1.2 集合间的基本关系
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(3) 4 ______{1, 2, 3}
总结 对于集合的表示，到现在我们已经学习了几种方法?
你能说出各自 的优缺点吗？
思考
你能举出几个具有包含关系、相等关 系的集合吗？
与实数中的结论“若a≥b,且b≥a,则 a=b”相类比，你有什么体会？
定义
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素, 同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A 与集合B相等，记作A=B。也就是说，
巩固
例1 试着写出｛a,b｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
练习题：已知集合A={a，b，c}
（1）写出与集合A相等的集合 （2）写出集合A的所有子集 （3）写出集合A的所有真子集和非空真子集
解（1） {a，c, b}、{b，c，a}、{b，a，c}、{c，a，b}、{c，b，a} （2） Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、 {b，c}、{a，b，c} （3）真子集： Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、 {b，c}
定义
一般地，我们把不含有任何元素的集
合叫做空集（empty set）,记作 ，
并规定：空集是任何集合的子集.
辨析
包含关系｛a｝ A 与属于关系 a A
有什么区别？请结合实例作出解释.
总结
你能理解以下结论吗？
（1）任何一个集合是它本身的子集，即 A A ； （2）对于集合A,B,C，如果A B, 且B C,那么A C.
定义
一般地，对于两个集合A,B，如果集合 A中任意一个元素都是集 合B的元素，就称集合A是集合B的子集（subset）,
记作
A B(或B A)，
读作“A包含于B”（或“B包含A”）.
wk.baidu.com
集合的图像表示
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，
这种图称为Venn图. 如图，表示 A B(或B A)，
∵B＝{x|x2－2ax＋b＝0}⊆A＝{－1,1}，且 B≠Ø，
∴B＝{－1}或 B＝{1}或 B＝{－1,1}．
当 B＝{－1}时， Δ＝4a2－4b＝0 且 1＋2a＋b＝0，解得 a＝－1，b＝1. 当 B＝{1}时， Δ＝4a2－4b＝0 且 1－2a＋b＝0，解得 a＝b＝1.
当 B＝{－1,1}时， 有(－1)＋1＝2a，(－1)×1＝b，解得 a＝0，b＝－1.
非空真子集：{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、 {b，c}
完成下表：
集合
集合元素 集合子集 集合真子
个数
个数 集个数
0
1
0
｛a｝
1
2
1
｛a,b｝
2
4
3
｛a,b,c｝
3
8
7
｛a,b,c,d｝
4
16
15
…
…
…
{a1 , a2 , ,an } n 个元素
2n
2n-1
巩固
例2 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由. （1）A={1,2,3},B={x|x是8的约数}； （2）A=｛x|x是长方形｝，B=｛x|x是两条对角线相等的四边 形｝.
若A B, 且B A，则A B
定义
如果集合 A B ，但存在元素 x B, 且x A ，就称集
合A是集合B的真子集(proper subset),记作
A B(或B A)，
读作“A真包含于B”(或“B真包含A”）.
AB
文字语言
若集合A是集合B的子集，且集合B中至少还有一个元
素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集.
1.2集合间的基本关系
第一章 集合与常用逻辑用语
类比实数的学习，我们知 道两个实数之间有相等关系、 不等关系。那么两个集合之间 又有怎样的关系呢？
观察
观察下面几个例子，你能发现下面两个集合间的关系吗？
（1）A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5,}; （2）C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全 体学生组成的集合； （3）E=｛x|x是有两条边相等的三角性｝，F={x|x是等腰三角形}
数学语言 若集合 A B，但存在元素x∈B,且xA,我们把集合叫 做集合B的真子集记做：A B（或B A）.
图形语言 （Ｖeen图）
BA 可以联想数与数之间的“<”
思考
我们知道，方程x2+1=0没有实数根， 所以方程x2+1=0的实数根组成的集合 中没有元素.
那么这样的研究对象能用集合表示吗？ 又应该怎么表示？
解：∵x∈Z，且－1≤x＜3，∴x取值为－1，0，1，2 ∴M＝{－1，0，1，2}． 又∵y∈M，∴|y|值分别是0，1，2. ∴N＝{0，1，2}． ∴N M
练习题：若集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>a}，满足A B，
B 则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
74．设集合 A＝{－1,1}，集合 B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，
若. B≠Ø 且 B⊆A，求实数 a、b 的值．
[解析] ∵B 中元素是关于 x 的方程 x2－2ax＋b＝0 的根， 且 B⊆{－1,1}，
∴关于 x 的方程 x2－2ax＋b＝0 的根只能是－1 或 1， 但要注意方程有两个相等根的条件是 Δ＝0.
四、归纳小结
通过本节课的学习,我们主要应理解好子集、真子集、集合 相等的定义，弄清子集与真子集的区别.
注意: (1) 空集是任何集合的子集；空集是任何非空
集合的真子集；任何一个集合是它本身的子集.
练习题：集合M＝{x∈Z|－1≤x<3}，N＝{x|x＝|y|，y∈M}， 试判断集合M，N的关系．
解析：如图所示，A B，所以a≤1.
四、练习巩固
3、已知A={x|x<-1或x>5}，B={x| a<x<a+4}，若
，
则实数a的取值范围是_______________.
{a|a≤-5或a≥5}
2、设集合 A={x|x2-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，若
,
求实数 a 的值组成的集合.
B
A
子集
文字 语言
一般地，对于集合A、B,如果集合A 中的任何一个元素都是
集合B的元素,称集合A为集合B的子集,记作 A B（或B
A）,读做“A包含于B”（或“B包含A”）
数学 语言
图形语言 （文氏图）
BA
子集
思考：请用正确的符号填空（，， ）
(1) {1} _____{1, 2, 3}
(2) 1 ______{1, 2, 3}
总结 对于集合的表示，到现在我们已经学习了几种方法?
