微专题15 导数的单调性、极值点、极值、最值-2020高考数学(理)二轮复习微专题聚焦

微专题15函数的单调性、极值点、极值、最值
——2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题是高考考查的重要内容之一，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等，有时出现在解答题中.重点考查分类讨论思想、函数与方程思想、转化与化归思想，对学生的分析问题的能力要求较高，考查考生的逻辑推理、
数学抽象的学科核心素养.
考点一利用导数研究函数的单调性
【必备知识】
1、函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(a,b)内
(1)如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在(a,b)单调递增；
(2)如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在(a,b)单调递减；
(3)如果f'(x)=0，那么函数y=f(x)在(a,b)上是常数函数.
2、由导数求单调区间的步骤
(1)求定义域.
(2)求导数.
(3)由导数大于0求单调递增区间,由导数小于0求单调递减区间.
3、两个条件
(1)f'(x)>0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件.
(2)f'(x)≤0是函数f(x)为减函数的必要不充分条件.
4、三点注意
(1)在函数定义域内讨论导数的符号.
(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号,不用“∪”,可用“,”或用“和”.
(3)区间端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间.
【典型例题】
ax2-1
【例1】已知函数f(x)=ln(x-1)+当a>0时，讨论函数f(x)的单调性.
x-1,
【解析】函数 f ( x ) = ln( x - 1) + 的定义域为 x ∈ (1,+∞) ，
则 f ' ( x ) = 1 > 1 即 a>1 时， f ( x ) 的单调递增区间为 ( ,+∞) ，单调递减区间为 (0, ) ， ( 2a - 1 ,+∞) ，单调递减区间为 (0, ) 。

（ （ x
⎣ ⎦
ax 2 - 1
x - 1
2ax( x - 1) - (ax 2 - 1)
+
=
x - 1 ( x - 1)2
x( x - 2a - 1 )
a ( x - 1)2 ，
令 f ' ( x ) = 0 解得 x =
2a - 1
a
，
当 2a - 1 a
= 1 即 a=1 时， f ' ( x ) = x ( x - 1)2
> 0 恒成立，则 f ( x ) 的单调递增区间为 (1,+∞) ，
当
2a - 1 2a - 1 2a - 1
a a a
当 2a - 1 a
< 1 即 0<a<1 时， f ( x ) 的单调递增区间为 (1,+∞) ，
综上所述：当 0 < a ≤ 1时， f ( x ) 的单调递增区间为 (1,+∞) ；当 a>1 时， f ( x ) 的单调递增区间为
2a - 1 a a
【方法归纳 提炼素养】——数学思想是分类讨论思想，核心素养是数学运算.
利用导数讨论(证明)函数 f ( x ) 在 (a, b ) 内单调性的步骤
(1)求 f ' ( x ) .
(2)确认 f ' ( x ) 在 (a, b ) 内的符号.
(3)得出结论: f ' ( x ) > 0 时为增函数, f ' ( x ) < 0 时为减函数.
注:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类
的标准（i ）按导函数是否有零点分大类； ii ）在大类中再按导函数零点的大小比较分小类； i ii
）
在小类中再按零点是否在定义域中分类.
【类比训练 1】已知函数 f ( x ) = ( x - 1)e x + a ln( x + 1) - ax + b , x ∈ [0,1] .
（1）讨论 f ( x ) 的单调性；
（2）略.
【解析】（1） f ' (x ) = x + 1 ⎡(x + 1)e x - a ⎤ ，
令 g (x ) = (x + 1)e x - a ， x ∈ [0,1]，
则 g ' (x ) = (x + 2)e x > 0 ，则 g (x ) 在 [0,1] 上单调递增，
∪.若 a ≤ 1 ，则 g (x ) ≥ g (0) = 1 - a ≥ 0 ，则 f ' (x ) = x ⋅ g x ≥ 0 ，则 f (x ) 在 [0,1] 上单调递增；
∪.若 a ≥ 2e ，则 g (x ) ≤ g (1) = 2e - a ≤ 0 ，则 f ' (x ) = x ⋅ g x ≤ 0 ，则 f (x ) 在 [0,1] 上单调递减；
所以 f ' (1) = - 1 = 0 ，所以切线的斜率为 0，所以切线方程为 y = -1 .
