23.1成比例线段

一、相似图形:具有相同形状的图形

注 （1） 与图形的大小，位置、颜色等无关，

（2）相似图形可通过放大，缩小得到。

（3）全等图形是相似图形的特殊情况。

（4）相似图形的边的条数相同，对应线段的比值相等，对应角相等

如：所有的正方形、等腰直角三角形，等边三角形，圆是相似图形。

二、成比例线段

1、线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫这两条线段的比

（1）线段的比与线段的长度单位无关，但要采用同一单位。

（2）线段的比无单位。结果一般化为最简整数比

2、比例线段

①概念：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条

线段的比， 如

d

c b a =（或a ∶b ＝c ∶

d ），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例． 注：（1）单位统一 （2）顺序性： 称a, b ，c,d 成比例 称a,d,c,b 成比例 ②比例线段中的相关概念

已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果d

c b a =(a∶b＝c∶d)， 线段a 、b 、c 、

d 叫做组成比例的项.

线段a 、d 叫做比例外项，

线段b 、c 叫做比例项，

线段d 叫做线段a 、b 、c 的第四比例项. 特别地，当比例项相等时，即c

b b a =(a∶b＝b∶c)，那么b 叫做a 、

c 的比例中项. 注:（1）线段a,b,c,

d 成比例，其表示方法是有顺序的；

（2）判断四条线段是否成比例的方法

○

1排序：按线段长度排序 ○

2看前两条线段的比是否等于后两条线的比 如果m n n p

=，比例外项是 ；比例项是 ；比例中项是 。 3.比例的性质

(::)a c a b c d b d

==或(::)a c a d c b d b

==或

①比例基本性质1：d

c b a = a

d ＝bc(bd≠0) 线段a,b,c,d 成比例 比例外项之积等于项之积（交叉相乘积相等

特别地，d

b b a = b 2＝ac(bc≠0) b 是a,

c 的比例中项 问：你能将ad=bc （a,b,c,

d 均不为0）化成比例式吗？ 在等式两边同时除以ab 得： 在等式两边同时除以ab 得： 在等式两边同时除以ab 得： 在等式两边同时除以ab 得： 注：（1）一个等积式可写成八种比例式，但比值不相等 （2）比例式与等积式的互换，检验比例变形是否正确

（3）判断四条线段成比例的方法

方法一：先排序再看第一与第二的比是否等于第三与第四的比

方法二：先排序再看最长线段与最短线段的积是否等于其余两条线段的积

○2比例的性质2：

c b a =

a

c b

d = 比例的更比性 d

b c a = ○3比例的性质3: c d a b = 比例的的反比性 比例项（或比例外项）可互换，两边比的分子，分母可同时互换，仍成比例。

○4合比性质：d c b a =⇔ c

d c a b a +=+c d c a b a -=- 两式相除得

推论：d c b a =⇔d

c d c b a b a -+=-+ （比的左右结构形式一样）结构形式：分母不变，分子是原分子与分母的和差 ③等比性质：若

==d c b a ……＝ n m (b+d+…+n≠0)----强调此条件，不明确要讨论。 a

b c d =b d a c =d

c b a =d

b c a =

c d a b =b a d c =a

c b

d =c a d b =斜换竖换

仍成比例

则n d b m c a ++++++ ＝b

a 黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，(AC ＞BC)，且使AC 是AB 和BC 的比例中线，叫做把线段AB 黄金分割，C 点叫做线段AB 的黄金分割点. 若BC

AC AC AB =（AB ：AC=AC ：BC ） 点C 叫做线段AB 的黄金分割点. AC 是AB,BC 的比例中项

若AB=1,设AC=x,则BC=1-x,

x

x x -=11 x 2+x-1=0 解得 x 1=251+-618.0≈ x 2=251--(舍去)

典型例题

例1(1)判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： a=2, b=5, c=152,d=35

(2) 判断下列线段是否是成比例线段

a ＝2cm ，

b ＝4cm ，

c ＝3m ，

d ＝6m ；

【方法归纳】判断四条线段是否成比例时，若所给的线段单位不一致，一定要先统一单位 例2、已知，1，2， 2 三个数，请你再添一个数，使这四个数成比例

例3、 （1）已知43=y x ，求y

x y x y y x y y x 3232,432,+--+的值 变：4

3y x = 法一：运用合比分比性质 法二：设参数法○

1令x=3k,y=4k,再代入

法三： ○2令k y y x =+，用等式的性质求出y

x 的值（用k 表示的）

法四：代入消元法，把y x 43=

代入目标代数式

法五：运用分式的性质，将目标代数式分子分母同时除以xy.

法六：将目标代数式逆用同分母分式相加减法则。

例2 已知45=+y y x ，求y

x 的值

例3 已知x∶y∶z＝2∶３∶５.求z

y x z y x +--+33的值. 变：○15

32z y x == ○215x=10y=6z

小结：在比例变形时，可利用等式的性质，分式的性质，比例的性质。

例5 如果

31==d c b a ，求d b c a d b c a b a b a b b a 22,,2,--++-++的值

例6 若

k b

a c a c

b

c b a =+=+=+，求k 的值（两种情况）