y y 代入①得
()q p y y y y 231312-=+
综上，对不同的{},1,2,3i j ∈，()i j i j y y y y +为定值q p 2
2-.
2011年全国高中数学联合竞赛（B 卷）二试
2011B 一、（本题满分40分）
求所有三元整数组(,,)x y z ，使其满足33332011
1515x y z xyz x y ⎧++-=⎪
≥⎨⎪≥⎩
★解析：由201133
33=-++xyz z y x ，得()()()()
[
]40222
2
2
=-+-+-++x z z y y x z y x ①
因220114022⨯=，且()()()02
2
2
≡-+-+-x z z y y x ()2m od ，所以①等价于
()()()⎩⎨⎧=-+-+-=++40221222x z z y y x z y x ②或()()()⎩⎨⎧=-+-+-=++2
2011
2
22x z z y y x z y x ③ 对方程组②，消去z 得()()()402212122
2
2
=-++-++-y x y x y x ，即
67022=--++y x xy y x ④
⑴若15=x ，15=y ，则6706452
2
<=--++y x xy y x 与④矛盾；
⑵若16≥x ，15≥y ，则670690434256))(1(2
>=+≥+-+y x y x 与④矛盾；
⑶若15≥x ，16≥y ，则670690434256))(1(2
>=+≥+-+y x x y 与④矛盾；
综上方程组②无解；
对方程组③，由()()()22
2
2
=-+-+-x z z y y x 可得y x -，z y -，x z -中有两个为1，一个
为0。

⑴若1=-y x ，1=-z y ，0=-x z ，则z x y ==+1或z x y ==-1，z x y ==+1代入③的第一个方程，无解；z x y ==-1代入③的第一个方程，解得671=y ，670==z x ⑵若1=-y x ，0=-z y ，1=-x z ，同理可得671=x ，670==z y ⑶若0=-y x ，1=-z y ，1=-x z ，同理可得671=z ，670==y x 综上，满足条件的三元数组为()670,670,671，()670,671,670，()671,670,670
2011B 二、（本题满分40分）如图，过圆O 外一点A 作圆O 的两条切线，切点分别为,B C .点D 在
线段BC 的延长线上，1
2
CD BC =
.P 为AD 的中点，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为,Q R ，QR 与BC 交于点E .点M 在线段CB 的延长线上，BM BC =.N 为AM 的中点，过
点N 作圆O 的两条切线，切点分别为,J K ，JK 与BC 交于点L 证明：（1）,,,A R Q D 四点共圆；
（2）MC BE
CL CE
=
. .
★证明：（1）连接OA 交BC 于点F ，过点P 作OA PH ⊥于点H ，则由题意有
OA BC ⊥,CF BF =,FH AH =.
因为P 是AFD Rt ∆的斜边AD 的中点，所以PF PD PA ==.由切线长定理得PR PQ =， 设圆O 的半径为r ，则2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r FH PF OH r PH OH r OP PQ --+=-+=-=
()()22222PF r OF OA PF r FH OH FH OH PF =-⋅+=--++=
即PF PQ =，于是,F ,,,A R Q D 五点共圆，所以,,,A R Q D 四点共圆； （2）由相交弦定理有CE BE QE RE FE DE ⋅=⋅=⋅,又由
2222))((CF EF EF CF EF CF EF CE BE EF EF DE EF DF =+-+=+⋅=+⋅=⋅及
CF BC 2=,可得EF DF BC ⋅=42,故有
EF BC BC DF 22=,即CE
BE CE
BE DC DB DC DB -+=
-+,即3==DC
DB
CE BE ,所以CE BE 3=. 同理可得21==CM BM CL BL ,故CL BL 21=，从而CL MC 3=，因此CE
BE
CL MC =
2011B 三、（本题满分50分）设实数,,1a b c ≥，且满足
2222224428abc a b c ca cb a b c ++++--+-=，求a b c ++的最大值.
★解析：由已知等式可得，()()()()16112
1
112
2
2
=+-+
+++-c b a c b a ① 令1/
-=a a ，1/
+=b b ，则1/
+=a a ，1/
-=b b ，则①式等价于
()()
162
1
//22
/2
/=+++c b a c b a ②
易知{
}
4,,min /
/
<c b a .令c b a l ++=/
/，则l c b a c b a c b a =++=+++-=++/
/
)1()1(。

设c b a x ca c b b a lx x c x b x a x x f /
//
/
/
/2
3
/
/
)())()(()(-+++-=---=，则
32162)4(2+-=l l f 。

