空间点、直线、平面之间的位置关系》(第1课时)

2．能确定一个平面的条件是
()
A．空间三个点
B．一个点和一条直线
C．无数个点
D．两条相交直线
解析：不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A、B、
C 条Leabharlann Baidu不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．
答案：D
知识点二 与平面有关的基本事实及推论 (一)教材梳理填空 1．与平面有关的三个基本事实
基本 事实
[证明] 如图所示，连接 C1B，GF，HE， ∵HC1∥EB，且 HC1＝EB， ∴四边形 HC1BE 是平行四边形， ∴HE∥C1B. 又 C1G＝GC，CF＝BF，∴GF∥C1B，且 GF＝12C1B. ∴GF∥HE，且 GF≠HE，∴HG 与 EF 相交．设交点为 K， ∵K∈HG，HG⊂平面 D1C1CD，∴K∈平面 D1C1CD. ∵K∈EF，EF⊂平面 ABCD，∴K∈平面 ABCD， ∴K∈(平面 D1C1CD∩平面 ABCD＝DC)， ∴EF，HG，DC 三线共点．
以确定一个平面，故 C 正确；两个平面如果相交，一定有一
条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故 D 不
正确．故选 C. 答案：C
3．如果空间四点 A，B，C，D 不共面，那么下列判断中正确
的是
()
A．A，B，C，D 四点中必有三点共线
B．A，B，C，D 四点中不存在三点共线
C．直线 AB 与 CD 相交
法二：同一法 ∵l1∩l2＝A，∴l1，l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3 确定一个平面 β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β.∴A∈β. 同理可证 B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点 A、B、C 既在平面 α 内，又在平面 β 内． ∴平面 α 和 β 重合，即直线 l1、l2、l3 在同一平面内．
__α_∩__β_＝__l ___
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)一个平面的面积是 16 cm2.
()
(2)一个平行四边形就是一个平面．
()
(3)已知 α，β 为平面，l 为直线，若 α∩β＝l，则 l⊂α.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形． ( ) (2)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内．( ) 答案：(1)× (2)√
8．4 空间点、直线、平面之间的位置关系 8．4.1 平 面
1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系. 2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实.3.会用符号表示点、 直线、平面之间的位置关系.
知识点一 平面的画法及点、线、面位置关系的表示 (一)教材梳理填空 1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水 面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是向四周 无限延展 的．
点，那么它们有且 只有一条 过该点的
公共直线
图形
符号 作用
__A_∈__l _， _B_∈__l__， 且 A∈α， _B_∈_α___⇒ l⊂α
用来证 明直线 在平面 内
_P_∈__α_，且 _P_∈__β_⇒ α∩β＝l， 且 P∈l
用来证 明空间 的点共 线和线 共点
2．三个推论
推论
内容
经过一条直线和这条直线 推论 1
[易错矫正] (1)解答本题易出现的失误为思维混乱，理不 清证明的思路，也就不能正确地应用基本事实 3 证明点在第三 条直线上．
(2)本题证明的关键是证明点在第三条直线上，只需证明这 个点是确定这条直线的两个相交平面的公共点．
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外一点，有且只有一个平面
经过两条相交直线，有且只 推论 2
有一个平面
经过两条平行直线，有且只 推论 3
有一个平面
图形
作用
确定平 面的依
据
题型一 图形语言、文字语言、符号语言的相互转换 [学透用活]
[典例 1] 用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 a 与 α，β 分别相交于点 A，B. (2)点 A，B 在平面 α 内，直线 a 与平面 α 交于点 C，点 C 不在直线 AB 上．
证明：如图所示．∵a∥b，∴过 a，b 有且只有 一个平面 α.设 a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B ∈α，且 A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过 a，b，l 有且 只有一个平面．
题型三 点共线、线共点问题 [ 学透用活]
[ 典例 3] 如图所示，已知 E，F，G，H 分别是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 AB，BC，CC1，C1D1 的中点．求证： FE，HG，DC 三线共点．
[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图． (2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．
[方法技巧] 三种语言相互转换的注意点
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察 图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着 用文字语言表示，再用符号语言表示．
在平面 α 内，表示为 A∈a，a⊂α，B∈α. 答案：B
2．下列说法中正确的是
()
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D解．析两：个不不共同线平的面三α点和确β定有一不个在平同面一，条故直A线不上正的确三；个四公边共形点有
时指空间四边形，故 B 不正确；梯形的上底和下底平行，可
2．平面的画法与表示 (1)平面的画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形来表示平面 画法 当平面水平放置时，常把平 当平面竖直放置时，常把平
行四边形的一边画成 横向 行四边形的一边画成竖向
图示
(2)平面的表示方法 ①用希腊字母 α，β，γ 等表示平面，如平面 α、平面 β、平 面 γ 等． ②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表 示，如平面 ABCD. ③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文 字母表示，如平面 AC，平面 BD.
