高三数学-2024年全国普通高中九省联考仿真模拟数学试题(二)(解析版)

2024年高考仿真模拟数试题（二）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.从小到大排列的数据1,2,3,,4,5,6,7,8,,9,10x y 的第三四分位数为（）
A.3
B.
32
x + C.8
D.
82
y +【答案】D 【解析】
【分析】由百分位数的估计方法直接求解即可.
【详解】1275%9⨯= ，∴该组数据的第三四分位数为82
y
+.故选：D.
2.若椭圆22
:1(0)9
+=>x y C m m 上一点到C 的两个焦点的距离之和为2m ，则m =（
）
A.1
B.3
C.6
D.1或3
【答案】B 【解析】
【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.
【详解】若9m >，则由2=m 得1m =（舍去）；若09m <<，则由26m =得3m =．故选：B .
3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3510a a +=-，642S =-，则10S =（）
A.12
B.10
C.16
D.20
【答案】B 【解析】
【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，在利用等差数列的求和公式可求得10S 的值.
【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()35111242610a a a d a d a d +=+++=+=-，①
61165
6615422
S a d a d ⨯=+
=+=-，②
联立①②可得117a =-，4d =，因此，()1011109
1010451017454102
S a d a d ⨯=+=+=⨯-+⨯=.故选：B ．
4.同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（）
A.32种
B.128种
C.64种
D.256种
【答案】C 【解析】
【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去两类，利用分类计数原理求解.
【详解】若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有52种去法；若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有52种去法．故一共有552264+=种去法．故选：C .
5.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D --为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C 【解析】
【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，因为二面角A BC D --为直二面角，可得平面ABC
⊥平面BCD ，
又因为平面ABC ⋂平面BCD BC =，DC BC ⊥，且DC ⊂平面BCD ，
所以DC ⊥平面ABC ，所以①正确；
对于②中，由DC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，可得AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以②正确；
对于③中，由AB ⊥平面ACD ，且AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ，所以③正确；对于④，中，因为DC ⊥平面ABC ，且DC ⊂平面BCD ，可得平面ABC
⊥平面BCD ，
若平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =，可得AB ⊥平面BCD ，又因为BC ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，
因为AB 与BC 不垂直，所以矛盾，所以平面ABD 和平面BCD 不垂直，所以D 错误.故选：C.
6.已知点P 在圆22(1)1x y -+=上，点A 的坐标为(,O -为原点，则AO AP ⋅
的取值范围是（）
A.
[]
3,3- B.
[]3,5 C.[]1,9 D.
[]
3,7【答案】D 【解析】
【分析】设(),P x y ，利用平面向量数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可得结果.
【详解】设(),P x y ，因点A 的坐标为(-，所以((1,,1,AO AP x y ==+-
，
则14AO AP x y x ⋅=+--=-+
，
设4t x =+，即()33433
y x t =
+-，依题意，求t 的范围即求直线)33
433
y x t =
+-与圆22(1)1x y -+=有公共点时在y 轴上截距的范围，即圆心()1,0到()
33
433
y x t =
+-的距离512t d -=≤，解得37t ≤≤，
所以AO AP ⋅
的取值范围为[]3,7，故选：D.
7.
若)
sin s ()2in x x x f x =-，且()()123f x f x =-，则12x x -的最小值为（
）
A.π
B.
π
2
C.2π
D.
π4
【答案】B 【解析】
【分析】化简()f x 解析式，得函数最大最小值与周期，利用()()123f x f x =-条件转化为与最值的关系，再由最值与周期的关系可得.
【详解】)
si o (n )2s sin x
x x
f x =-
222sin x x =
-2cos 21
x x =+-2sin 216x π⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭，()f x 的周期为πT =，且
令sin 26t x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则[]1,1t ∈-，
则()()21f x g t t ==-，由()g t 的值域为[]3,1-，故max min ()1,()3f x f x ==-，
则123()1
3()1f x f x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，故()()1239f x f x -≤≤，由()()123f x f x =-知，12()1()3f x f x =⎧⎨=-⎩，或21()1
()3f x f x =⎧⎨=-⎩
.
即12(),()f x f x 为函数的最大与最小值，或最小与最大值，当12,x x 对应()f x 图象上相邻两最值点时，12x x -的值最小，故12min
π
22
T x x -=
=.故选：B.
