小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方

⼩学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻⽅
⼩学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻⽅”
知识定位
⼀、什么是数阵图?
在神奇的数学王国中，有⼀类⾮常有趣的数学问题，它变化多端，引⼈⼊胜，奇妙⽆穷。

它就是数阵，⼀座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的⼈有着极⼤的吸引⼒，以⾄有些⼈留连其中，⽤毕⽣的精⼒来研究它的变化，就连⼤数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察上⾯两个图：右图（1）中有3个⼤圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右图（2）就更有意思了，1～9九个数字被排成三⾏三列，每⾏的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对⾓线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

上⾯两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将⼀些数按照⼀定要求排列⽽成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是⼀件容易的事情。

我们还是先从如何来填好数阵图开始。

如何填好数阵图?
数阵图问题千变万化，这⼀类问题要求数阵中填⼊了⼀些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这⼀类问题可以按以下步骤解决问题：
第⼀步：区分数阵图中的普通点（或⽅格），和交叉点（⽅格）
第⼆步：在数阵图的少数关键点（⼀般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.
第三步：判断少数关键点上可以填⼊的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系
区域）和.
第四步：运⽤已经得到的信息进⾏尝试：
数阵图还有⼀类题型⽐较少见，解决这⼀类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，
找出问题关键.
【授课批注】
数阵图问题千变万化，⼀般没有特定的解法，往往需要综合运⽤掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：
1.引导学⽣从整体到局部对问题进⾏观察和判断；
2.教授巧妙利⽤容斥原理、余数的性质、整除性质的数学⽅法；
3.锻炼学⽣利⽤已知信息枚举，尝试的能⼒；
4.培养学⽣综合运⽤各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能⼒.
⼆、什么是幻⽅？
同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在⼤禹治⽔的年代，陕西的洛⽔经常⼤肆泛滥，⽆论怎样祭祀河神都⽆济于事，每年⼈们摆好祭品之后，河中都会爬出⼀只⼤乌龟，乌龟壳有九⼤块，横着数是3⾏，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有⼏个点点，正好凑成1⾄9的数字，可是谁也弄不清这些⼩点点是什么意思.⼀次，⼤乌龟⼜从河⾥爬上来，⼀个看热闹的⼩孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于⼗五！”于是⼈们赶紧把⼗五份祭品献给河神，说来也怪，河⽔果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻⽅”，由于它有3⾏3列，所以叫做“三阶幻⽅”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻⽅.如下图：
三、如何解决幻⽅问题？
幻⽅是指横⾏、竖列、对⾓线上数的和都相等的数的⽅阵，具有这⼀性质的3×3的数阵称作三阶幻⽅，4×4的数阵称作四阶幻⽅，5×5的称作五阶幻⽅……
如图为三阶幻⽅、四阶幻⽅的标准式样，
三阶幻⽅的中⼼位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横⾏、竖列、对
⾓线上数和的三分之⼀.
解决数表类问题中，⾸先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从⽽找出解决问题的关键.
知识梳理
98
76
53421
98765
4321
（⼀）封闭型数阵问题（⼆）辐射型数阵（三）其它类型的数阵图（四）幻⽅
例题精讲
【试题来源】
【题⽬】将1～6填⼊左下图的六个○中，使三⾓形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围.
k=9 k=10 k=11 k=12
【题⽬】⼩猴聪聪有⼀天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填⼊图中，使得每个⼩三⾓形3个顶点上的数字之和为图中所表⽰的数值，你能做到吗？
【题⽬】图中的6条线分别连接着9个圆圈，其中⼀个圆圈⾥的数是6．请你选9个连续⾃然数(包括6在内)填⼈圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．
65
43
2
1
6
5
4
32
1
6
5
4
3
2
16
5
4
32
1
6
【题⽬】⼩兔⼦在森林玩耍，遇到⼀个画着奇怪图形的树桩，上⾯写着：把10⾄20这11个数分别填⼊下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中⼼圆内填的数相等，那么就视为同⼀种填法，请写出所有可能的填法，⼩兔⼦发了愁，你能帮它吗？
【题⽬】海豚是很聪明的动物，它能将1～9填⼊右下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于⼩、中、⼤圆周上，你能做到吗？
【题⽬】在下图中的10个○内填⼊0～9这10个数字，使得循环式成⽴：
【题⽬】请在图中的每个圆圈内填⼊不同的⾃然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上⼀⾏与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下⾯的数是20．
+
=
=
=
=
=
--
--20
【题⽬】请你将2～10这九个⾃然数填⼊图中的空格内每⾏、每列、每条对⾓线上的三数之和相等.
【题⽬】请你将1～25这⼆⼗五个⾃然数填⼊图中的空格内每⾏、每列、每条对⾓线上的五数之和相等.
【题⽬】将九个数填⼊左下图的九个空格中，使得任⼀⾏、任⼀列以及两条对⾓线上的三个数之和都等于定数k，则中⼼⽅格中的数必为k÷3
【题⽬】在下图的九个⽅格中填⼊不⼤于12且互不相同的九个⾃然数（其中已填好⼀个数），使得任⼀⾏、任⼀列及两条对⾓线上的三个数之和都等于21.
【题⽬】将前9个⾃然数填⼊右图的9个⽅格中，使得任⼀⾏、任⼀列以及两条对⾓线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个⾃然数在图中的位置也相邻.
【题⽬】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填⼊3×3阵列中的九个⽅格，使第⼆⾏组成的三位数是第⼀⾏组成的三位数的2倍，第三⾏组成的三位数是第⼀⾏组成的三位数的3倍.
【题⽬】在⼀个3×3的⽹格中填⼊9个数使得每⼀横⾏、竖⾏、对⾓线上三个数的乘积相等.
习题演练
【题⽬】将1～7这七个数分别填⼊图中的○⾥，使每条直线上的三个数之和都等于12。

【题⽬】如图，将3～9这七个数分别填⼊图的○⾥，使每条直线上的三个数之和等于20。

【题⽬】将1～11这⼗⼀个数分别填⼊图的○⾥，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能⼤。

【题⽬】（⼗⼀届“迎春杯”决赛）如图，九个⼩正⽅形内各有⼀个两位数，⽽且每⾏、每列及两条对⾓线上的三个整数的和相等．那么X=____．
【题⽬】在图中的每个空格内填⼊⼀个数，使得每⾏、每列及两条对⾓线上的3个⽅格中的各数之和都等于19．95．那么，标有*的格内所填的数是多少?
【题⽬】将⾃然数1⾄9分别填在如图所⽰的3×3⽅格表内，使得每⾏、每列及两条对⾓线上的数满⾜：两端的两个数之和减去中间的数，结果都等于5．
【题⽬】如图，横、竖各有12个⽅格，每个⽅格内都有⼀个数．已知横⾏上任意3个相邻数之和为20，竖列上任意3个相邻数之和为2l ，并且其中4个⽅格内的数分别是3，5，8和x ．那么x 所代表的数是多少?
8
3x
5。