中考数学压轴题破解策略专题25《全等三角形的存在性》

专题 25《全等三角形的存在性》
破解策略
全等三角形的存在性问题的解题策略有：
（1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固 定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或 列方程来求解．
（2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应 相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角 对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等．
例题讲解 例 1 如图，在平面直角坐标系中， 抛物线 y ＝ ax 2
＋ bx ＋ 4与 x 轴的一个交点为 A （－ 2， 0），与 y 轴的交点为 C ，对称轴是 x ＝3，对称轴与 （1）求抛物线的表达式； （2）若点 D 在 x 轴上，在抛物线上是否存在点 的坐标；若不存在，请说明理
由． （ 3）若点 M 在 y 轴的正半轴上，连结 MA ，过点 N ．问：是否存在点 x 轴交于点 B ． P ，使得△ PBD ≌△ PBC ?若存在，求点 P M 作 MA 的垂线，交抛物线的对称轴于点 M ，使以点 M 、A 、N 为顶点的三角形与△ BAN 全等？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（ 1）由题意可列方程组
4a 2b 4 0
2b
a 3
解得 1
a
4
， b 3 ，
2
7
②当 AM ＝NB ， MN ＝BA 时，可列方程组： 4 m
2 n 2
9 (m n)2
25
所以抛物线的表达式为 y 1 x 2 3
x 4．
42
2）显然 OA ＝ 2， OB ＝ 3， OC ＝ 4． 所以 BC OB 2 OC 2 5 BA ．
若△ P BD ≌△ PBC ，则 BD ＝ BC ＝5，PD ＝PC
所以 D 为抛物线与 x 轴的左交点或右交点，点 B ，P 在 CD 的垂直平分线上， ①若点 D 为抛物线与 x 轴的左交点，即与点 A 重合．
如图 1，取 AC 的中点 E ，作直线 BE 交抛物线于 P 1（x 1，y 1）， P 2（ x 2． y 2）两点． 此时△ P 1BC ≌△ P 1BD ，△ P 2BC ≌△ P 2 B D ．
由 A 、 C 两点的坐标可得点 E 的坐标为（－ 1，2）．
所以直线 BE 的表达式为 y 1 x 3 ．
22
所以点 P 1，P 2 的坐标分别为（ 4一 26， 1 26 ）．（4＋ 26， 1 26
） 22 ②若 D 为抛物线与 x 轴的右交点，则点 D 的坐标为（ 8， 0）．
如图 2，取 CD 的中点 F ．作直线 BF 交抛物线于 P 3（x 3，y 3）， P 4（ x 4，， y 4）两点． 此时△ P 3BC ≌△ P 3BD ，△ P 4BC ≌△ P 4 B D ． 由 C 、D 两点的坐标可得点 F 的坐标为（ 4，2）， 所以直线 BF 的表达式为 y ＝ 2x －6．
联立方程组
y 2x 1 62 3 ，解得
x 3 1 41 ，
x 4 1 41
y x 2 x 4 y 3 8 2 41 y 4 8 2 41
所以点 P 3，P 4 的坐标分别为 （－ 1＋ 41 ，－ 8＋ 2 41 ），（ －1－ 41 ，－8－ 2 41 ），
综上可得，满足题意的点 P 的坐标为（ 4一 26， 1 26 ），（4＋ 26，
1 26
），
22 － 1＋ 41 ，－ 8＋ 2 41 ）或（－ 1－ 41 ，－ 8－2 41 ）
（ 3）由题意可设点 M （0，m ）， N （ 3， n ），且 m >0，
则 AM 2＝4＋m 2，MN 2＝9＋（m －n ）2，BN 2＝n 2． 而∠ AMN ＝∠ ABN ＝900
， 所以△ AMN 与△ ABN 全等有两种可能： ①当 AM ＝ AB ，MN ＝BN 时，
所以此时点 M 的坐标为（ 0， 21 ）
13
y x 2 2 x 1 解得 y 1 2 3 x 2 x 4
y 1
x 2 4 26 1 26 y 2 可列方程组
4 m 2
25
9 (m n)2
m 1 21 ，
解得
2
n
n 1
5 21 ；
m 2
21 5 21 n2
7
联立方程 4 26 1 26 ，
2
33
m1
2m2
2
解得2，2（舍）
55
n
1 2n
2 2
所以此时点M的坐标为（ 0，3）．
2
综上可得，满足题意的点M的坐标为（ 0， 21 ）或（ 0，3）．
2
例 2 如图，在平面直角坐标系xoy 中，△ ABO为等腰直角三角形，∠ ABO＝ 90 0，点A 的坐标为（ 4．0），点B在第一象限．若点D在线段BO上，OD＝ 2DB，点E，F在△ OAB的边上，且满足△ DOF与△ DEF全等，求点E的坐标．
