2020-2021学年广东省广州市越秀区八年级上期末数学试卷及答案

2020-2021学年广东省广州市越秀区八年级上期末数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+4、n+8，则n的取值范围是（）
A．n＞﹣1B．n＞0C．n＞2D．n＞3
2．（3分）如图，已知∠ACB＝∠DBC，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）
A．∠ABC＝∠DCB B．∠ABD＝∠DCA C．AC＝DB D．AB＝DC
3．（3分）下列计算正确的是（）
A．a+2a2＝3a3B．a8÷a2＝a4C．a3•a2＝a6D．（a3）2＝a6
4．（3分）若代数式x
2−x
有意义，则实数x的取值范围是（）
A．x＝0B．x＝2C．x≠0D．x≠2 5．（3分）若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）
A．y
x+1B．
x+y
x+1
C．
x+1
x−y
D．
x
x+y
6．（3分）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（）
A．B．
C．D．
7．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠D′O′C′＝∠DOC，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是（）
A ．SAS
B ．SSS
C ．ASA
D ．AAS
8．（3分）如图，已知∠AOB ＝10°，且OC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ，则∠BGH ＝（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．70°
D ．80°
9．（3分）如图，AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，作
PE ⊥AB 于点E ．若两平行线AD 与BC 间的距离为4，则PE ＝（ ）
A ．4
B ．2
C ．8
D ．6
10．（3分）若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2﹣6a ﹣8b ﹣10c +50＝0，则此三角形是（ ）
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰三角形
D ．直角三角形
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为 ．
12．（3分）若x 2+2（m ﹣3）x +36是完全平方式，则m 的值等于 ．
13．（3分）分式1x ，12x ，13x 的最简公分母是 ．
14．（3分）已知a m ＝2，a n ＝3（m ，n 为正整数），则a 3m +2n ＝ ．
15．（3分）利用平方差计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝ ．
16．（3分）如图，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且AD ＝4，E ，P 分别是AC ，AD
上的动点，则CP +EP 的最小值等于 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）解方程：
x−3x−2+1=32−x ． 18．（8分）化简：
（1）﹣12x 2y 3÷（﹣3xy 2）•（−13xy ）；
（2）（2x +y ）（2x ﹣y ）﹣（2x ﹣y ）2．
19．（8分）因式分解：
（1）﹣2x 2﹣8y 2+8xy ；
（2）（p +q ）2﹣（p ﹣q ）2
20．（6分）已知，如图，在△ABC 中，AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，若∠ABC
＝30°，∠ACB ＝60°
（1）求∠DAE 的度数；
（2）写出∠DAE 与∠C ﹣∠B 的数量关系 ，并证明你的结论．
21．（10分）先化简，再求值：(2x 2x+1−14x 2+2x )÷(1−4x 2+14x
)，其中x ＝3． 22．（8分）如图，AD 是△ADC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，联结EF ．求
证：AD ⊥EF ．
23．（8分）问题1：如图①，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，P 是BC 上一点，P A
＝PD ，∠APD ＝90°．求证：AB +CD ＝BC ．
问题2：如图②，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝45°，P 是BC 上一点，P A ＝PD ，∠APD ＝90°．求AB+CD BC 的值．
24．（8分）某医院计划选购A 、B 两种防护服．已知A 防护服每件价格是B 防护服每件价
格的1.5倍，用6000元单独购买A 防护服比用5000元单独购买B 防护服要少2件．
（1）A ，B 两种防护服每件价格各是多少元？
（2）如果该医院计划购买B 防护服的件数比购买A 防护服件数的3倍多80件，且用于购买A ，B 两种防护服的总经费不超过265000元，那么该医院最多可以购买多少件B 防护服？
25．（10分）如图1，OA ＝2，OB ＝4，以点A 为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰直角△ABC ．
