2024届安徽省六安市舒城干汊河中学数学高一第二学期期末调研模拟试题含解析

2024届安徽省六安市舒城干汊河中学数学高一第二学期期末调
研模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知1
cos(75)3
α+=，则sin(15)α-值为 A ．13
-
B ．
13
C ．
22
3
D ．22
3
-
2．已知两个正数a ，b 满足325a b +=，则32
a b
+的最小值是( ) A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭
的值等于（ ） A ．59
-
B ．79
-
C ．
59
D ．
79
4．已知在ABC 中，()sin sin cos cos sin A B A B C +=+⋅，则ABC 的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形
5．已知数列满足
，且
，则
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6．下列命题中正确的是（ ） A ．相等的角终边必相同
B ．终边相同的角必相等
C ．终边落在第一象限的角必是锐角
D ．不相等的角其终边必不相同
7．在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ，B ，C 成等差数列，23b =ABC ∆的周长的取值范围为（ ）
A ．(623,63+
B ．(
23,63
C ．(
42,63
D ．(
43,63
A ．134,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭
B ．81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．138,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．144,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
9．已知,,a b c 均为实数，则 “2b ac =”是“,,a b c 构成等比数列”的 （ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10． “6π
θ=
”是“1
sin 2
θ=
”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．由正整数组成的数列{}n a ，{}n b 分别为递增的等差数列、等比数列，111a b ==，记n n n c a b =+，若存在正整数k （2k ≥）满足1100k c -=，11000k c +=，则
k c =__________．
12．若cos 4m πθ⎛⎫-=
⎪⎝⎭，则3cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
______（用m 表示）. 13．设,x y 满足不等式组60
{200
x y x y x +-≤--≤≥，则2z x y =-+的最小值为_____.
14．1
lim
12n n n
→∞+=+________
15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动，平面区域W 由所有满足15
A P ≥的点P 组成，则W 的面积是__________．
16．从集合{}2,1,2A =--中随机选取一个数记为a ，从集合{}1,1,3B =-中随机选取
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数2()3sin cos cos (0)ωωωω=
->f x x x x 的最小正周期是π.
(1)求ω的值及函数()f x 的单调递减区间； (2)当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的取值范围. 18．已知0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,4cos 5
α=
. (1)求sin 2α的值;
(2)求sin 4πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值.
19．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 3sin a b C c B =+ （1）求B ；
（2）若ABC ∆为锐角三角形，且边3c =
，求ABC ∆面积的取值范围.
20．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．
求证：(1)AC ⊥BC 1；(2)AC 1∥平面CDB 1.
21．如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ，AC BD G ⋂=． （Ⅰ）求证：//AE 平面BFD ； （Ⅱ）求三棱锥C BGF -的体积．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解题分析】
利用三角函数的诱导公式，得到sin(15)cos(75)αα-=+，即可求解. 【题目详解】
由题意，可得1
sin(15)cos[90(15)]cos(75)3
ααα-=-=-=+， 故选B. 【题目点拨】
本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2、D 【解题分析】 根据题意，分析可得
32(32)32
()5a b a b a b
++=⨯+，对其变形可得3216613()5a a a b b b ⎡⎤
+=⨯++⎢⎥⎣⎦
，由基本不等式分析可得答案． 【题目详解】
解：根据题意，正数a ，b 满足325a b +=，3215
a b
+∴
=
则
32(32)321661()13()135555a b a a a b a b b b ⎛+⎡⎤+=⨯+=⨯++⨯+= ⎢⎥ ⎣⎦⎝； 即