解：由题意可得OA＝ 4，
从而OB＝AB＝ 2 2 ．所以2
OD＝2OB
＝4 2，BD＝1OB＝2 2．3
①当点F在OA上时，
（ⅰ）若△ DFO≌△ DFE，点E 在OA上．如图 1．
此时DF⊥OA，所以OF＝2OD＝4，所以OE＝2OF＝8，即点E的坐
标为（
2 3 3
点F 在AB上，如图 2．
sin ∠BED＝BD＝1；所以∠ BED＝ 300，
ED 2
AE＝6 2 2 6
．
ⅱ）若△ DFO≌△ DFE，此时E D＝OD＝2BD，所以
从而BE＝3 BD＝ 2
6，
过点E作EG⊥OA于点G．所以3
则EG＝AG＝2AE＝ 2
2 3
2 2
2
3
3，
E 的坐标为
3
2 233）．
8，
0）．
图1
1 OG＝
2 233，即点
ⅲ）若△ DFO≌△ FDE，点E在AB上，如图 3．
此时 DE ∥ OA ，所以 BD ＝BE ． 从而 AE ＝ OD ＝ 4 2 ，
3
过点 E 作 EG ⊥OA 于点 G ， 则 EG ＝AG ＝ 2 AE ＝ 4 ， 23 所以 OG ＝ 8，即点 E
的坐标为（ 8， 4
）．
3 3 3
②当点 F 在 AB 上时，只能有△ ODF ≌△ AFD ，如图 4．
此时 DF ∥0A ．且点 E 与点 A 重合， 即点 E 的坐标为（ 4， 0）．
综上可得，端足条件的点 E 的坐标为（ 8 ，0），
3 2 2 3，2 2 3 ），（ 8 ，
4 ）或（ 4，0）．
3 3 3 3 进阶训练
答案：
存在．点 F 的坐标为（ 3- 17， － 4 ）或（ 3+ 17 ，－ 4）
2． 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1过点 A （1，0）且与 y 轴平
行．直线 l 2 k
过点 B （0，2）且与 x 轴平行，直线 l 1与 l 2相交于点 P ．E 为直线
l 2上一点，反比例函数 y= k
x （k >0）的图象过点 E 且与直线 l 1 相交干点 F ．
（1）若点 E 与点 P 重合，求 k 的值；
（ 2）是否存在点 E 及 y 轴上的点 M ，使得以点 M ，E ，F 为顶点的三角形与△ PEF 全等？ 若存在，求点 E 的坐标：若不存在，请说明理由．
1 ．如图，在平面直角坐标系 x Oy 中，
已知抛物线 y=1
x 2
- 3x- 8与y 轴变于点 C ． 4
直线 l ； y = - x 与抛物线的对称
轴交于点
3
E ．连结
C E ，探究；抛物线上是否存在一点 F ， F 坐标；若不存在，请说明理由．
答案： （1）k ＝2
38 （2）存在．点 E 的坐标为（ ，2）或（ ，2） 83
k
【提示】（ 2）易得点 E （ ，2），F （1，k ）．①如图 1，当 k <2 时，只能有△
MEF ≌△ PEF ．过 3
1 点 F 作 FH ⊥y 轴于点 H ，易证△ BME ∽△ HFM ，用 k 表示相关线段的长度，从
而得到 BM ＝ ，
2
再解 Rt △BME ，得 k ＝ 3
，所以点 E 的坐标为（ 3
，2）；②如图 2，当 k >2 时，只能有
48
8
△MEF ≌△
PFE ． 过点 F 作 FQ ⊥y 轴于点 Q ，同①可得点 E 的坐标为（ ，2）
3
3．如图，抛物线 y= ax 2
+bx+c 经过 A （ - 3 ，0）， B （ 3 3 ，0）， C （0， 3）三 点，线段 BC 与抛物线的对称轴交干 D ，该抛物线的顶点为 P ，连结 PA ，A D ．线段 AD 与 y 轴 相交于点 E ．
（1）求该抛物线的表达式；
（ 2）在平面直角坐标系中是否存在一点 Q ．使以 Q ，C ，D 为顶点的三角形与△ ADP 全等？
若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
l 2 B
y
P
O
l
1
A
x
l
备用图
图 1 图2
答案：
2）存在．点 Q 的坐标为（ 3 3，4），（ 3 ，－ 2），（ -2 3，1）或（0，7）
得 CD ＝ PD ，所以△ QCD 与△ ADP 全等有两种情况． 设点 Q 坐标，通过两点间距离公式列出 QC ， QD ， AP ，AD 的长．再分类讨论列方程组，从而求得点 Q 点坐标． 方法二：连接 CP ，易证△ CDP 为等边三角形，∠ ADC ＝60°，所以∠ PDA ＝
120°． △QCD 与△ ADP 全等有两种情况，①如图 1，∠DCQ ＝120°， CQ ＝DA ＝4，此时点 Q 1的坐标为
0，7），点 Q 2的坐标为（ -2 3 ，1）； ②如图 2，∠CDQ ＝120°，DQ ＝DA ＝4，此时点 Q 3的坐标为（ 3 ，－2），点 Q 4的坐标为（ 3 3， 4）
1）抛物线的表达式为
y=-1x 2
+2 3
x+3 33
提示】（ 2）方法 易求直线 BC ： y =- 3
x+3， 3
从而点 D 的坐标为 3 ， 2），可。