天津市红桥区高三数学一模试题 理(扫描版)

天津市红桥区2015届高三数学一模试题理（扫描版）
高
三数学（理）（2015、04）
一、选择题：每小题5分，共40分
二、填空题：每小题5分，共30分．
三、解答题：共6小题，共80分． （15）（本小题满分13分）
已知函数2
()sin 22sin 1f x x x ωω=-+．（0ω>）的最小正周期为4π，
（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；
（Ⅱ）将函数()y
f x =的图象上各点的横坐标向右平行移动π
4个单位长度，纵坐标不变，得
到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在π7π,44⎡⎤
⎢⎥
⎣
⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）
()sin 2cos 224f x x x x πωωω⎛
⎫=+=+ ⎪
⎝⎭，---------------------------4分 （说明：两个公式，各占2分） 因为2π4π2T ω==，所以
14ω=
；1
()2
4f x x π⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭.-----------------------------6分 （说明：公式1
分，结论1分）
当
13222242k x k π
ππ
ππ+
++≤≤，k Z *∈，函数()f x 单调递减，------------7分
所以，函数()f x 的单调递减区间为54,42
2k k ππππ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦k Z *∈.----------------------8分
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标向右平行移动π
4个单位长度，，纵坐标不变，得到函数()y g x =
的图象，1()sin()28g x x π
=+，------------------------------------------10分 ()g x 在π3π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在3π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，π()14g =，7π()04g =
所以()g x 在π7π,44⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上最大值为3π()4g =7π()04g =.---------------------13分
甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A ，在点A 处投中一球得2分，在距篮筐3米线外设一点B ，在点B 处投中一球得3分.
已知甲、乙两人在A 和B 点投中的概率相同，分别是11
2
3和
，且在A 、B 两点处投中与否相互独立. 设定每人按先A 后B 再A 的顺序投篮三次，得分高者为胜.. （Ⅰ）若甲投篮三次，试求他投篮得分ξ的分布列和数学期望； （Ⅱ）求甲胜乙的概率.
解:设“甲在A 点投中”的事件为A ，“甲在B 点投中”的事件为B . （Ⅰ）根据题意知ξ的可能取值为0,2,3,4,5,7 2111
(0)()(1)(1)236
P P A B A ξ==⋅⋅=-⨯-=
（，
1
21111(2)()(1)(1)2323P P A B A A B A C ξ==⋅⋅+⋅⋅=⨯⨯-⨯-=
（1111
(3)()(1)(1)23212P P A B A ξ==⋅⋅=-⨯⨯-=
1111
(4)()(1)2326P P A B A ξ==⋅⋅=⨯-⨯=
1
21111(5)()(1)2236P P A B A A B A C ξ==⋅⋅+⋅⋅=⨯⨯-⨯=
1111
(7)()23212P P A B A ξ==⋅⋅=⨯⨯=
…………6分
所以ξ的分布列是：
111111
0234573
63126612E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …………8分
（Ⅱ）甲胜乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五种情形. 这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率P 为：
1111111111111111
()()()(1)
361263663126631261212P =⨯+⨯++⨯+++⨯++++⨯- 571914448=
=
…………13分
（说明：结论错，每种情况1分）
F
C
D E
B
A
如图，四边形DCBE 为直角梯形，ο
90=∠DCB ，
CB DE //，2BC =，又CD=1AC DE ==，ο120=∠ACB ，
AB CD ⊥．
（Ⅰ）若F 是AB 的中点，求证：//EF 平面ACD ;
（Ⅱ）求BE 与平面ACE 所成角的正弦值．
证明：（Ⅰ）方法一：取BC 中点G ，因为四边形DCBE 为直角梯形2BC =，又1DE =，则
//DE CG
有平行四边形DCGE ,所以//EG DC ,又F 是AB 的中点，所以//GF AC -------4分 （说明：一个线线平行2分）
所以//EG 平面ACD ,//FG 平面ACD ,EG FG G =I ,
所以平面//ACD 平面EFG ,而EF ⊂平面EFG ,所以//EF 平面ACD ;--------------6分 （说明：一个线面平行1分）
方法二：因为CD AB ⊥,CD BC ⊥,AB BC B =I ,
所以，CD ⊥平面ABC .-------------------------------------------------------------------------1分 过点C 作CH BC ⊥,以点C 为坐标原点，
CH 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则
