2021新高考数学二轮总复习 专题一 常考小题点 1.3 平面向量与复数组合练学案(含解析)-人教版

1.3 平面向量与复数组合练
必备知识精要梳理
1.复数的加、减、乘的运算法则与实数运算法则相同,除法的运算就是分母实数化.
2.复数z=a+b i(a ,b ∈R )与复平面内的点Z (a ,b )及平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 一一对应,|z-(a+b i)|=r (r ,a ,b ∈R )表示复平面内以(a ,b )为圆心,r 为半径的圆.
3.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)为非零向量,夹角为θ,则a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2.
4.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔a =λb (b ≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0;a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.
5.平面内三点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)共线⇔AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔(x 2-x 1)(y 3-y 2)-(x 3-x 2)(y 2-y 1)=0. 考向训练限时通关
考向一
复数的运算及复数的几何意义
1.(2020山东,2)2-i 1+2i
=( ) A.1
B.-1
C.i
D.-i
2.(2020全国Ⅰ,理1)若z=1+i,则|z 2-2z|=( ) A.0
B.1
C.√2
D.2
3.(多选)若复数z=a+2i 1-i
在复平面内对应的点在第二象限内,则实数a 的值可以是( )
A.1
B.0
C.-1
D.-2
4.(2020全国Ⅱ,理15)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2,z 1+z 2=√3+i,则|z 1-z 2|= .
考向二
平面向量的概念及线性运算
5.(多选)关于平面向量a ,b ,c ,下列说法中不正确的是
( )
A.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥c
B.(a +b )·c =a ·c +b ·c
C.若a ·b =a ·c ,且a ≠0,则b =c
D.(a ·b )·c =a ·(b ·c )
6.(2020山东泰安一模,6)如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =n AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m+n=( )
A.1
B.3
2
C.2
D.3
7.(多选)如图所示,四边形ABCD 为梯形,其中AB ∥CD ,AB=2CD ,M ,N 分别为AB ,CD 的中点,则下列结论正确的是( )
A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗
B.MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12
BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 8.(2020全国Ⅰ,理14)设a ,b 为单位向量,且|a+b |=1,则|a-b |= .
考向三
平面向量基本定理及坐标表示
9.(2020山东,7)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF
内的一点
,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.(-2,6)
B.(-6,2)
10.(2020全国Ⅲ,文6)在平面内,A ,B 是两个定点,C 是动点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则点C 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.抛物线
D.直线
11.(2020安徽合肥一中模拟,10)如图,已知矩形LMNK ,LM=6,sin ∠MLN=23
,圆E 半径为1,且E 为线段NK 的中点,P 为圆E 上的动点,设MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λML ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μMN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最小值是( )
A.1
B.5
4 C.7
4
D.5
12.(2020北京,13)已知正方形ABCD 的边长为2,点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ = .
考向四
平面向量的数量积
13.(2020全国Ⅲ,理6)已知向量a ,b 满足|a |=5,|b |=6,a ·b =-6,则cos <a ,a +b >=( ) A.-31
35 B.-19
35 C.1735
D.19
35
14.(2020山东济南一模,3)体育锻炼是青少年学习生活中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400 N,则该学生的体重(单位:kg)
约为
( )
(参考数据:取重力加速度大小为g=10 m/s 2,√3≈1.732)
A.63
B.69
15.(多选)(2020海南天一大联考模拟三,10)已知向量a =(√3,1),b =(cos α,sin α),α∈[0,π
2],则下列结论正确的有( ) A.|b |=1
B.若a ∥b ,则tan α=√3
C.a ·b 的最大值为2
D.|a-b |的最大值为3
16.(2020全国Ⅱ,理13)已知单位向量a ,b 的夹角为45°,k a -b 与a 垂直,则k= .
1.3 平面向量与复数组合练
考向训练·限时通关
1.D 解析
2-i 1+2i
=
(2-i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )
=
2-i -4i -21+4
=
-5i 5
=-i,故选D .
2.D 解析由z=1+i,得z 2=2i,2z=2+2i,故|z 2-2z|=|2i -(2+2i)|=2.
3.ABC 解析因为复数z=
a+2i 1-i
=
(a+2i )(1+i )
2
=
a -2+(a+2)i
2
=12
(a-2)+1
2
(a+2)i,
由复数z 在复平面内对应的点在第二象限内,所以{a -2<0,
a +2>0,即-2<a<2,所以实数a 的值
可以是-1,0,1.故选ABC .