8.如图，已知12,F F 是双曲线22
:221x y C a b
-=的左､右焦点，,P Q 为双曲线C 上两点，满足12F P F Q ∥，且
2213F Q F P F P ==，则双曲线C 的离心率为（
）
A.
105
B.
52
C.
153
D.
102
【答案】D 【解析】
【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得t a =，进而可得11290F P Q F PF ∠∠=='
，结合勾股定理运算
求解.
【详解】延长2QF 与双曲线交于点P '，
因为12F P F P '∥，根据对称性可知12F P F P ='，设21F P F P t ='=，则223F P F Q t ==，可得2122F P F P t a -==，即t a =，
所以44P Q t a ='=，则1225QF QF a a =+=，123F P F P a =='，即222
11P Q F P QF ''+=，可知11290F P Q F PF ∠∠=='
，
在12P F F ' 中，由勾股定理得222
2121F P F P F F ''+=，即()2
2234a a c =+，解得10
2
c e a ==
.故选：D.
【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b
用a ，c 代换，求c
e a
=
的值；2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.设复数1
i
z a b =
+（,R a b ∈且0b ≠），则下列结论正确的是（）
A.z 可能是实数
B.z z =恒成立
C.若2R z ∈，则0a =
D.若1
R z z
+
∈，则1z =【答案】BCD 【解析】
【分析】根据复数的运算和复数的类型的概念求解即可.【详解】对于A ：若222222
1i i i a b a b
z a b a b a b a b -=
==-++++是实数，则0b =，与已知矛盾，故A 错误；对于B ：由A 项知2222
i
a b z a b a b =
+++，
所以z =，
z z ==，故B 正确；对于C ：若()()()
2
2
2
2
2
2
2
22
22
22i a b ab
z a
b
a
b
a
b
=
-
-
=
+++()()
22
2
2
2
22
22i a b ab
a
b
a
b
--
∈++R ，
则
()
2
2
220ab
a
b
=+，因为0b ≠，所以0a =，故C 正确；
对于D ：11i z a z a b +
=++2222i i a b b a b a b a b ⎛⎫⎛
⎫+=++-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝
⎭R ，则22
0b
b a b
-
=+，因为0b ≠，所以221a b +=，
所以1z ==，故D 正确．故选：BCD ．
10.在ABC 中，若tan sin 2
A B
C +=，则下列结论正确的是（）
A.
tan 1tan A
B
=
B.0sin sin A B <+≤
C.22sin cos 1A B +=
D.222cos cos sin A B C
+=【答案】BD 【解析】【分析】由tan
sin 2
A B
C +=化简得到90C =︒，再逐项判断.【详解】解：由cos
12tan sin tan 2sin cos 22222tan sin 22
C
A B C C C C C C
π+⎛⎫=⇒-=== ⎪⎝⎭，因为π
0<22
C <，所以cos 02C ≠，
所以2212sin
12sin 0cos 09022
C C C C =⇒-=⇒=⇒=︒，所以1tan tan 2tan B A A π⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭，2tan tan tan A A B
=不一定为1，A 错；
因为()sin sin sin cos 45A B A A A +=+=
+︒，0904545135A A ︒<<︒⇒︒<+︒<︒，
∴
(
)(
)2
sin 4511452
A A <+︒≤⇒<+︒≤，
从而有0sin sin A B <+≤，所以B 正确，
又cos cos sin 2B A A π⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭
，所以222sin cos 2sin A B A +=也不一定等于1，C 错；而22222cos cos cos sin 1sin A B A A C +=+==，D 正确；故选：BD
11.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且()11f =-，则（）
A.()01f =
B.()f x 为奇函数C
.