你能说出各自 的优缺点吗？
思考
你能举出几个具有包含关系、相等关 系的集合吗？
与实数中的结论“若a≥b,且b≥a,则 a=b”相类比，你有什么体会？
定义
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素, 同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A 与集合B相等，记作A=B。也就是说，
巩固
例1 试着写出｛a,b｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
练习题：已知集合A={a，b，c}
（1）写出与集合A相等的集合 （2）写出集合A的所有子集 （3）写出集合A的所有真子集和非空真子集
解（1） {a，c, b}、{b，c，a}、{b，a，c}、{c，a，b}、{c，b，a} （2） Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、 {b，c}、{a，b，c} （3）真子集： Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、 {b，c}
定义
一般地，我们把不含有任何元素的集
合叫做空集（empty set）,记作 ，
并规定：空集是任何集合的子集.
辨析
包含关系｛a｝ A 与属于关系 a A
有什么区别？请结合实例作出解释.
总结
你能理解以下结论吗？
（1）任何一个集合是它本身的子集，即 A A ； （2）对于集合A,B,C，如果A B, 且B C,那么A C.
定义
一般地，对于两个集合A,B，如果集合 A中任意一个元素都是集 合B的元素，就称集合A是集合B的子集（subset）,
记作
A B(或B A)，
读作“A包含于B”（或“B包含A”）.
wk.baidu.com
集合的图像表示
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，
这种图称为Venn图. 如图，表示 A B(或B A)，
∵B＝{x|x2－2ax＋b＝0}⊆A＝{－1,1}，且 B≠Ø，
∴B＝{－1}或 B＝{1}或 B＝{－1,1}．
当 B＝{－1}时， Δ＝4a2－4b＝0 且 1＋2a＋b＝0，解得 a＝－1，b＝1. 当 B＝{1}时， Δ＝4a2－4b＝0 且 1－2a＋b＝0，解得 a＝b＝1.
当 B＝{－1,1}时， 有(－1)＋1＝2a，(－1)×1＝b，解得 a＝0，b＝－1.
非空真子集：{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、 {b，c}
完成下表：
集合
集合元素 集合子集 集合真子
个数
个数 集个数
0
1
0
｛a｝
1
2
1
｛a,b｝
2
4
3
｛a,b,c｝
3
8
7
｛a,b,c,d｝
4
16
15
…
…
…
{a1 , a2 , ,an } n 个元素
2n
2n-1
巩固
例2 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由. （1）A={1,2,3},B={x|x是8的约数}； （2）A=｛x|x是长方形｝，B=｛x|x是两条对角线相等的四边 形｝.
若A B, 且B A，则A B
定义
如果集合 A B ，但存在元素 x B, 且x A ，就称集
合A是集合B的真子集(proper subset),记作
A B(或B A)，
读作“A真包含于B”(或“B真包含A”）.
AB
文字语言
若集合A是集合B的子集，且集合B中至少还有一个元
素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集.
1.2集合间的基本关系
第一章 集合与常用逻辑用语
类比实数的学习，我们知 道两个实数之间有相等关系、 不等关系。那么两个集合之间 又有怎样的关系呢？
观察
观察下面几个例子，你能发现下面两个集合间的关系吗？
（1）A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5,}; （2）C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全 体学生组成的集合； （3）E=｛x|x是有两条边相等的三角性｝，F={x|x是等腰三角形}
数学语言 若集合 A B，但存在元素x∈B,且xA,我们把集合叫 做集合B的真子集记做：A B（或B A）.
图形语言 （Ｖeen图）
BA 可以联想数与数之间的“<”
思考
我们知道，方程x2+1=0没有实数根， 所以方程x2+1=0的实数根组成的集合 中没有元素.
那么这样的研究对象能用集合表示吗？ 又应该怎么表示？
解：∵x∈Z，且－1≤x＜3，∴x取值为－1，0，1，2 ∴M＝{－1，0，1，2}． 又∵y∈M，∴|y|值分别是0，1，2. ∴N＝{0，1，2}． ∴N M
练习题：若集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>a}，满足A B，
B 则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
74．设集合 A＝{－1,1}，集合 B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，
若. B≠Ø 且 B⊆A，求实数 a、b 的值．
[解析] ∵B 中元素是关于 x 的方程 x2－2ax＋b＝0 的根， 且 B⊆{－1,1}，
∴关于 x 的方程 x2－2ax＋b＝0 的根只能是－1 或 1， 但要注意方程有两个相等根的条件是 Δ＝0.
四、归纳小结
通过本节课的学习,我们主要应理解好子集、真子集、集合 相等的定义，弄清子集与真子集的区别.
注意: (1) 空集是任何集合的子集；空集是任何非空
集合的真子集；任何一个集合是它本身的子集.
练习题：集合M＝{x∈Z|－1≤x<3}，N＝{x|x＝|y|，y∈M}， 试判断集合M，N的关系．
解析：如图所示，A B，所以a≤1.
四、练习巩固
3、已知A={x|x<-1或x>5}，B={x| a<x<a+4}，若
，
则实数a的取值范围是_______________.
{a|a≤-5或a≥5}
2、设集合 A={x|x2-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，若
,
求实数 a 的值组成的集合.
B
A
子集
文字 语言
一般地，对于集合A、B,如果集合A 中的任何一个元素都是
集合B的元素,称集合A为集合B的子集,记作 A B（或B
A）,读做“A包含于B”（或“B包含A”）
数学 语言
图形语言 （文氏图）
BA
子集
思考：请用正确的符号填空（，， ）
(1) {1} _____{1, 2, 3}
(2) 1 ______{1, 2, 3}