专题1 平面的基本性质与推论-2019年高考数学考点讲解与真题分析

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专题1 平面的基本性质与推论

一.重难点解读

1.判定空间两条直线是异面直线的方法:平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点B 的直线是异面直线.

2.平面的基本性质的应用:性质1用符号语言表示:,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂.这条性质是判定直线是否在平面内的依据,也可用于验证一个面是否是平面。基本性质2用符号语言表示:

,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫

∈⇒⎬⎪∈⎭

不共线与β重合有且只有一个”的含义分两部分理解,“有”说明图形存在,但不保证唯一,“只有一个”说明图形如果有的话,顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的存在性,又保证了图形的唯一性.性质3符号语言:P ∈α,且P ∈β⇒=,.l l α

β∈且P .揭

示了两个平面相交的主要特征,是判定两平面相交的依据,提供了确定两个平面交线的方法.今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线),性质3的应用:确定两相交平面的交线位置;判定点在直线上

3.集合中“∈”的符号只能用于点与直线,点与平面的关系,“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系,虽然借用于集合符号,但在读法上仍用几何语言。 二.注意点剖析

1.三个公理的作用:平面的基本性质1:①说明了平面与曲面的本质区别;②是判定直线是否在平面内的依据;③也可用于验证一个面是否是平面。平面的基本性质2.证明两平面重合;平面的基本性质3的作用有五个:①判定两个平面相交;②证明点在直线上; ③证明三点共线;④证明三线共点;⑤画两个相交平面的交线.

2.注意事项(1)应用性质2时,要注意条件“三个不共线的点”.事实上,共线的三点是不能确定一个平面的.(2)在立体几何中,符号“∈”与“⊂”的用法与读法不要混淆.(3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间的相互转化.(4)在平面几何中,往往把辅助线画成虚线,而在立体几何中则不然,凡是被平面遮住的线都要画成虚线,凡是没被遮住的线都要画成实线,无论是图中固有的线还是后作的辅助线。 三、典例剖析 1.公理1的应用

公理1是证明直线在平面内的依据,证明时只需证明直线上有两个点在平面内。

例1、如图,▲ABC 中,若AB ,BC 在平面α内,判断AC 是否在平面α内?为什么? 解:由AB 、BC 在平面α内,得αα∈∈C A ,,根据公理1,得AC 在平面α内。

2.公理2的应用

证明共面问题。证明时一般有两种途径:一是先证其中部分元素可以确定一个平面,

再证其余元素在这个平面内;二是先证这些元素分别确定若干个平面,再利用唯一性证明这些平面重合。

例2、已知四条直线a ,b ,c ,d 两两相交且不共点, 求证:a ,b ,c ,d 四线共面。

证明:(1)无三线共点情况,由于a ,c ,c ,d 两两相交,知a ,b 可确定一平面α,设 c 与a ,b 分别交于A ,B 两点,因为αα⊂⊂b a ,,b B a A ∈∈,,则αα∈∈C A ,, 所以α⊂c ,同理可证α⊂d ,所以a ,b ,c ,d 四线共面。

(2)三线共点情况,设a , b ,c 三线相交于点H ,d 与a ,b ,c 分别交于E ,F ,G 三点,因为a ,c ,c ,d 两两相交且不共点,所以d H ∉,所以点H 与直线d 可确定一平面β,

由d E ∈,得β∈E ,又由β∈H ,β∈E 得β⊂a ,同理可证β⊂b ,β⊂c ,所以a ,b ,c ,c 四线共面。

3.公理3的应用

1、作两个平面的交线,解题时只要找出两个平面的两个公共点,再连结这两个点即可。

2、证明多点共线,可先证明这些点是两个平面的公共点,再利用两个平面交线的唯一 性说明这些公共点共线。

例3、已知M 、N 、P 、Q 分别是正方体1111D C B A ABCD -中棱AB 、BC 、C C D C 111、的中点,证明:M 、N 、P 、Q 四点共面。

解:如图,连结MN 并延长交DC 延长线于O ,

则OCN MBN ∆≅∆,所以CO =MB ,连结PQ 并延长交DC 延长线于1O ,则CQ O Q PC 11∆≅∆,所以

11PC CO =,又因为1CO CO =,所以O 与1O 重合,所以PQ 、MN 相交于一点,

所以M 、N 、P 、Q 四点共面。

四、达标测试题

1.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行, 则这三个平面把空间分成( ) A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分

2已知直线l ,若直线m 同时满足以下三个条件:m 与l 是异面直线;m 与l 的夹角为定值π

3;m 与l 的距离

为π.那么,这样的直线m 的条数为( ) A .0 B .2 C .4

D .无穷多个

2.D 解析:作一个与l 平行且距离为π的平面α,在α内作一条直线m 与l 的夹角为π

3,则α上与m 平

行的直线均同时满足三个条件.故选D.

【失分点分析】本题借助于异面直线的夹角、距离等概念考查空间想象能力.在空间中,当两条异面直线确定之后,它们之间的夹角与距离也就唯一确定了,此题目实质上是该结论的反面.

3已知a 、b 、c 、d 是四条直线,如果a ⊥c ,a ⊥d ,b ⊥c ,b ⊥d ,则结论“a ∥b ”与“c ∥d ”中成立的情况是( )

A .一定同时成立

B .至多一个成立

C .至少一个成立

D .可能同时不成立

3.C 解析:若c 与d 相交或异面,则a ∥b ,若c ∥d ,则a 与b 可能平行、相交或异面,故a ∥b 与c ∥d 中至少有一个成立.

4正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )

A.15

B.25

C.35

D.45

5如图,α∩β=l , A 、B ∈α,C ∈β,C ∉l ,直线AB ∩l =M ,过A 、B 、C 三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )

A .点A

B .点B

C .点C 但不过点M

D .点C 和点M

5.D 解析:通过A 、B 、C 三点的平面γ,即是通过直线AB 与点C 的平面,M ∈AB .∴M ∈γ,而C ∈γ,又∵

M ∈β,C ∈β.∴γ和β的交线必通过点C 和点M .

6在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,面对角线与AD 1成60°的角的有( ) A .10条 B .8条 C .6条

D .4条

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