1,0)2A -,(0,2,0)B ,(0,0,0)C ,(0,0,1)D ,(0,1,1)E ,(0,1,0)G
,3
,0)
4F
------------------------------------------------------------------------------------------------------------3分
（说明：对3个坐标1分）
设平面ACD 的一个法向量000(,,)o x y z =n ，则0000CA CD ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n u u u r
u u u r
即00
01020x y z -=⎪=⎩
得一个o =n
，又1
(,1)
44EF =--u u u r ，----------------------------------------5分
故
00EF ⋅=n u u u r
，所以，//EF 平面ACD ;---------------------------------------------------6分 （Ⅱ）∴)1,1,0(=，)0,21,23(
-=CA ，)1,1,0(-=，-----------8分
（说明：对2个1分）
设平面ACE 的一个法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅00
n n ，
即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-00
2123z y y x ，取,3=
x 则3,3-==z y ，得)3,3,3(n -=，-----------10分
设BE 与平面ACE 所成角为θ，则
7
42
sin =
=
θ，
于是BE 与平面ACE 所成角的正弦值为742
．---------13分
（说明：公式2分，结论1分） （18）（本小题满分13分）
已知椭圆2222:1x y C b a +=（0a b >>
）的离心率为2，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴
为半径的圆与直线0x y -+=相切. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过椭圆C 的右顶点B 作两条互相垂直的直线12,l l ，且分别交椭圆C 于,M N 两点，探究直线MN 是否过定点？若过定点求出定点坐标，否则说明理由.
解：
（Ⅰ）依题意：
c e a =
=，则222a b =，---------------------2分
（说明：离心率公式1分，结论1分）
因为以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆：222
x y b +=
与直线0x y -相切，
所以，
1
b =
=，2
2a =，
椭圆C 的方程：2
2
1
2y x +=-------------------------------------------6分
（说明：确定b 值2分，a 值1分，方程1分）
（Ⅱ）依题意1l ，2l 斜率存在，设1l ：(1)y k x =-，2l ：1
(1)
y x k =--，----7分
设11(,)M x y ，22(,)N x y
将1l 的方程代入椭圆C 得：
22(1)(2)0x k x k ⎡⎤-+-=⎣⎦， 所以21122(12k x x k -==+舍)，12
42k
y k -=+，-----------------------------------------9分 将k 换成1
k 则
所以
2221221k x k -=+，22
421k y k =+--------------------------------------------------10分 所以，直线MN 的斜率为：
122
123(1)1y y k
k k x x k -'=
=≠±--.-----------------11分
直线MN 的方程为：2222432()212k k k y x k k k ---=-+-+，即2
31
()13k y x k =+-， 所以，直线MN 过定点1,03⎛⎫
- ⎪
⎝⎭.-----------------------------------------------12分 当1k =±时，
1412(,),(,)3333M N ---,此时，直线MN 也过定点1,03⎛⎫- ⎪
⎝⎭ 故，直线MN 必过定点1,03⎛⎫
- ⎪
⎝⎭.------------------------------------------------13分
（19）（本小题满分14分） 各项均为正数的等比数列}
{n a ，a1=1，2a 4a =16，单调增数列}{n b 的前n 项和为n S ，43a b =，
且
2632
n n n S b b =++（*
N n ∈）．
（Ⅰ）求数列
}{n a 、
}
{n b 的通项公式；
（Ⅱ）令n
n n
b c a =
（*
N n ∈），
（1）求数列
{}n c 的前n 项和n T ；
（2）若11[2(1)]3n n n d a -=+-，证明：对任意的整数4m >，有4511178m d d d +++<L ．
（Ⅰ）∵2a 4a =244116a q q ==，2
q =4，∵0n a >，∴q=2， ∴12-=n n a ----3分
（说明：通项公式2分，结论1分）
∴b3=4a ＝8. ∵263n n n S b b =++2 ①
当n≥2时，2111
63n n n S b b ---=++2 ②
①-②得22
11
633n n n n n b b b b b --=-+---------------------------------------------------------------4分 即111()()3()n n n n n n b b b b b b ---+-=+
∵
>n b ∴
1
n n b b --=3，∴
}
{n b 是公差为3的等差数列．---------------------------5分
当n ＝1时，2111