（Ⅰ）求C 点的坐标；
（Ⅱ）如图2，OA ＝2，P 为y 轴负半轴上的一个动点，若以P 为直角顶点，P A 为腰等腰直角△APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP ﹣DE 的值；
（Ⅲ）如图3，点F 坐标为（﹣4，﹣4），点G （0，m ）在y 轴负半轴，点H （n ，0）x 轴的正半轴，且FH ⊥FG ，求m +n 的值．
2020-2021学年广东省广州市越秀区八年级上期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知n 是正整数，若一个三角形的三边长分别是n +2、n +4、n +8，则n 的取值范
围是（ ）
A ．n ＞﹣1
B ．n ＞0
C ．n ＞2
D ．n ＞3
【解答】解：∵三角形的三边长分别是n +2、n +4、n +8，
∴n +2+n +4＞n +8，
解得n ＞2．
故选：C ．
2．（3分）如图，已知∠ACB ＝∠DBC ，添加以下条件，不能判定△ABC ≌△DCB 的是（
）
A ．∠ABC ＝∠DC
B B ．∠ABD ＝∠DCA
C ．AC ＝DB
D ．AB ＝DC
【解答】解：A 、∵在△ABC 和△DCB 中
{∠ABC =∠DCB BC =CB ∠ACB =∠DBC
∴△ABC ≌△DCB （ASA ），故本选项不符合题意；
B 、∵∠ABD ＝∠DCA ，∠DB
C ＝∠ACB ，
∴∠ABD +∠DBC ＝∠ACD +∠ACB ，
即∠ABC ＝∠DCB ，
∵在△ABC 和△DCB 中
{∠ABC =∠DCB BC =CB ∠ACB =∠DBC
∴△ABC ≌△DCB （ASA ），故本选项不符合题意；
C 、∵在△ABC 和△DCB 中
{BC =CB ∠ACB =∠DBC AC =DB
∴△ABC≌△DCB（SAS），故本选项不符合题意；
D、根据∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，AB＝DC不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合
题意；
故选：D．
3．（3分）下列计算正确的是（）
A．a+2a2＝3a3B．a8÷a2＝a4C．a3•a2＝a6D．（a3）2＝a6
【解答】解：A、因为a与2a2不是同类项，所以不能合并，故本选项错误；
B、a8÷a2＝a6，故本选项错误；
C、a3•a2＝a5，故本选项错误；
D、（a3）2＝a6，故本选项正确．
故选：D．
4．（3分）若代数式x
2−x
有意义，则实数x的取值范围是（）
A．x＝0B．x＝2C．x≠0D．x≠2
【解答】解：由题意的，2﹣x≠0，
解得，x≠2，
故选：D．
5．（3分）若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）
A．y
x+1B．
x+y
x+1
C．
x+1
x−y
D．
x
x+y
【解答】解：A、原式=
2y
2x+1，与原来的分式的值不同，故本选项错误；
B、原式=2(x+y)
2x+1，与原来的分式的值不同，故本选项错误；
C、原式=2x+1
2x−2y，与原来的分式的值不同，故本选项错误；
D、原式=
2x
2(x+y)
=x x+y，与原来的分式的值相同，故本选项正确．
故选：D．
6．（3分）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（）A．B．
C ．
D ．
【解答】解：伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A 、B 、D 都是利用了三角形的稳定性． 故选：C ．
7．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠D ′O ′C ′＝∠
DOC ，需要证明△D ′O ′C ′≌△DOC ，则这两个三角形全等的依据是（ ）
A ．SAS
B ．SSS
C ．ASA
D ．AAS
【解答】解：在△D ′O ′C ′和△DOC 中，
{O′D′=OD O′C′=OC C′D′=CD
，
∴△D ′O ′C ′≌△DOC （SSS ），
∴∠D ′O ′C ′＝∠DOC ．
则全等的依据为SSS ．
故选：B ．
8．（3分）如图，已知∠AOB ＝10°，且OC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ，则∠BGH ＝（
）
A ．50°
B ．60°
C ．70°
D ．80°
【解答】解：∵OC ＝CD ，
∴∠CDO ＝∠O ＝10°
∴∠DCE ＝∠O +∠CDO ＝20°，
∵CD ＝DE ，
∴∠DCE ＝∠CED ＝20°，
∴∠EDF ＝∠O +∠CED ＝30°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
同理∠GEF＝∠EGF＝40°，∠GFH＝∠GHF＝50°，∠BGH＝60°，
故选：B．
9．（3分）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若两平行线AD与BC间的距离为4，则PE＝（）
A．4B．2C．8D．6
【解答】解：过点P作MN⊥AD于M，交BC于N，如图，
∵AD∥BC，MN⊥AD，
∴MN⊥BC，
∵∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，
∴PM＝PE，PE＝PN，
∴PE＝PM＝PN，
∵MN＝4
∴PE＝2．
故选：B．