（2）因为 f ' ( x ) = 1
≥ e ，即 0 < m ≤ < e ，即 < m < 1 时，在 (1, ) 上 h ( x ) > 0 ，函数 f ( x ) 在 (1, ) 上单调递增，在 ( , e )
( )
x + 1
( ) x + 1
∪.若 1 < a < 2e ，则 g (0) = 1 - a < 0 ， g (1) = 2e - a > 0 ，又 g (x ) 在 [0,1] 上单调递增，
结合零点存在性定理知：存在唯一实数 x ∈ (0,1)，使得 g (x ) = (x + 1)e x 0
- a = 0 ，
当 x ∈ [0, x ) 时， g (x ) < 0 ，则 f ' (x ) < 0 ，则 f (x ) 在 [0, x )上单调递减， 0
当 x ∈ [x ,1]时， g (x ) ≥ 0 ，则 f ' (x ) ≥ 0 ，则 f (x ) 在 [x ,1] 上单调递增.
综上，当 a ≤ 1 时， f (x ) 在 [0,1] 上单调递增；
当 a ≥ 2e 时， f (x ) 在 [0,1] 上单调递减；
当 1 < a < 2e 时，存在唯一实数 x ∈ (0,1)，使得 (x + 1)e x 0
= a ，
f (x ) 在 [0, x )上单调递减，在 [x ,1] 上单调递增.
【类比训练 2】已知函数 f ( x ) = ln x - mx (m ∈ R) .
（1）若 m=1，求曲线 y = f ( x ) 在点 P(1,-1) 处的切线方程；
（2）讨论函数 f ( x ) 在 (1, e ) 上的单调性.
【解析】（1）若 m=1，则 f ( x ) = ln x - x ， f '
( x ) = 1
- 1 ，
x
1
1
1 - mx
- m = x x
，令 h ( x ) = -mx + 1 ， h ( x ) 是过点（0,1）的一次函数，
∪当 m ≤ 0 时，在 (1, e ) 上 h ( x ) > 0 ， f ' ( x ) > 0 ，所以函数 f ( x ) 在 (1, e ) 上单调递增.
∪当 m > 0 时， h ( x ) 在 (1, e ) 上是减函数，由 h ( x ) 的图像可知，
（i ）当 1
1
时，x ∈ (1, e ), h( x ) > 0, f ' ( x ) > 0 ，所以函数 f ( x ) 在 (1, e ) 上单调递增；
m e
（ii ）第1 < 1 1 1 1 1
m e m m m
上 h ( x ) < 0 ， f ( x ) 在 ( 1 m
, e ) 上单调递减；
（iii ）第 0 < 1
≤ 1 ，即 m ≥ 1时， x ∈ (1, e ), h( x ) < 0, f ' ( x ) < 0 ，函数 f ( x ) 在 (1, e ) 上单调递减.
m
考点二利用导数求函数的极值（点）
【必备知识】
1、函数的极值与导数
若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在x=a附近的其他值都小，f'(a)=0，并且在x=a的左侧f'(x)<0，在x=a的右侧f'(x)>0，那么点x=a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.
若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在x=b附近的其他值都大，f'(b)=0，并且在x=b的左侧f'(x)>0，在x=b的右侧f'(x)<0，那么点x=b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数的极小值.
注：极值点一点是方程f'(x)=0的根；但方程f'(x)=0的根不一定是函数的极值点。

2、求函数f(x)的极值的方法步骤
（1）求函数的定义域；
（2）求导函数f'(x)，并分解因式
（3）解方程f'(x)=0的根；
（4）列表判断在各极值点左、右两侧导函数f'(x)的符号及函数f(x)的单调性；
（5）下结论，写出极值（点）.