()()()1220240
f f f +++= D.()2
2
11
2f x f
x ⎡
⎤⎛⎫⎡⎤++= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣
⎦
【答案】ACD 【解析】
【分析】采用赋值法为突破口，分析函数的有关性质.【详解】对A ：令1x =，0y =，则()()()21210f f f =，因为()11f =-，所以()01f =，故A 正确；
对B ：令0x =得：()()()()20f y f y f f y +-=，结合()01f =可得()()f y f y =-，所以()f x 为偶函数，故B 错误；
对C ：令1y =可得：()()()()1121f x f x f x f ++-=，因为()11f =-，所以()()()112f x f x f x ++-=-⇒()()()()11f x f x f x f x ⎡⎤++=-+-⎣⎦，进一步可得：()()()()211f x f x f x f x ⎡⎤+++=-++⎣⎦，又()01f =，()11f =-，故()()010f f +=，故()()120f f +=，依次有
()()()()()()()()233420222023202320240f f f f f f f f +=+==+=+= ,
所以()()()()()123···20232024010120f f f f f +++++=⨯=，故C 正确；
对D ：令x y =可得：()()()2
202f x f f x ⎡⎤+=⎣⎦⇒()()2
212
f x f x +⎡⎤=
⎣⎦;
用12x +代替x ，y 得：()()2
121022f x f f
x ⎡
⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦⇒()2
211122f x f x ++⎡⎤
⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，结合C 的结果，可得：()2
2
12f x f
x ⎡⎤⎛
⎫⎡⎤++= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭⎣
⎦()()22122f x f x +++()()01212f f ++==，故D 正确.故选：ACD
【点睛】关键点睛：如何赋值是解决问题的关键.AB 相对简单，对C ，令1y =得到
()()()()11f x f x f x f x ⎡⎤++=-+-⎣⎦后进一步可得到数列相邻项之间的关系，
可求结果，对D ，用x y =和用1
2
x +
代替x ，y 是解决问题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若关于x 的不等式()2
020ax bx c a ≤++≤>的解集为{}
13x x -≤≤，则32a b c ++的取值范围是
__________．【答案】3,42
⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出a 的取值范围，最后32a b c ++都表示成a 的形式即可.
【详解】因为不等式()2
020ax bx c a ≤++≤>的解集为{}
13x x -≤≤，
所以二次函数()2
f x ax bx c =++的对称轴为直线1x =，
且需满足()()()123210f f f ⎧-=⎪=⎨⎪≥⎩
，即2
9320
a b c a b c a b c -+=⎧⎪
++=⎨⎪++≥⎩，解得232b a c a =-⎧⎨=-+⎩，
所以123202a b c a a a a ++=--+≥⇒≤
，所以10,2a ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，所以332326445,42a b c a a a a ⎡⎫
++=--+=-∈⎪⎢⎣⎭
.
故答案为：3,42
⎡⎫⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解.
13.已知直三棱柱1111,,2,2ABC A B C AB BC AC AB A C -⊥==，则三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为__________；此时棱柱的高为__________.【答案】①.
2
3
②
.
3
【解析】
【分析】利用直三棱柱的特征、体积公式结合导数求单调性及最值计算即可.
【详解】
如图所示，不妨设AB x =，由题意则())12,,0,1AC x BC AA x ===∈，
则1
2
V x =
=令()()()()()2
2
2
10,123f t t t t x f t t t
=-⨯=∈⇒=-'，
则213t >>
时，()0f t '<，2
03t >>时，()0f t '>，即()f t 在20,
3⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递增，在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，
则()max max 24
2327
3f t f V ⎛⎫==⇒=
⎪
⎝⎭，
此时21223
33
t x AA ==
⇒===
.故答案为：
23；233
.14.已知正实数,,,a b c d 满足210a ab -+=，221c d +=，则当22()()a c b d -+-取得最小值时，
ab =__________．
【答案】212
+【解析】
【分析】将22()()a c b d -+-转化为(),a b 与(),c d 两点间距离的平方，进而转化为(),a b 与圆心()0,0的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.
【详解】可将22()()a c b d -+-转化为(),a b 与(),c d 两点间距离的平方，由210a ab -+=，得1b a a
=+
，而221c d +=表示以()0,0为圆心，1为半径的圆，(),c d 为圆上一点，则(),a b 与圆心()0,0的距离为：
==≥=，
当且仅当2
212a a =
，即a =时等号成立，此时(),a b 与圆心()0,0的距离最小，即(),a b 与(),c d 两点间距离的平方最小，即22()()a c b d -+-取得最小值.
当a =
时，22112
ab a =+=+，
故答案为：
12
+.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将问题转化为圆221c d +=上的点到1
b a a
=+上的点的距离的最小值的求解问题，进而求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知函数()()2
12ln 212
f x x ax a x =+
-+.（1）若曲线()y f x =在()()
1,1f 处切线与x 轴平行，求a ；（2）若()f x 在2x =处取得极大值，求a 的取值范围.
