河南省郑州市外国语中学高三数学理模拟试卷含解析

河南省郑州市外国语中学高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的
正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）
A．1 B． C ．D．
参考答案：
D
略
2. 函数是
A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数
参考答案：
A
=,
3. 已知f（x）=|xe x|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t 的取值范围是（）
A．B．C．D．参考答案：
B
【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．
【分析】令y=xe x，则y'=（1+x）e x，求出极值点，判断函数的单调性，作出y=xe x图象，利用图象变换得f（x）=|xe x|图象，令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m2﹣tm+1=0两根分别在
，满足g（x）=﹣1的x有4个，列出不等式求解即可．
【解答】解：令y=xe x，则y'=（1+x）e x，由y'=0，得x=﹣1，
当x∈（﹣∞，﹣1）时，y'＜0，函数y单调递减，
当x∈（﹣1，+∞）时，y'＞0，函
数y单调递增．作出y=xe x图象，
利用图象变换得f（x）=|xe x|图象（如图10），
令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m2﹣tm+1=0
两根分别在时（如图11），
满足g（x）=﹣1的x有4个，由，
解得．
故选：B．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的图象的变换，函数零点个数，考查函数与方程的综合应用，数形结合思想以及转化思想的应用．
4. 设复数，，则在复平面内对应的点在（）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限
参考答案：
A
5. 如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的正视图，左视图，俯视图依次是（用①②③④⑤⑥代表图形）（）
A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥
D．③④⑤
参考答案：
【知识点】简单空间图形的三视图．G2
B解析：由已知中四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点，
可得：四面体ABCD的正视图为①，
四面体ABCD的左视图为③，
四面体ABCD的俯视图为②，
故四面体ABCD的三视图是①②③，
故选：B
【思路点拨】由已知中的四面体ABCD的直观图，分析出四面体ABCD的三视图的形状，可得答案．6. 设数列的前项和为，若构成等差数列，且，则（）
A．－64 B．－32 C. 16 D．64
参考答案：
A
7. 已知点A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为a，若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）A．2 B．2C．D．
参考答案：
C
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】转化思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF 的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得a，求得C到直线OA 的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值．
【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，4），半径为a，
|AC|+|AF|=2a，
由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，
由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，
可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，
由C（0，4），F（，0），可得A（，2），
代入抛物线的方程可得，4=2p?，解得p=2，
即有a=+=，A（，2），
可得C到直线OA：y=2x的距离为d==，
可得直线OA被圆C所截得的弦长为2=．
故选：C．
【点评】本题考查圆的弦长的求法，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．
8. 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则=（）A．（2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）
参考答案：
D
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】根据题意，画出图形，结合图形以及平行四边形中的向量相等关系，求出．
【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示； ∵平行四边形ABCD 中， =（2，4），
=（1，3），
∴=﹣=（﹣1，﹣1）， ∴
=
+
=
+
=
﹣
=（﹣3，﹣5）．
故选：D ．
9. 如果一个正方体的体积在数值上等于V ，表面积在数值上等于S ，且V -S -m ≥0恒成立，则实数m 的范围是
（A ）(-∞,-16] （B ）(-∞,-32] （C ）[-32,-16] （D ）以上答案都不对
参考答案：
B
10. 已知函数f(x)= ，若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为
( )
A. (一∞,e]
B. [0,e]
C. (一∞,e)
D. [0,e)
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定义在R 上的奇函数
满足
则
= ▲ ．
参考答案：
【答案解析】-2解析：解：由条件
，又因为函数为奇函
数，所以
=-2
【思路点拨】由条件可知函数的周期为3，再根据奇函数的性质可知结果.
12. 如图，两个等圆⊙与⊙
外切，过作⊙
的两条切线
是切点，点
在圆
上
且不与点
重合，则
= .
参考答案：
略
13. 实数x ，y 满足条件
，则的最大值为 ．
参考答案：
略
14. 抛物线 M ：y 2
=2px （p ＞0）与椭圆
有相同的焦点F ，抛物线M 与 椭圆N
交于A ，B ，若F ，A ，B 共线，则椭圆N 的离心率等于 ．
参考答案：
﹣1
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可知：AF⊥x 轴， =c ，代入抛物线方程即可求得A 点坐标，代入椭圆方程，利用离
心率公式即可求得椭圆N 的离心率． 【解答】解：如图所示由F ，A ，B 共线，
则AF⊥x轴，
由抛物线 M：y2=2px（p＞0）与椭圆有相同的焦点F，
∴=c，
把x=，代入抛物线方程可得：y2=2p?，解得：y=p．
∴A（，p），即A（c，2c）．
代入椭圆的方程可得：，
又b2=a2﹣c2，
∴，由椭圆的离心率e=，
整理得：e4﹣6e2+1=0，0＜e＜1．
解得：e2=3﹣2，
∴e=﹣1，
故答案为：﹣1．
15. 已知函数f(x)=x3－2x+e x－，其中e是自然数对数的底数，若f(a－1)+f(2a2)≤0，则实数a的取值
范围是.
参考答案：
[－1，]因为，所以函数是奇函数，
因为，所以数在上单调递增，
又，即，所以，即，
解得，故实数的取值范围为.
16. 在的展开式中，的系数为
参考答案：
答案：
解析：
所以的系数为
17. 已知函数定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：
①当时，②函数有2个零点
③的解集为④，都有
其中正确的命题是
参考答案：
③④
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （2016郑州一测）已知等差数列满足：，前4项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
参考答案：
⑴由已知条件，解得．
∴．
（2）由⑴可得，
∴．
19. （本小题满分12分）
已知函数，其最小正周期为
（I）求的表达式；
（II）将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍
（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围.
参考答案：
解：（I）
……………3分
由题意知的最小正周期，
所以……………………………………………………………………5分
所以…………………………………………………6分（Ⅱ）将的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象.
所以 (9)
分
因为,所以.
在区间上有且只有一个实数解，即函数与在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知或
所以或. …………………………12分
略
20. 已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且=m，求证：a+2b+3c≥9．
参考答案：
【考点】带绝对值的函数；不等式的证明．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）由条件可得 f（x+2）=m﹣|x|，故有m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．
（Ⅱ）根据a+2b+3c=（a+2b+3c）（）=1++++1++++1，利用基本不等式证明它大于或等于9．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，故 f（x+2）=m﹣|x|，由题意可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，
即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．
（Ⅱ）由a，b，c∈R，且=1，
∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（）
=1++++1++++1
=3++++++≥3+6=9，当且仅当======1时，等号成立．
所以a+2b+3c≥9
【点评】本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．21. （本小题满分10分）如图所示，是圆O的内接三角形，AC=BC，D为弧AB上任一点，延长DA至点E，使CE=CD．
(I)求证：BD=AE
(Ⅱ)若，求证：．
参考答案：
22. （本小题12分）已知定义在上的函数(其中).（Ⅰ）解关于的不等式;
（Ⅱ）若不等式对任意恒成立,求的取值范围.
参考答案：
（Ⅰ）当时，，原不等式的解集为；
当时，，原不等式的解集为；
当时，，原不等式的解集为.
（Ⅱ）.
（Ⅰ），
而，等价于，于是
当时，，原不等式的解集为；………………………2分
当时，，原不等式的解集为；………………………4分
当时，，原不等式的解集为………………………6分
（Ⅱ）不等式，即恒成立………………………………8分
又当时，=(当且仅当时取“=”号)……10分
………………………………………………………… 12分。