【典型例题】
【例2】已知f(x)=e x,g(x)=ln x
（1）令h(x)=f(x)-g(x)，求证：h(x)有唯一的极值点；
（2）若点A为函数f(x)上的任意一点，点B为函数g(x)上的任意一点，求A,B两点之间距离的最小值．【解析】（1）证明：由题意知h(x)=e x-ln x，所以h'(x)=e x-
由y=e x单调递增，y=1
在(0，+∞)上单调递减，x
所以h'(x)在(0，+∞)上为单调递增，
⎛1⎫
⎝2⎭1 x，
又h' ⎪=e-2<0，h'(1)=e-1>0，
所以存在唯一的 x ∈ ，1⎪ ，使得 h '( x ) = 0 ， 0 ⎝ 2 ⎭
⎛ 1 ⎫ 0
当 x ∈ (0，x ) 时， h '(x) < 0 ， h ( x ) 单调递减；当x ∈ ( x ，+ ∞) 时， h '(x) > 0 ， h ( x ) 单调递增，
所以 h (x) 有唯一的极值点．
（2）解：由 f (x) = e x ，则 f ( x ) 在点 (0，1) 处的切线为 y = x + 1 ，
又 g (x) = ln x ，则 g ( x ) 在点 (1，0) 处的切线为 y = x - 1 ，
由于 f (x) = e x 与 g (x) = ln x 互为反函数，即函数图象关于 y = x 对称，如图，
故而 A ，B 两点间的距离即为 (0，1) 与 (1，0) 之间的距离，
所以 A ，B 两点间的距离的最小值为 2 ．
【方法归纳 提炼素养】——数学思想是函数与方程思想，核心素养是逻辑推理.
利用导数研究函数极值的一般流程
【类比训练 1】已知函数
.
(1)若函数 在 和
处取得极值,求 的值;
(2)在(1)的条件下,当 时,
恒成立,求 的取值范围.
【解析】(1)∵
,∴
,
又函数
∴ 在
和
和
是方程 处取得极值,
的两根,
∴
,解得
,经检验得
符合题意,
∴ .
(2)由(1)得,
∴当或时,,单调递增,当时,,单调递减,
,∴,
∵当∴时,
,解得
恒成立,
,
∴实数的取值范围为.
【类比训练2】若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x-4有极值,则a的取值范围是.
【解析】由题意得f'(x)=3x2+6ax+3(a+2)，
若函数有极值,则一元二次方程3x2+6ax+3(a+2)=0有两个不同的实数根,
即∆=(6a)2-4⨯3⨯3(a+2)>0，整理可得36(a+1)(a-2)>0，
据此可得a的取值范围是a>2或a<-1.
考点三利用导数求函数的最值
【必备知识】
1、函数的最值与导数
（1）函数的最值存在性原理
如果在区间[a,b]上函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么函数f(x)在区间[a,b]上
一定有最大值和最小值。

（1）函数在区间[a,b]上的最大值和最小值只可能出现在极值点或区间端点处。

2、求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值的方法步骤
（1）求导函数f'(x)，并分解因式；
（2）解方程f'(x)=0，求出所有可能的极值点；
（3）求函数f(x)的各个极值与端点处的函数值f(a),f(b)，比较，其中最大的一个就是最大
值，最小的一个就是最小值.
3、记住两个结论
2 2
(1)若函数在开区间(a,b)内的极值点只有一个,则相应极值点为函数最值点.
(2)若函数在闭区间[a,b]的最值点不是端点,则最值点亦为极值点.
【典型例题】
【例 3】已知 f ( x ) = ln x - x 2 + 2ax, a ∈ R . (1)若 a = 0 ，求 f ( x ) 在 [1, e ] 上的最小值； (2)求 f ( x ) 的极值点。

1 -
2 x 2
【解析】（1） f ' ( x ) = ，
x
因为 x ∈ [1, e ] ，所以 f ' ( x ) < 0
所以 f ( x ) 在 [1, e ] 上是减函数，
所以最小值为 f (e) = 1 - e 2
（2）定义域为 (0,+∞ ) ， f ' ( x ) =
- 2 x 2 + 2ax + 1
x
令 f ' ( x ) = 0 得 x = 1 a - a 2 + 2 a + a 2 + 2
, x =
2
因为 x < 0, x > 0 ，所以当 x ∈ (0, x ) 时， f ' ( x ) > 0 ，当 x ∈ ( x ,+∞) 时 f ' ( x ) < 0
1
2
2
2
所以 f ( x ) 在 (0, x ) 单调递增，在 ( x ,+∞) 单调递减，
2
2
所以 x 为极大值点，无极小值点。

2
【方法归纳 提炼素养】——数学思想是函数与方程思想，核心素养是数学运算.
