民主的博弈论：阿罗不可能定理

民主的博弈论：阿罗不可能定理
五四以来，民主与科学一同成为中国人孜孜以求的理想目标。

民主一词源于古希腊的“demos”，原意为人民。

其本意是：在民主制度下，公民拥有超越立法者和政府的最高主权。

而在中国民主观念被简单化、理想化，似乎全民投票就代表了主。

的确，在许多中国人观念里面，民主就是一种投票制度。

然而，我们知道，投票制度采用不同的方法会得到不同结论。

而且，任何一种方法都有操纵选票的策略。

投票制度本身就充斥着内在的矛盾。

实际上，以代议制投票为核心的民主，并不是真正的民主，而是一种具有内在的不可调和的假民主。

通过投票方式，欺骗者可以制造一种虚幻的公平与民意氛围，以此实现他的权力意志或达到其它目的。

比如印度、南美、东南亚一些国家的民选政治的结果往往是只能产生无能、低效和腐败的政府。

对于这种问题，斯坦福大学教授肯尼思•阿罗(K•Arrow) 采用数学的公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产
生出合乎大多数人意愿的领导者或者用专业术语说“将每
个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”进行
了研究，在《社会选择与个人价值》中，他总结出著名的阿罗不可能定理。

事实上，阿罗本身也是以一种绝对理想的假设状态下的“理想选举”来对这个问题进行研究的。

因此，这个结论实际上意味着：即便在绝对理想状态即每个社会成员的偏好是明确和相对稳定（不受宣传等因素的严重干扰）、没有种种的具体社会政治生活中的消极因素（通过种种宣传工具对对手的诋毁、以经济等手段迫使投票人违背自己的意愿作出选择等等）等的绝对理想情况下，一种能够通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策的方法也是不可能存在的。

人类所能想出的任何办法，都注定无法依赖票选民主的手段达到实质民主的目的。

因为问题就出在选举本身。

阿罗理想选举的第一步是，投票者不能受到特定的外力压迫、挟制，并有着正常智力和理性。

毫无疑问，对投票者的这些要求一点都不过分。

坦白地说，如果一个投票者连这些基本要求都无法满足，那么他要么根本就不是投票而是去捣乱的，要么———精神病院会是更适合他的场所。

阿罗理想选举的第二步是，将选举视为一种规则，它能够将个体表达的偏好次序综合成整个群体的偏好次序，同时满足“阿罗定理”的要求。

所谓“阿罗定理”也就是：
1．所有投票人就备选方案所想到的任何一种次序关系都是实际可能的。

也就是说：每个投票者都是自由的，他们完全可以依据自己的意愿独立的投出自己的选票而不致因
此遭遇种种迫害。

2．对任意一对备选方案A或B，如果对于任何投票人都有A优于B，根据选举规则就应该确定A方案被选中；而且只有所有投票人都有A与B方案等价时，根据选举规则得到的最后结果才能取等号。

这其实也就是说：全体选民的一致愿望必须得到尊重。

但是一旦出现A与B方案等价的情况就意味着可能投票出现了问题。

比如两个方案A、B受两个投票人C、D的选择。

对C来说，A方案固然更好，但B方案也没什么重大损失；但是对D来说，却是A方案就是生存B方案就是死亡，那么让C和D两个人各自“一人一票”当然就绝非是公正平等的。

在几乎所有的私企之中，我们都能见到类似的状况。

3．对任意一对备选方案A、B，如果在某次投票的结果中有A优于B ，那么在另一次投票中，如果在每位投票人排序中x的位置保持不变或提前，则根据同样的选举规则得到的最终结果也应包括A优于B。

这也就是说：如果所有选民对某位候选人的喜欢程度，相对于其他候选人来说没有排序的降低，那么该候选人在选举结果中的位置不会变化。

这是对选举公正性的一个基本保证。

比如，当一位家庭主妇来决定午餐应该买物美价廉的好猪肉还是质次价高的陈猪肉来吃时，我们很清楚：她对好猪肉和注水肉的“喜爱程度”应该不可能发生什么变化———然而这一次她却买了陈猪肉。

这一定说明在主妇对猪肉的这次“选举”中有什么不良因素的介入。

当然，如果原因其实是市场上已经百分之百都是陈猪肉，那也就意味着“选举”已经不复存在，主妇已经被陈猪肉给“专制”了。

那不在我们的讨论范围之内。

4．如果在两次投票过程中，备选方案集合的子集中各元素的排序没有改变，那么在这两次选举的最终结果中，该子集内各元素的排列次序同样没有变化。

这也就是说：
现在，那个买猪肉的主妇要为自己家的午餐主食作出选择，有三位“候选人”分别是一元钱一斤的好面粉、一元钱一斤的霉面粉和一元钱一斤的生石灰。

主妇的选择排序不说也罢，一清二楚。

然而现在的情况却是：在生石灰先生出局之后，主妇居然选择了霉面粉！这一定意味着有这次“选举”之外的因素强力介入。

比如主妇的单位领导是这家霉面粉厂家老板的姐夫之类，所以为了照顾小舅子就强制要求属下员工必须每月购买200斤“指定产品”的霉面粉，不然就不发工资，还给“穿
小鞋”、“揪小辫子”。

阿罗定理3和4的结合也就意味着：候选人的选举成绩，只取决于选民对他们作出的独立和不受干预的评价。

5．不存在这样的投票人，使得对于任意一对备选方案A、B，只要该投票人在选举中确定A优于B，选举规则就确定A优于B。

这也就是说：任何投票者都不能够凭借个人的意愿，就可以决定选举的最后结果。

这五条法则无疑是一次公平合理的选举的最基本的要求。

然而，阿罗发现：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗定理的选举规则。

也即“阿罗不可能定理”。

这其实也就是说：即便在选民都有着明确、不受外部干预和已知的偏好，以及不存在种种现实政治中负面因素的绝对理想状况下，也同样不可能通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。

人们所追求和期待的那种符合阿罗定理五条要求的最
起码的公平合理的选举居然是不可能存在的。

这无疑是对票选制度的一记最根本的打击。

更通俗的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗定理的选举规
则。

或者这也可以说是：随着候选人和选民的增加，“形式的民主”必将越来越远离“实质的民主”。

西方哲学大师苏格拉底之死，是对阿罗不可能定理一个绝佳的证明。

口若悬河的大哲学家苏格拉底，是一个在西方文化中不亚于孔圣人的天才人物。

苏格拉底因言出名，也因言获罪。

据史书记载，获罪的苏格拉底面对着公民大会的判决。

此次公民大会也经历了初审和复审，初审中五百个公民进行了投票，结果是280票对220票判处苏格拉底有罪。

复审是决定苏氏是否该判死刑，复审之前，苏氏有为自己脱罪的辩护权利，希腊民众不仅没有被苏格拉底的口才所征服，反而被激怒，结果是以360：140票判处苏格拉底死罪。

这就是希腊的民主。

这种民主，被认为比现代西方民主更为先进的民主形式。

但是，这种先进的民主，仍然从肉体上，把一个对人类社会作出巨大贡献的巨人碾作了尘土。

“人是不可靠的”这句话，在这里又有了新的注解。

不仅处于权力巅峰上的当权者有可能是不可靠的，监督群体的“人”，同样也可能是不可靠的。

因此，不断改进整个监督机制，使得一切不可靠因素处于制约与平衡的系统之中，一种权力的恶性扩展和群体的疯狂行为，才可能被抑制，在整个社会处于最弱势的个人的自由，才可能不被吞没。