【答案】（1）1（2）1,2⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭
【解析】
【分析】（1）先对()f x 求导，利用导数的几何意义即可得解；
（2）分类讨论a 的取值情况，利用导数分析()f x 的单调情况，从而得到其极值情况，由此得解.【小问1详解】因为()()()2
12ln 2102
f x x ax a x x =+
-+>，所以()()()()()2212122
21ax a x ax x f x ax a x x x
-'++--=+-+==
，因为曲线()y f x =在()()
1,1f 处切线与x 轴平行，所以()()()112101
a f --'=
=，解得1a =，
又()15
13022
f =
-=-≠，所以1a =.【小问2详解】
()f x 的定义域为()0,∞+，()()()12ax x f x x
--'=
，
①当0a =时，令()0f x ¢>，得02x <<，令()0f x '<，得2x >，()f x \在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减.()f x \在2x =处取得极大值，满足题意；
②当a<0时，令()0f x ¢>，得02x <<，令()0f x '<，得2x >，()f x \在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减.()f x \在2x =处取得极大值，满足题意；
③当0a >时，（i ）当1
2a =
时，()12,0f x a =≥'所以()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 无极值，不满足题意；（ii ）当12a >
时，1
2a
<，令()0f x '<，得
1
2x a <<，令()0f x ¢>，得10x a
<<或2x >.()f x \在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()f x \在2x =处取得极小值，不满足题意；
（iii ）当102a <<
时，1
2a
>，令()0f x '<，得12x a <<，令()0f x ¢>，得02x <<或1
x a
>.
()f x \在()0,2上单调递增，在12,
a ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增.
()f x \在2x =处取得极大值，满足题意；
综上所述，a 的取值范围为1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
.
16.盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球．不放回．
（1）若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次．记摸出的红球个数为X ．求随机变量X 的分布列和数学期望．
（2）若A 盒中有4个红球和4个白球，B 盒中在2个红球和2个白球．现甲、乙、丙三人依次从A 号盒中摸出一个球并放入B 号盒，然后丁从B 号盒中任取一球．已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率．
【答案】（1）分布列见解析；期望为34
（2）
44
49
【解析】
【分析】（1）列出X 的所有可能的值，求出对应的概率，可得分布列，并求期望.（2）用条件概率公式求解.【小问1详解】
X 可取0，1，2.且：()11541187C C 50C C 14P X ===，()1123521187C C A 151C C 28P X ===，()11
32
11
87
C C 32C C 28P X ===.所以X 的分布列为：
X
012
P
5
141528328
则：153********
EX =⨯
+⨯=.【小问2详解】
设事件D =“丁取到红球”，事件E =“甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.
当甲、乙、丙三人取得1个白球，则丁取到红球的概率为111
434
1118763C C C 4C C C 7⨯；
当甲、乙、丙三人取得2个白球，则丁取到红球的概率为111
443
1118763C C C 3C C C 7⨯；
当甲、乙、丙三人取得3个白球，则丁取到红球的概率为111432
111876C C C 2C C C 7⨯；
当甲、乙、丙三人取得3个红球，则丁取到红球的概率为111432
111876C C C 5C C C 7
⨯；
则所求概率为：
()()()|P DE P E D P D =111111111
434443432
111111111
876876876111111111111434433432432111
111111111876
8768768763C C C 3C C C C C C 432C C C 7C C C 7C C C 744
3C C C 3C C C 3C C C 3C C C 543249
C C C 7C C C 7C C C 7C C C 7⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯.
17.在梯形ABCD 中，AB CD ，
π
3
BAD ∠=，224AB AD CD ===，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图1）.将ACD 沿AC 折起到ACD '△位置，使得平面D AC '⊥平面BAC （如图2）
.
（1）求二面角A BD C '--的余弦值；
（2）线段PD '上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD '
所成角的正弦值为8
若存在，求出PQ PD '的值；
若不存在，请说明理由.【答案】17.7
7
-18.存在，1
3
PQ PD '=【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量求解；
（2）设()'01PQ PD λλ=≤≤ ，表示出CQ
，利用向量的夹角公式代入列式，即可得解.