[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1．如果点 A 在直线 a 上，而直线 a 在平面 α 内，点 B 在平面
α 内，则可以表示为
()
A．A⊂a，a⊂α，B∈α
B．A∈a，a⊂α，B∈α
C．A⊂a，a∈α，B⊂α
D．A∈a，a∈α，B∈α
解析：点 A 在直线 a 上，而直线 a 在平面 α 内，点 B
()
题型二 点、线共面问题 [学透用活]
[典例 2] 如图所示，已知 l1∩l2＝A，l2∩l3 ＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线 l1，l2，l3 在同一平面内． [证明] 法一：纳入法 ∵l1∩l2＝A，∴l1 和 l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2，又∵l2⊂α，∴B∈α. 同理可证 C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线 l1，l2，l3 在同一平面内．
D．直线 AB 与 CD 平行 解析：两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点
都分别确定一个平面．
答案：B
4．用符号表示“点 A 在直线 l 上，l 在平面 α 外”为________． 答案：A∈l，l⊄α
二、创新应用题
5．已知空间三条直线两两相交，点 P 不在这三条直线上，则
由点 P 和这三条直线最多可以确定的平面个数为________． 解析：当三条直线共点但不共面相交时，这三条直线可以
内容
过 不在一条 基本 直线上 的三
事实 1 个点，有且只
有一个平面
图形
符号
作用
A，B，C 三点 用来确
不共线⇒存在 定一个
唯一的 α 使 A， 平面
B，C∈α
基本事 实
内容
如果一条直线上的 基本事 两个点 在一个平面
实 2 内，那么这条直线 在这个平面内
如果两个不重合的
基本事 平面有一个公共
实3
[方法技巧] 点共线与线共点的证明方法
(1)点共线：证明多点共线通常利用基本事实 3，即两相交 平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在 相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证 明其他点也在其上．
(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过 其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在 此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交 线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从 而得三线共点．
[方法技巧] 证明多线共面的两种常用方法
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线 在这个平面内．
(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一 些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所 有元素在同一个平面内．
[对点练清] 已知直线 a∥b，直线 l 与 a，b 都相交，求证：过 a，b，l 有且 只有一个平面．
确定三个平面，而点 P 与三条直线又可以确定三个平面，
故最多可以确定六个平面． 答案：6
三、易错防范题 6.三个平面两两相交得到三条交线，如果其中
的两条相交于一点，那么第三条也经过这个点． 已知：如图所示，平面 α、β、γ 满足 α∩β＝a， β∩γ＝b，γ∩α＝c，a∩b＝A. 求证证明：：A∵∈a∩c. b＝A，∴A∈a，A∈b， 又 α∩β＝a，β∩γ＝b，∴a⊂α，b⊂γ，∴A∈α，A∈γ. 而 α∩γ＝c，∴A∈c.
3．点、直线、平面之间的基本位置的符号表示
文字语言 点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面α内 点A在平面α外 直线l在平面α内 直线l在平面α外 平面α，β相交于l
符号语言 __A_∈__l_ __A_∉_l__ _A__∈__α__ __A_∉_α___ __l_⊂_α____ __l⊄_α___
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线 和虚线的区别．
[ 对点练清]
1．若点 A 在直线 b 上，b 在平面 β 内，则点 A，直线 b，平面
β 之间的关系可以记作
()
A．A∈b∈β
B．A∈b⊂β
C．A⊂b⊂β
D．A⊂b∈β
答案：B
2．如图所示，用符号语言可表述为 A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 答案：A