63b b b =++2，解得
1
b =1或
1
b =2，
当1
b =1时，32
n
b n =-，此时
3
b =7，与
8
3=b 矛盾；当31=b 时31n b n =-，此时此时3b =8=4a
，
∴
31
n b n =-． -------------------------------------------------------------------7分
（说明：没有分类扣1分）
（Ⅱ）（1）∵
31
n b n =-，∴
n n n b c a =
＝131
2n n --，
21
1111
2158(34)(31)2422n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+-⨯+-⨯L ①
11
11111258(34)(31)2
24822n n n
T n n -=⨯+⨯+⨯+-⨯+-⨯L ②---------------8分
-②得111111
23()(31)22422n n n
T n -=++++--⨯L -----------------------------------9分 135
102n n n T -+=-
---------------------------------------------------------------------------------------------10分
（说明：结论不整理不扣分）
（2）若11[2(1)]3n n n d a -=+-=212
[2(1)]
3n n --+-，
45111m d d d +++=L 23213111
[]221212(1)m m --+++-+--L
213111111[]2391533632(1)m m --=++++++--L -----------------------------------------------11分
11111
[1]2351121=+++++L
11111[1]2351020<+++++L -------------------------------------------------------------------------12分
511
(1)
1452[]
12312m --=+-
514221[]23552m -=+-g -------------------------------------------------13分
51311131041057
()1552151201208m -=
-<=<=g .
故4
511178m a a a +++<L ( m>4).--------------------------------------------------------------------14分
（20）（本小题满分14分）
设函数
()2ln p
f x px x x =-
-，其中e 是自然对数的底数.
（Ⅰ）当
2p =
时，求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）若()f x 在其定义域内为单调函数，求实数p 的取值范围；
（Ⅲ）设
2()e
g x x =
，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得0()f x ＞0()g x 成立，
求实数p 的取值范围.
解：（Ⅰ）()2ln p
f x px x
x =--
2'
2222()p px x p
f x p x x x -+=+-=
………… 1分
当p =
时，()f x '
==
令()0f x '=
，
12,x x ==
-----------------------------------------------3分
所以，函数()f x 在
x =
时，取得极大值21；函数()f x 在x =值12ln -分
（Ⅱ）令
2
()2h x px x p =-+，要使()f x 在其定义域(0,)+∞内是单调函数， 只需()h x 在(0,)+∞内满足：()0()0h x h x ≥≤或恒成立.
当0p =时，()2h x x =-，因为x ＞0，所以()h x ＜0，
'22()x
f x x =-
＜0，
∴()f x 在(0,)+∞内是单调递减函数，即0p =适合题意； ………… 8分
② 当p ＞0时，
2
()2h x px x p =-+ 其图像为开口向上的抛物线，对称轴为
1
(0,)x p =
∈+∞，
∴
min 1()h x p p =-
，只需1
0p p -≥，即
'
1()0,()0p h x f x ≥≥≥时， ∴()f x 在(0,)+∞内为单调递增函数，故1p ≥适合题意.
③ 当p ＜0时，
2
()2h x px x p =-+，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为1
(0,)x p =
∉+∞，只要(0)0h ≤，即0p ≤时，()0h x ≤在(0,)+∞恒成立，
故p ＜0适合题意.综上所述，p 的取值范围为10p p ≥≤或 ………… 10分
（Ⅲ）∵
2()e
g x x =
在[]1,e 上是减函数，
∴x e =时，min ()2
g x =；1x =时，
max ()2g x e
=，
即
[]
()2,2g x e ∈，
当0p ≤时，由（2）知()f x 在
[]1,e 上递减max ()(1)0f x f ⇒==＜2，不合题意；
② 当0＜p ＜1时，由
[]11,0x e x x ∈⇒-
≥，
∴11
()()2ln 2ln f x p x x x x
x x =--≤--
11
2ln 2
e e e e e ≤--=--＜2， 不合题意； …………12 分、
③ 当1p ≥时，由（2）知()f x 在
[]1,e 上是增函数， (1)0f =＜2，又()g x 在[]1,e 上是减函数，
故只需
max
()f x ＞
min
()g x ，
[]
1,x e ∈ ，
而max 1
()()()2ln f x f e p e e
e ==--， min
()2g x =， 即 1()2ln p e e e --＞2，解得p ＞241e e - ，
综上，p 的取值范围是24(
)1e
e +∞-，. ……14分。