32
a b
+的最小值是5； 故选：D ． 【题目点拨】
本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式应用的条件． 3、B 【解题分析】
2cos(
2)cos[(2)]cos(2)333
πππ
απαα-=-+=-+ 2217
[12sin ()][12()]639
πα=--+=--=-．
利用正弦定理可将已知中的等号两边的“边”转化为它所对角的正弦，再利用余弦定理化简即得该三角形的形状． 【题目详解】
根据正弦定理，原式可变形为：
()cos cos c A B a b +=+
所以22222222b c a a c b c a b bc ac ⎛⎫
+-+-+=+ ⎪⎝⎭
整理得222a b c +=
∴ 90C ∠=︒．
故选D ． 【题目点拨】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5、B 【解题分析】 由题意得出，由
，得出
，再利用累
加法得出
的值。

【题目详解】
，
，
又
，，
，
，则
，
于是得到
，
上述所有等式全部相加得，
因此，，故选：B 。

【题目点拨】
本题考查数列项的计算，考查累加法的应用，解题的关键就是根据题中条件构造出等式
，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题。

根据终边相同的角的的概念可得正确的选项. 【题目详解】
终边相同的角,αβ满足2,k k Z αβπ=+∈，故B 、D 错误， 终边落在第一象限的角可能是负角，故C 错误， 相等的角的终边必定相同，故A 正确. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查终边相同的角，注意,αβ终边相同时，有2,k k Z αβπ=+∈，本题属于基础题. 7、A 【解题分析】 依题意求出3
B π
=
，由正弦定理可得(
)4sin sin 6a c A C A π⎛⎫
+=+=+
⎪⎝
⎭
，再根据角A 的范围，可求出a c +的范围，即可求得ABC ∆的周长的取值范围． 【题目详解】
依题可知，2B A C =+，由A B C π++=，可得3
B π
=
，所以
4
sin sin sin sin 3
a c
b A C B ====， 即(
)24sin sin 4sin sin 36a c A C A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫+=+=+-=+
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，
而
02
2032A C A πππ⎧
<<⎪⎪⎨⎪<=-<
⎪⎩
62A ππ⇒<
<2sin 3636A A ππππ⎤⎛⎫⇒<+<⇒+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦．
∴(6,a c +∈
，即(
6a b c ++∈+．
故ABC ∆
的周长的取值范围为(
6+． 故选：A ． 【题目点拨】
函数的值域求法的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 8、A 【解题分析】
根据向量的坐标运算法则,依据题意列出等式求解. 【题目详解】
由题知:()5,2a =-,()4,3b =--,(),c x y =, 因为230a b c -+=,
所以1358303263043x x y y ⎧=-⎪++=⎧⎪⇒⎨
⎨-++=⎩⎪=-
⎪⎩
, 故c =13433⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭，, 故选:A. 【题目点拨】
本题考查向量的坐标运算,属于基础题. 9、A 【解题分析】
解析：若,,a b c 构成等比数列，则2b ac =，即是必要条件；但2b ac =时，不一定有,,a b c 成等比数列，如1,0,0a b c =-==，即是不充分条件．应选答案A ． 10、A 【解题分析】 根据6
π
θ=
和1
sin 2θ=
之间能否推出的关系，得到答案. 【题目详解】 由6
π
θ=
可得1sin 2
θ=
， 由1
sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526
k πθπ=
+，k ∈Z ，不能得到6πθ=， 所以“6
π
θ=”是“1
sin 2
θ=
”的充分不必要条件， 故选：A.
本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、262 【解题分析】
根据条件列出不等式进行分析，确定公比q 、k 、d 的范围后再综合判断. 【题目详解】
设等比数列公比为q ，等差数列公差为d ，因为1100k c -=，11000k c +=，所以
21(2)100
(*)11000k k
k d q kd q -⎧+-+=⎨++=⎩
；又因为{}n a ，{}n b 分别为递增的等差数列、等比数列，所以2q ≥且1d ≥；又2k =时11100+=显然不成立，所以3k ≥，则3
1000q <，即
9q ≤；
因为2q ≥，2
21002k k q -->>，所以8k ≤；因为(2)k d d -≥，所以 100d ≤；
由(*)可知：2
2900k
k q q
d --+=，则22900()200k k d q q -=--<，
22(1)700k q q -->；又
21
22111
1550(1)022222
k k k k k k k c c q q c kd q
q q ----+=++=+--=-->， 所以2
2
(1)1100k q
q --<，则有()22
2
2
1700
(1)1100
k k q q q q --⎧->⎪⎨-<⎪⎩ 根据3829k q ≤≤⎧⎨≤≤⎩可解得符合条件的解有：46k q =⎧⎨=⎩ 或39k q =⎧⎨=⎩；当4
6k q =⎧⎨=⎩时，
4
1461000d ++=，解得0d <不符，当3
9k q =⎧⎨=⎩
时，解得90d =，符合条件；则3221
5509(91)2622
k c -=-⋅-=.