当{}
c b a x ,,min /
/
>时，由平均不等式得()3/
/327
1
))()((l x c x b x a x -≤
---③ 所以()312271
)4(l f -≤
，从而()321227
132162l l l -≤+-，整理得032271823≤⨯-+l l ， 即()(
)
02462462
≤⨯++-l l l ，所以6≤l 。

③式中等号成立的条件是c x b x a x -=-=-/
/
，即c b a ==/
/
，代入②得2/
/
===c b a ，因
此2,1,3===c b a ，l 的最大值即c b a ++的最大值为6。

2011B 四、（本题满分50分）给定n 个不同实数，其所有全排列组成的集合为n A .对于
12(,,,)n n a a a A ∈，若恰有两个不同的整数,{1,2,,1}i j n ∈-使得11,i i j j a a a a ++>>成立，则称
该排列为“好排列”.求n A 中“好排列”的个数. ★解析：首先定义：
对于A 中的一个排列()n a a a ,,,21 ，如果满足n a a a <<< 21，则称该排列为自然排列；
对于A 中的一个排列()n a a a ,,,21 ，如果有整数{}1,,2,1-∈n i ，使得1+>i i a a 则称i a 和1+i a 构成一个“相邻逆序”；
对于()A a a a n ∈,,,21 ，如果它恰有一个“相邻逆序”，则称该排列为“一阶好排列”，A 中所有“一阶好排列”的个数记为)(1n f ；如果它恰有两个“相邻逆序”，则称该排列为“二阶好排列”，
A 中所有“二阶好排列”的个数记为)(2n f ；依题意知，)(2n f 恰好是要求的A 中“好排列”的个
数。

由题意知：0)1(1=f ，1)2(1=f ，0)2()1(22==f f ，1)3(2=f 。

以下为了叙述简便，我们把由给定的k 个不同实数的所有全排列构成的集合记为k
A （n k ,,2,1 =），其次求)(1n f 。

我们先来考察)1(1+k f 与)(1k f 之间的递推关系。

对1+k A 中的每一个“一阶好排列”（记为a ），我们考虑从中取出最大的数1+k a 后剩下的k 个数
k a a a ,,,21 按原来的顺序构成的排列（记为b ）。

如果排列b 是k A 中的“一阶好排列”，且“相邻逆序”为1+>i i a a ，那么，在排列a 中，1+k a 的位置只能在1,+i i a a 之间或最后；
如果排列b 不是k A 中的“一阶好排列”，则排列b 中的“相邻逆序”的个数不为1，显然排列b 中“相邻逆序”的个数不能大于1（否则，排列a 不是“一阶好排列”，理由是：因为1+k a 是最大的数，所以排列a 中“相邻逆序”的个数一定不少于排列b 中“相邻逆序”的个数），从而排列b 中“相邻逆序”的个数为0，此时排列b 是一个自然排列，而排列a 是“一阶好排列”，所以1+k a 的位置不能在最后（有k 种可能的位置）。

综合上面的分析可知：k k f k f +=+)(2)1(11，即[]1)(21)1()1(11++=++++k k f k k f ， 所以2
1241)(-⨯=++n n n f ，即12)(1--=n n f n。

最后求)(2n f 。

我们先来考察)1(2+k f 与)(2k f 之间的递推关系。

对1+k A 中的每一个“二阶好排列”（记为c ），我们考虑从中取出最大的数1+k a 后剩下的k 个数
k a a a ,,,21 按原来的顺序构成的排列（记为d ）。

如果排列d 是k A 中的“二阶好排列”，且“相邻逆序”为1+>i i a a ，1+>j j a a ，那么在排列c 中，1+k a 的位置只能在1,+i i a a 之间或1,+j j a a 之间，或者排在最后；
如果排列d 不是k A 中的“二阶好排列”，则它一定是k A 中的“一阶好排列”，设“相邻逆序”
2011年全国高中数学联合竞赛试题 （B 卷） 第 11 页 共 11 页 为1+>i i a a ，因为排列c 是“二阶好排列”，所以1+k a 的位置不能在1,+i i a a 之间，也不能排在最后，其余位置都行，有1-k 种可能。

综合上面分析可知：())(1)(3)1(122k f k k f k f -+=+，又12)(1--=n n f n ，所以 ())12(1)(3)1(22---+=+k k k f k f k ，变形为
()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-⋅++=++-⋅++++)1(2121)(3)2)(1(212)2()1(212k k k k f k k k k f k k 所以()32327)1(2121)(-⋅=+-⋅++n n
n n n n f ，即()12
12)1(3)(2++⋅+-=n n n n f n n ， 因此n A 中“好排列”的个数为()1212)1(3++⋅+-n n n n n 个。