【小问1详解】
因为在梯形ABCD 中，//AB CD ，224AB AD CD ===，π
3
BAD ∠=，P 为AB 的中点，所以，//CD PB ，CD PB =，
所以ADP △是正三角形，四边形DPBC 为菱形，可得AC
BC ⊥，AC DP ⊥，
而平面'D AC ⊥平面BAC ，平面'D AC ⋂平面BAC AC =，
'D O ⊂平面'D AC ，'D O AC ⊥，
'D O ∴⊥平面BAC ，所以OA ，OP ，'OD 两两互相垂直，
如图，以点O 为坐标原点，OA ，OP ，'OD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
则)
A
，()C
，(
)2,0B ，()'0,0,1D ，()0,1,0P
，
()'
AD ∴=
，()AB =-
，)'
2,1BD =-
，)
'CD =
，
设平面'
ABD 的一个法向量为()111,,m x y z =
，则
00m AD m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩
，即11110
20z y ⎧+=⎪⎨
-+=⎪⎩，令11x =
，则11y z ==
，(m ∴=
，
设平面'
CBD 的一个法向量为()222,,x n y z =
，则
00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩''
，即2222220
0y z z -+=+=，令21x =，则20y =
，2z =
(1,0,n ∴=
，
1107cos ,7m n m n m n
⨯++⋅∴==-
，
所以二面角'A BD C --的余弦值为7
7
-
.【小问2详解】
线段'PD
上存在点Q ，使得CQ 与平面'BCD 所成角的正弦值为
8
.设()'
01PQ PD λλ
=≤≤ ，因为)
CP = ，()
'0,1,1PD =-
，所以
)
',CQ CP PQ CP PD λλλ=+=+=
-
，
设CQ 与平面'BCD 所成角为θ
，则
6sin cos ,8CQ n CQ n CQ n λθ⋅-=== ，
即23720λλ-+=，01λ≤≤ ，解得1
3
λ=，所以线段'PD 上存在点Q ，且
'
13PQ PD =，使得CQ 与平面
'BCD 所成角的正弦值为8
.18.已知抛物线24y x =
，顶点为O ，过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点．
（1）如图1所示，已知8AB =|，求线段AB 中点到y 轴的距离；
（2）设点P 是线段AB 上的动点，顶点O 关于点P 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值；（3）如图2所示，设D 为抛物线上的一点，过D 作直线DM ，DN 交抛物线于M ，N 两点，过D 作直线
DP ，DQ 交抛物线于P ，Q 两点，且DM DN ⊥，DP DQ ⊥，设线段MN 与线段PQ 的交点为T ，求
直线OT 斜率的取值范围．【答案】（1）3
（2）4
（3）11,22⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的性质求解即可；
（2）由题意可知四边形OABC 的面积等于2AOB S △，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理和
341
222
AOB S OF y y =醋-V 求解即可；
（3）设D 点坐标为()
2,2a a ，将抛物线方程与直线DM ，DN 联立，利用韦达定理将点M 和点N 坐标用
a 表示，进而可得到直线MN 的方程，证明直线MN 过定点即可求解.
【小问1详解】
因为过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，且8AB =，
设()11,A x y ，()22,B x y ，
由抛物线的性质可得1228x x AB ++==，所以126x x +=，
所以线段AB 中点的横坐标，即为线段AB 中点到y 轴的距离为12
32
x x +=.【小问2详解】
由点C 与原点O 关于点P 对称，可知P 是线段OC 的中点，
所以点O 与点C 到直线l 的距离相等，所以四边形OABC 的面积等于2AOB S △，设直线l 的方程为1x my =+，联立2
14x my y x
⎧=+⎨
=⎩，消去x 可得2440y my --=，
设()33,A x y ，()44,B x y ，由韦达定理可得344y y m +=，344y y =-，
所以341222
AOB S OF
y y =醋-==V ，
当0m =时，四边形OABC 的面积取最小值为4．【小问3详解】
设D 点坐标为()
2,2a a ，M 点坐标为(),M M x y ，N 点坐标为(),N N x y ，
由题意可知直线DM 的斜率k 存在，且不为0，
则直线DM 的方程为(
)2
2y a k x a -=-，与抛物线24y x =联立，消去x 得224840a y y a k
k
-+-=，
由韦达定理可得42M a y k +=
，解得4
2M y a k
=-，直线DN 的方程为()21
2y a x a k
-=-
-与抛物线24y x =联立，消去x 得224840y ky ka a +--=，由韦达定理可得24N a y k +=-，解得42N y k a =--，显然直线MN 斜率不为零，
当直线MN 斜率存在时，直线MN 的方程为()()()()
22
44M M M M
N M N M N M N M N M x x x x y y x x y y x x y y y y y y ----===---+-，整理得：4N M
N M
x y y y y y +=+，
将4
2M y a k
=
-，42N y k a =--代入MN l 得：()()22222
4424244222411242x a k a k x a kx k a ak a k k
y a ak k ak k a k a k