【题目点拨】
本题考查等差等比数列以及数列中项的存在性问题，难度较难.根据存在性将变量的范围尽量缩小，通过不等式确定参变的取值范围，然后再去确定符合的解，一定要注意带回到原题中验证，看是否满足. 12、m -
直接利用诱导公式化简求解即可． 【题目详解】 解：cos 4m πθ⎛⎫-=
⎪⎝⎭
，则3cos cos cos 444m πππθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
故答案为：m -． 【题目点拨】
本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力，属于基础题． 13、-6
【解题分析】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y -+=，当l 向下平移时， 2z x y =-+减小，因此当l 过点()4,2A 时， 22426z x y =-+=-⨯+=-为最小值．
14、
1
2
【解题分析】
根据极限的运算法则，合理化简、运算，即可求解. 【题目详解】
由极限的运算，可得11
1lim(1)
11lim
lim 11
122
2lim(2)n n n n n n n n n
n →∞→∞→∞→∞+
++===+++. 故答案为：1
2
【题目点拨】
本题主要考查了极限的运算法则的应用，其中解答熟记极限的运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15、π44
-
【解题分析】
1AP =≥=,所以点平面区域W 是底面ABCD 内以A 为圆心，以
1为半径的外面区域, 则W 的面积是2
21214.44
ππ-⋅=- 16、
29
【解题分析】
首先求出试验发生包含的事件(),a b 的取值所有可能的结果，满足条件事件直线不经过第一象限，符合条件的(),a b 有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果. 【题目详解】
试验发生包含的事件{}2,1,2a A ∈=--，{}1,1,3b B ∈=-， 得到(),a b 的取值所有可能的结果有：
()()()()()()()()()2,1,2,1,2,3,1,1,1,1,1,3,2,1,2,1,2,3---------共9种结果，
由0ax y b -+=得y ax b =+，
当0
0a b <⎧⎨≤⎩
时，直线不经过第一象限，符合条件的(),a b 有()()2,1,1,1----2种结果， 所以直线不经过第一象限的概率29
P =. 故答案为：
2
9
【题目点拨】
本题是一道古典概型题目，考查了古典概型概率公式，解题的关键是求出列举基本事件，属于基础题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1)1ω=，减区间为5,3
6k k k Z π
πππ⎡⎤++
∈⎢⎥⎣
⎦；(2)11,2⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦ 【解题分析】
（1）利用倍角公式将函数化成1
()sin(2)62
π
f x ωx =--
的形式，再利用周期公式求出π
3ππ
（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求得52666x πππ-≤-≤，利用单位圆中的三角函数线，即可得答案.
【题目详解】
(1)1cos2()cos 2
x f x x x ωωω+=-1sin(2)62πωx =--， T π=，1ω∴=；
3222262k x k π
π
πππ+≤-≤+，536k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调递减区间为5,,36k k k Z π
πππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦
. (2)由02x π
≤≤得52666
x π
π
π-≤-≤， 利用单位圆中的三角函数线可得：1sin(2)126x π-
≤-≤， ∴1()1,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
. 【题目点拨】
本题考查三角恒等变换中倍角公式的应用、周期公式、值域求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意角度范围的限制.