解决函数极值、最值问题的策略
(1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小.
(2)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过比较才能下结论.
(3)函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
【类比训练 1】已知函数 f ( x ) = ax - 1
e x
.
(1)当 a = 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间;
(2)当 a < 0 时,求函数 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值.
【解析】(1)当 a = 1 时, f ( x ) = x - 1 - x + 2 , x ∈ R ,∴ f ' ( x ) =
e x e x
,
令 f ' ( x ) > 0 ,解得 x < 2 ;令 f ' ( x ) < 0 ,解得 x > 2 ;
∴ f ( x ) 在 (-∞,2) 递增,在 (2,+∞) 递减.
(2)由f(x)=ax-1
x
(0,1+
1
,
a
e a
=-1,a<-1时，f(x)min=
a
e
-ax+a+1
得,f'(x)=,x∈[0,1],
e e x
令f'(x)=0,∵a<0,解得x=1+1
a<1,
①1+1
≤0时,即-1≤a<0时,f'(x)≥0对x∈[0,1]恒成立, a
∴f(x)在[0,1]递增,f(x)
min
=f(0)=-1;
②当0<1+1
<1时,即a<-1时,x,f'(x),f(x)在[0,1]上的情况如下: a
x01)
a f'(x)-1+
1
a
1
(1+,1)
a
+
1
f(x)递减极小值递增
∴
1a f(x)=f(1+)=
min
1+
综上,-1≤a<0时,f(x)
min1+1
a
.
【类比训练2】函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为() A.1-e B.-1 C.-e D.0
【解析】选B.因为f'(x)=11-x -1=
x x
,
当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,e]时,f'(x)<0,
所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e],
所以当x=1时,f(x)取得最大值ln1-1=-1.
做高考真题提能力素养
【选择题组】
【2017·全国甲卷理科·T11】若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)e x-1的极值点,则f(x)的极小值为()
A.-1
B.-2e-3
C.5e-3
D.1
【解析】选A.由题可得f'(x)=(2x+a)e x-1+(x2+ax-1)e x-1=[x2+(a+2)x+a-1]e x-1,
【
,ππ
3
π,2π所以f(x)min=f(5π)=2sin5π+sin10π=-3√3.
3,+∞时,f'(x)>0,
因为f'(-2)=0,所以a=-1,f(x)=(x2-x-1)e x-1,故f'(x)=(x2+x-2)e x-1,
令f'(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在(-∞,-2)和(1,+∞)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,
所以f(x)极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1.
【非选择题组】
1、2019·北京卷】设函数f(x)=e x+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是.
【答案】-1(-∞,0]
【解析】因为f(x)为奇函数,且f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,所以e0+ae-0=0,解得a=-1.
因为f(x)在R上为增函数,所以f'(x)=e x-a≥0在R上恒成立,即a≤e2x在R上恒成立,
e x
又因为e2x>0,所以a≤0,即a的取值范围为(-∞,0].
2、【2018·全国卷Ⅰ】已知函数f(x)=2sin x+sin2x,则f(x)的最小值是.
【答案】-3√3
2
【解析】因为f(x+2π)=2sin(x+2π)+sin(2x+4π)=f(x),所以2π是函数f(x)的一个周期,
不妨取区间[0,2π]进行分析.f'(x)=2cos x+2cos2x=4cos2x+2cos x-2,
令f'(x)=0,解得cos x=1或cos x=-1.
2
当x在[0,2π]上变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x0,π
3π
3ππ
3
π,5π
3
5
3
5
f'(x) f(x)+
↗
极大值
-
↘
0-
↘
极小值
+
↗
可知函数f(x)在[0,2π]上的极小值即为函数f(x)在定义域上的最小值,
3332
3、【2018·江苏卷】若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为.