4.2√3 解析设z 1=a+b i,z 2=c+d i,a ,b ,c ,d ∈R .∵|z 1|=|z 2|=2,∴a 2+b 2=4,c 2+d 2=4.又z 1+z 2=(a+c )+(b+d )i =√3+i,∴a+c=√3,b+d=1.
∴(a+c )2+(b+d )2=a 2+b 2+c 2+d 2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4. ∴2ac+2bd=-4.
∴(a-c )2+(b-d )2=a 2+c 2+b 2+d 2-2ac-2bd=8-(-4)=12. ∴|z 1-z 2|=√(a -c )2+(b -d )2=2√3.
5.ACD 解析对于A,若b =0,因为0与任意向量平行,所以a 不一定与c 平行,故A 不正确;
对于B,向量数量积满足分配律,故B 正确;
对于C,若a ⊥b ,a ⊥c ,则b 与c 不一定相等,故C 不正确;
对于D,(a ·b )·c 是与c 共线的向量,a ·(b ·c )是与a 共线的向量,故D 不正确.故选ACD .
6.C 解析连接AO ,由O 为BC 的中点可得,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=m 2
AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n
2
AN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
因为M ,O ,N 三点共线,所以m
2+n
2=1,所以m+n=2.故选C .
7.ABD 解析AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确; MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12
BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12
BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 正确; MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −1
4
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 错误; BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −1
2AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,故D 正确.故选ABD . 8.√3 解析∵|a +b |2=(a +b )2=|a |2+|b |2+2a ·b =1+1+2a ·b =1,
∴a ·b =-1
2
,∴|a -b |2=(a -b )2=|a |2+|b |2-2a ·b =3,∴|a -b |=√3.
9.A 解析如图,以AB 所在的直线为x 轴,AE 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系,易知A (0,0),B (2,0),F (-1,√3),C (3,√3).
设P (x ,y ),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x+0×y=2x. ∵-1<x<3,∴AP
⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为(-2,6),故选A . 10.A 解析以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系.
设C (x ,y ),A (-a ,0),则B (a ,0),则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+a ,y ),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-a ,y ),由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,得(x+a )(x-a )+y 2=1,整理得x 2+y 2=a 2+1,即点C 的轨迹为圆.故选A .
11.B 解析由已知建立如图所示的平面直角坐标系,由LM=6,sin ∠MLN=2
3,解得MN=
12√5
5
,
则M (3,-12√55
),N (3,0),L -3,-
12√55
.设P (cos θ,sin θ).因为MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λML ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λMN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cos θ-3,sin θ+12√5
5,ML ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,0),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,12√55.所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cos θ-3,sin θ+12√55=λ(-6,0)+μ0,12√55
,
即{cosθ-3=-6λ,
sinθ+12√55=12√55μ, 解得{λ=3-cosθ
6,μ=√5
12sinθ+1.
所以λ+μ=32+
√5
12sin θ-16cos θ=32
+14
sin(θ+φ),当sin(θ+φ)=-1时,λ+μ的最小值是5
4
.故选B .
12.-1 解析以点A 为坐标原点,AB ,AD 所在直线分别为x 轴,y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则点A (0,0),B (2,0),C (2,2),D (0,2).∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(2,0)+12(2,2)=(2,1),则点P (2,1). ∴PD
⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1), ∴PB
⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0×(-2)+1×(-1)=-1. 13.D 解析∵a ·(a +b )=a 2+a ·b =25-6=19,|a +b |2=a 2+b 2+2a ·b =25+36-12=49,∴|a +b |=7,∴cos <a ,a +b >=a ·(a+b )
|a ||a+b |=19
5×7=19
35.
14.B 解析由题意知,两只胳膊的拉力F 1=F 2=400,夹角θ=60°,所以体重G =-(F 1+F 2).
所以G 2=(F 1+F 2)2=4002+2×400×400×cos60°+4002=3×4002.
所以|G |=400√3(N),则该学生的体重约为40√3=40×1.732≈69(kg).故选B . 15.AC 解析对于A,|b |=√cos 2α+sin 2α=1,故A 正确;
对于B,若a ∥b ,则√3sin α-cos α=0,∴tan α=√3
3
,故B 错误; 对于C,a ·b =√3cos α+sin α=2sin (α+π
3
),最大值为2,故C 正确;
对于D,作图可知,当α=π
2,即b =(0,1)时,|a-b |取得最大值√3,故D 错误. 16.
√22
解析由题意可知,
a ·
b =|a ||b |cos45°=√2
2.
∵k a -b 与a 垂直,∴(k a -b )·a =k|a |2-a ·b =k-√22=0,∴k=√2
2
.。