10．（3分）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，则此三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【解答】解：∵a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∵3，4，5是一组勾股数，则有32+42＝52，
∴此三角形是直角三角形．
故选：D ．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为 12 ．
【解答】解：多边形的边数：360°÷30°＝12，
则这个多边形的边数为12．
故答案为：12．
12．（3分）若x 2+2（m ﹣3）x +36是完全平方式，则m 的值等于 9或﹣3 ．
【解答】解：∵x 2+2（m ﹣3）x +36是完全平方式，
∴2（m ﹣3）x ＝±2•x •6，
解得：m ＝9或﹣3，
故答案为：9或﹣3．
13．（3分）分式1x ，12x
，13x 的最简公分母是 6x ． 【解答】解：分式1x ，
12x ，13x 的最简公分母是6x ．
故答案为6x ． 14．（3分）已知a m ＝2，a n ＝3（m ，n 为正整数），则a 3m +2n ＝ 72 ．
【解答】解：∵a m ＝2，a n ＝3（m ，n 为正整数），
∴a 3m +2n ＝（a m ）3×（a n ）2
＝23×32
＝8×9
＝72．
故答案为：72．
15．（3分）利用平方差计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝ 216 ．
【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，
＝216．
16．（3分）如图，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且AD ＝4，E ，P 分别是AC ，AD
上的动点，则CP +EP 的最小值等于 4 ．
【解答】解：作BM ⊥AC 于M ，交AD 于P ， ∵△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC ，
∴AD 是BC 的垂直平分线，
∴点B ，C 关于AD 为对称，
∴BP ＝CP ，
根据垂线段最短得出：CP +EE ＝BP +EP ＝BE ≥BM ， ∵△ABC 是等边三角形，
∴AC ＝BC ，
∵S △ABC =12BC •AD =12
AC •BM ，
∴BM ＝AD ＝4，
即EP +CP 的最小值为4，
故答案为：4．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）解方程：x−3x−2+1=32−x ．
【解答】解：方程两边同乘（x ﹣2）得：
x ﹣3+x ﹣2＝﹣3
解得：x ＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2≠0，故x＝1是此方程的解．18．（8分）化简：
（1）﹣12x2y3÷（﹣3xy2）•（−1
3xy）；
（2）（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2．
【解答】解：（1）原式＝4xy•（−1
3xy）=−
4
3x
2y2；
（2）原式＝4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2＝4xy﹣2y2．
19．（8分）因式分解：
（1）﹣2x2﹣8y2+8xy；
（2）（p+q）2﹣（p﹣q）2
【解答】解：（1）﹣2x2﹣8y2+8xy
=−2(x2+4y2−4xy)#/DEL/#
=−2(x−2y)2#/DEL/#
（2）（p+q）2﹣（p﹣q）2
=(p+q+p−q)(p+q−p+q)#/DEL/#
=4pq#/DEL/#
20．（6分）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠ABC ＝30°，∠ACB＝60°
（1）求∠DAE的度数；
（2）写出∠DAE与∠C﹣∠B的数量关系∠DAE=1
2
(∠C−∠B)，并证明你的结论．
【解答】解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=1
2∠BAC＝45°．
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°+45°＝75°．∵AD是△ABC的高，
∴∠ADE＝90°．
∴∠DAE＝90°﹣∠AEC＝90°﹣75°＝15°．（2）由（1）知，
∠DAE＝90°﹣∠AEC＝90°﹣（∠B+1
2
∠BAC）
又∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C．
∴∠DAE＝90°﹣∠B−1
2（180°﹣∠B﹣∠C），
=12（∠C﹣∠B）．
21．（10分）先化简，再求值：(
2x
2x+1
−1
4x2+2x
)÷(1−4x
2+1
4x
)，其中x＝3．
【解答】解：原式=
4x2−1
2x(2x+1)
÷4x−4x
2−1
4x
=(2x+1)(2x−1)
2x(2x+1)•
4x
−(2x−1)2
=−
2
2x−1
，
当x＝3时，原式=−2 5．
22．（8分）如图，AD是△ADC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，联结EF．求证：AD⊥EF．
【解答】证明：如图所示：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