18、 (1)2425;(2)10
. 【解题分析】
（1）由40,,cos 25
παα⎛
⎫∈= ⎪⎝⎭，算得sin α，接着利用二倍角公式，即可得到本题答案；（2）利用和角公式展开，再代入sin ,cos αα的值，即可得到本题答案.
【题目详解】
(1)因为0,2πα⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭,4cos 5α=,所以3sin 5
α==. 所以24sin 22sin cos 25ααα==
；
(2)sin sin 42210
πααα⎛
⎫+=+= ⎪⎝⎭. 【题目点拨】
本题主要考查利用同角三角函数的基本关系，和差公式以及二倍角公式求值，属基础题.
19、 (1) 6B π
= ；(2) 34S a =∈⎝⎭
【解题分析】
(1)利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即得B 的值；（2）先根据已知求出322
a <<，再求ABC ∆面积的取值范围. 【题目详解】
解：（1）cos a b C B =+，即
可得sin sin cos sin A B C C B =+，
∵sin sin()sin cos cos sin sin cos sin A B C B C B C B C C B =+=+=+
∴cos sin sin B C C B =
∵sin 0B >
∴cos B B =
∴tan B = 由0B π<<，可得6B π
=；
（2）若ABC ∆为锐角三角形，且c =
b ==
由三角形ABC 为锐角三角形，
可得22333a a a -++>且22333a a a -++> 解得322
a <<，
可得ABC ∆面积3sin 64S a π=⋅=∈⎝⎭
【题目点拨】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的取值范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
20、 (1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解题分析】
试题分析：（1）由勾股定理可证得ACB ∆为直角三角形即可证得AC BC ⊥，由直棱柱可知1CC ⊥面ABC ，
可证得1CC AC ⊥，根据线面垂直的判定定理可证得AC ⊥面11BB C C ，从而可得1AC BC ⊥．（2）设1CB 与1C B 的交点为E ，连结DE ，由中位线可证得1//DE AC ，根据线面平行的判定定理可证得1//AC 平面1CDB ．
试题解析：证明：（1）证明：3,4,5AC BC AB ===，
222AC BC AB ∴+=，
ACB ∴∆为直角三角形且90ACB ∠=，即AC BC ⊥．
又∵三棱柱111ABC A B C -为直棱柱，1CC ∴⊥面ABC ，AC ⊂面ABC ，1CC AC ∴⊥，
1BC CC C ⋂=，
AC ∴⊥面11BB C C ，1BC ⊂面11BB C C ，1AC BC ∴⊥．
（2）设1CB 与1C B 的交点为E ，连结DE ， D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，1//DE AC ∴．
1AC ⊄面1CDB ，DE ⊂面
1CDB ， 1//AC ∴平面1CDB ．
考点：1线线垂直，线面垂直；2线面平行．
21、（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）
13 【解题分析】
（Ⅰ）先证明//AE GF ，再证明//AE 平面BFD ；
（Ⅱ） 由等积法可得13
C BFG G BCF CFB V V S FG --∆==⋅⋅即可求解.
【题目详解】
（Ⅰ）因为G 是AC 中点，又因为BF ⊥平面ACE ，所以BF CE ⊥，由已知BC BE =，所以F 是AC 中点，所以//AE GF ，因为AE ⊄平面BFD ，GF ⊂平面BFD ，所以//AE 平面BFD ．
（Ⅱ）因为AD ⊥平面ABE ，//AD BC ，所以BC ⊥平面ABE ，则BC ⊥AE ，又因为BF ⊥平面ACE ，所以BF AE ⊥，则AE ⊥平面BCE ，由//AE GF 可得GF ⊥平面BCE ，因为2AE EB BC === ， 此时1122124BCF BCE S S ∆∆=
=⨯⨯=，112FG AE ==， 所以1133
C BFG G BCF CFB V V S FG --∆==⋅⋅=． 【题目点拨】
本题主要考查线面平行的判定及利用等积法求三棱锥的体积问题，属常规考题.。