【答案】-3
【解析】由题意得,f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).当a≤0时,对任意x∈(0,+∞),f'(x)>0,
则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f(x)>f(0)=1,则f(x)在(0,+∞)上没有零点,不满足题意,舍去.当a>0时,令f'(x)=0及x>0,得x=a,则当x∈0,a时,f'(x)<0,当x∈
33
a
3,+∞ ,
在 x=a 处 f(x)取得极小值 f (a )=-a +1.
而函数 f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,所以 f (a )=-a +1=0,解得 a=3,
(iii)当 0<a<3 时,由(1)知,f (x )在区间[0,1]的最小值为 f (a )=-a +b ,最大值为 b 或 2-a+b.
若-a +b=-1,b=1,则 a=3 3√2,与 0<a<3 矛盾.
因此函数 f(x)的单调递减区间是 0,a ,单调递增区间是
3
a
3
3
3 27
3
3 27
因此 f(x)=2x 3-3x 2+1,则 f'(x)=2x(3x-3).令 f'(x)=0,结合 x ∈[-1,1],得 x=0 或 x=1.
而当 x ∈(-1,0)时,f'(x)>0,当 x ∈(0,1)时,f'(x)<0,则函数 f(x)在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数,
所以 f(x)max =f(0)=1.又 f(-1)=-4,f(1)=0,所以 f(x)min =-4,
故 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3.
4、
【2019·全国卷∪】已知函数 f (x )=2x 3-ax 2+b.
(1)讨论 f (x )的单调性.
(2)是否存在 a ,b ,使得 f (x )在区间[0,1]的最小值为-1 且最大值为 1?若存在,求出 a ,b 的所有值 若不
存在,说明理由.
【解析】(1)f'(x )=6x 2-2ax=2x (3x -a ).
令 f'(x )=0,得 x=0 或 x=a .
3
若 a>0,则当 x ∪(-∞,0)∪(a ,+∞)时,f'(x )>0,当 x ∪(0, a )时,f'(x )<0,
3
3
故 f (x )在(-∞,0),(a ,+∞)单调递增,在(0, a )单调递减
3
3
若 a=0,f (x )在(-∞,+∞)单调递增
若 a<0,则当 x ∪(-∞, a )∪(0,+∞)时,f'(x )>0,当 x ∪(a ,0)时,f'(x )<0,
3
3
故 f (x )在(-∞, a ),(0,+∞)单调递增,在(a ,0)单调递减.
3
3
(2)满足题设条件的 a ,b 存在.
(i)当 a ≤0 时,由(1)知,f (x )在[0,1]单调递增,所以 f (x )在区间[0,1]的最小值为 f (0)=b ,最大值为
f (1)=2-a+b.
此时 a ,b 满足题设条件当且仅当 b=-1,2-a+b=1,即 a=0,b=-1.
(ii)当 a ≥3 时,由(1)知,f (x )在[0,1]单调递减,所以 f (x )在区间[0,1]的最大值为 f (0)=b ,最小值为
f (1)=2-a+b.
此时 a ,b 满足题设条件当且仅当 2-a+b=-1,b=1,即 a=4,b=1.
3
3
27
3 27
若-a +b=-1,2-a+b=1,则 a=3√3或 a=-3√3或 a=0,与 0<a<3 矛盾.
由 f'(x)=0,得 x 1=b+1−√b 2-b+1,x 2=b+1+√b 2-b+1.
3 27
综上,当且仅当 a=0,b=-1 或 a=4,b=1 时,f (x )在区间[0,1]的最小值为-1 且最大值为 1.
5、
【2019·江苏卷】设函数 f(x)=(x -a)(x -b)(x -c),a,b,c∪R,f'(x)为 f(x)的导函数.
(1)若 a=b=c,f(4)=8,求 a 的值
(2)若 a≠b,b=c,且 f(x)和 f'(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求 f(x)的极小值
(3)若 a=0,0<b≤1,c=1,且 f(x)的极大值为 M,求证:M≤ 4 .
27
【解析】(1)因为 a=b=c,所以 f(x)=(x -a)(x -b)(x -c)=(x -a)3.