又∵AD是△ADC中∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中
{DE=DF
AD=AD，
∴Rt △AED ≌Rt △AFD （HL ），
∴Rt △AED 与Rt △AFD 关于直线AD 成轴对称，
∴EF ⊥AD ．
23．（8分）问题1：如图①，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，P 是BC 上一点，P A
＝PD ，∠APD ＝90°．求证：AB +CD ＝BC ．
问题2：如图②，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝45°，P 是BC 上一点，P A ＝PD ，∠APD ＝90°．求AB+CD BC 的值．
【解答】证明：（1）∵∠B ＝∠APD ＝90°，
∴∠BAP +∠APB ＝90°，∠APB +∠DPC ＝90°，
∴∠BAP ＝∠DPC ，
又P A ＝PD ，∠B ＝∠C ＝90°，
∴△BAP ≌△CPD （AAS ），
∴BP ＝CD ，AB ＝PC ，
∴BC ＝BP +PC ＝AB +CD ；
（2）如图2，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，
由（1）可知，EF ＝AE +DF ，
∵∠B ＝∠C ＝45°，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，
∴∠B ＝∠BAE ＝45°，∠C ＝∠CDF ＝45°，
∴BE ＝AE ，CF ＝DF ，AB =√2AE ，CD =√2DF ，
∴BC ＝BE +EF +CF ＝2（AE +DF ），
∴AB+CD BC =√2(AE+DF)2(AE+DF)=√22
． 24．（8分）某医院计划选购A 、B 两种防护服．已知A 防护服每件价格是B 防护服每件价
格的1.5倍，用6000元单独购买A 防护服比用5000元单独购买B 防护服要少2件．
（1）A ，B 两种防护服每件价格各是多少元？
（2）如果该医院计划购买B 防护服的件数比购买A 防护服件数的3倍多80件，且用于购买A ，B 两种防护服的总经费不超过265000元，那么该医院最多可以购买多少件B 防护服？
【解答】解：（1）设B 种防护服每件价格是x 元，则A 种防护服每件价格是1.5x 元， 依题意得：5000x −60001.5x =2，
解得：x ＝500，
经检验，x ＝500是原方程的解，且符合题意，
则1.5x ＝750．
答：A 种防护服每件价格是500元，B 种防护服每件价格是750元．
（2）设该医院可以购买y 件A 防护服，则购买（3y +80）件B 防护服，
依题意得：750y +500（3y +80）≤265000，
解得：y ≤100．
则3y +80≤380．
答：该医院最多可以购买380件B 防护服．
25．（10分）如图1，OA ＝2，OB ＝4，以点A 为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰直角△ABC ．
（Ⅰ）求C 点的坐标；
（Ⅱ）如图2，OA ＝2，P 为y 轴负半轴上的一个动点，若以P 为直角顶点，P A 为腰等腰直角△APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP ﹣DE 的值；
（Ⅲ）如图3，点F 坐标为（﹣4，﹣4），点G （0，m ）在y 轴负半轴，点H （n ，0）x 轴的正半轴，且FH ⊥FG ，求m +n 的值．
【解答】解：（Ⅰ）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，如图1所示：∵CM⊥OA，AC⊥AB，
∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠MAC＝∠OBA，
在△MAC和△OBA中，{∠CMA=∠AOB ∠MAC=∠OBA AC=BA
，
∴△MAC≌△OBA（AAS），
∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，
∴OM＝6，
∴点C的坐标为（﹣6，﹣2），
故答案为（﹣6，﹣2）；
（Ⅱ）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，
则四边形OEDQ是矩形，
∴DE＝OQ，
∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，
在△AOP和△PDQ中，{∠AOP=∠PQD=90°∠QPD=∠OAP
AP=PD
，
∴△AOP≌△PDQ（AAS），
∴AO＝PQ＝2，
∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2；
（Ⅲ）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT，
∴四边形OSFT是正方形，
∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG，
∴∠HFS＝∠GFT，
在△FSH和△FTG中，{∠HSF=∠GTF ∠HFS=∠GFT FS=FT
，
∴△FSH≌△FTG（AAS），∴GT＝HS，
又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4），∴OT═OS＝4，
∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4，
∴﹣4﹣m＝n+4，
∴m+n＝﹣8．。