骣÷ç+---÷ç÷--ç--++桫===-+-------，所以直线MN l 过定点(
)2
4,2a a +-，即T 点坐标为(
)
2
4,2a a +-，直线OT 的斜率为2
24OT a
k a
=-
+，当0a >
时，
2
1
042a a
>-
³--
+，当且仅当4
a a
=，即2a =时，等号成立，
当a<0时，
21
042a a <
≤=--，当且仅当4a a -=-，即2a =-时，等号成立，当0a =时，0OT k =，
当直线MN 的斜率不存在时，设M 点坐标为()
2,2t t ，N 点的坐标为()
2,2t t -，
则(
)22
,22DM t a t a =--uuu u r ，()22,22DN t a t a =---uuu r ，且根据题意220t a -≠，所以()()2
222240DM DN t a t a ×=---=uuu u r uuu r ，解得224t a =+，
所以直线MN 的方程为24x a =+过点(
)
2
4,2a a +-，综上所述，直线OT 斜率的取值范围为11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦.
【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11,A x y ，()22,B x y ；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x 或y 的一元二次方程；（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为12x x +，12x x 形式；（5）代入韦达定理求解.
19.已知无穷数列{}n a 满足{}{}1212max ,min ,(1,2,3,)n n n n n a a a a a n ++++=-= ，其中max{,}x y 表示x ，y 中最大的数，min{,}x y 表示x ，y 中最小的数.（1）当11a =，22a =时，写出4a 的所有可能值；
（2）若数列{}n a 中的项存在最大值，证明：0为数列{}n a 中的项；
（3）若0(1,2,3,)n a n >= ，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.【答案】（1）{1,3,5}（2）证明见解析（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义知0n a ≥，讨论32a >、32a <及34,a a 大小求所有4a 可能值；
（2）由0n a ≥，假设存在*
0N n ∈使0n n a a ≤，进而有000012max{,}n n n n a a a a ++≤≤，可得
0012min{,}0n n a a ++=，即可证结论；
（3）由题设1n n a a +≠(2,3,)n =，令1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅求证n a M >即可判断存在性.【小问1详解】
由{}{}1212max ,min ,0n n n n n a a a a a ++++=-≥，133max{2,}min{2,}1a a a =-=，若32a >，则321a -=，即33a =，此时244max{3,}min{3,}2a a a =-=，当43a >，则432a -=，即45a =；当43a <，则432a -=，即41a =；
若32a <，则321a -=，即31a =，此时244max{1,}min{1,}2a a a =-=，当41a >，则412a -=，即43a =；当41a <，则412a -=，即41a =-（舍）；综上，4a 的所有可能值为{1,3,5}.【小问2详解】
由（1）知：0n a ≥，则{}12min ,0n n a a ++≥，
数列{}n a 中的项存在最大值，故存在*
0N n ∈使0n n a a ≤，(1,2,3,)n = ，
由00000000121212max{,}min{,}max{,}n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-≤≤，所以0012min{,}0n n a a ++=，故存在00{1,2}k n n ∈++使0k a =，所以0为数列{}n a 中的项；【小问3详解】
不存在，理由如下：由0(1,2,3,)n a n >= ，则1n n a a +≠(2,3,)n =，设1{|,1}n n S n a a n +=>≥，
若S =∅，则12a a ≤，1i i a a +<(2,3,)i = ，对任意0M >，取11
[
]2M
n a =+（[]x 表示不超过x 的最大整数），当1n n >时，112322
()()...()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+23121...(1)n n a a a a n a M --=++++≥->；
若S ≠∅，则S 为有限集，
设1max{|,1}n n m n a a n +=>≥，1m i m i a a +++<(1,2,3,)i = ，对任意0M >，取21
[
]1m M
n m a +=++（[]x 表示不超过x 的最大整数），当2n n >时，112211
()()...()n n n n n m m m a a a a a a a a ---+++=-+-++-+2311...()n n m m m a a a a n m a M --++=++++≥->；
综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤.
【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定1n n a a +≠(2,3,)n =，并构造集合1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.。