因为 f(4)=8,所以(4-a)3=8,解得 a=2.
(2)因为 b=c,所以 f(x)=(x -a)(x -b)2=x 3-(a+2b)x 2+b(2a+b)x -ab 2,
从而 f'(x)=3(x -b) x -2a+b .令 f'(x)=0,得 x=b 或 x=2a+b .
3
3
因为 a,b,2a+b 都在集合{-3,1,3}中,且 a≠b,
3
所以2a+b =1,a=3,b=-3.
3
此时,f(x)=(x -3)(x+3)2,f'(x)=3(x+3)(x -1).
令 f'(x)=0,得 x=-3 或 x=1.列表如下:
x
f'(x)
f(x)
(-∞,-3)
+
∪
-3
极大值 (-3,1)
-
∪
1
极小值
(1,+∞)
+
∪
所以 f(x)的极小值为 f(1)=(1-3)×(1+3)2=-32.
(3)证明:因为 a=0,c=1,所以 f(x)=x(x -b)(x -1)=x 3-(b+1)x 2+bx,
f'(x)=3x 2-2(b+1)x+b.
因为 0<b≤1,所以 Δ=4(b+1)2-12b=(2b -1)2+3>0,
则 f'(x)有 2 个不同的零点,设为 x 1,x 2(x 1<x 2).
3
3
列表如下:
x
f'(x)
(-∞,x 1)
+ x 1
(x 1,x 2)
-
x 2
0 (x 2,+∞)
+
=[3x 12-2(b+1)x 1+b](x 1 - b+1)-2(b
x 1+b(b+1)
27 + 2 (√ b(b -1)+1)3≤b(b+1)+ 2 ≤ 4 .因此 M≤ 4 .
3 2 ( ,1) 所以当 x=1时,g(x)取得极大值,且是最大值,故 g(x)max
=g (1)= 4
.
f(x)
∪ 极大值 ∪ 极小值 ∪
所以 f(x)的极大值 M=f(x 1).
解法一:
M=f(x 1)=x 1 -(b+1)x 1
+bx 1
2-b+1) 3
9 9 9
=
-2(b 2-b+1)(b+1)
+b(b+1)+ 2 (√b 2-b + 1)3
27
9
27
=b(b+1)-2(b -1)2(b+1)
27 27 27 27 27 27
解法二:
因为 0<b≤1,所以 x 1∪(0,1).
当 x∪(0,1)时,f(x)=x(x -b)(x -1)≤x(x -1)2.
令 g(x)=x(x -1)2,x∪(0,1),则 g'(x)=3(x - 1)(x -1).
3
令 g'(x)=0,得 x=1.列表如下:
3
x
g'(x)
g(x)
1 (0, )
3
+
∪ 1 3
极大值
1
3
-
∪
3
3
27
所以当 x∪(0,1)时,f(x)≤g(x)≤ 4 .因此 M≤ 4 .
27
27
6、
【2018· 北京卷】设函数 f(x)=[ax 2-(4a+1)x+4a+3]e x . (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行,求 a; (2)若 f(x)在 x=2 处取得极小值,求 a 的取值范围. 【解析】(1)因为 f(x)=[ax 2-(4a+1)x+4a+3]e x ,
所以 f'(x)=[2ax-(4a+1)]e x +[ax 2-(4a+1)x+4a+3]e x =[ax 2-(2a+1)x+2]e x , f'(1)=(1-a)e.
由题设知 f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得 a=1,
此时 f(1)=3e≠0,
所以 a 的值为 1.
1
若 a> ,则当 x ∈ ( ,2) 时,f'(x)<0; 综上可知,a 的取值范围是 ( ,+∞) .
(2)由(1)得 f'(x)=[ax 2-(2a+1)x+2]e x =(ax-1)(x-2)e x .
1
2 a
当 x ∈(2,+∞)时,f'(x)>0.
所以 f(x)在 x=2 处取得极小值.
若 a≤1,则当 x ∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤1x-1<0,
2
2
所以 f'(x)>0,
所以 2 不是 f(x)的极小值点.
1
2。