2023年高职单独招生考试数学试卷(答案) (4)

2023年对口单独招生统一考试
数学试卷
（满分120分，考试时间90分钟）
一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.若O 为⊿ABC 的内心，且满足(OB －OC )•(OB +OC －2OA )=0（）A．等腰三角形
B．正三角形
C．直角三角形D．以上都不对
2.设有如下三个命题（）甲：m∩l =A,m、l ⊂
,m、l ⊄
；
乙：直线m、l 中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交。

当甲成立时，乙是丙的
条件。

A．充分而不必要B．必要而不充分C．充分必要
D．既不充分又不必要
3.⊿ABC 中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C 的大小为（）A．
6
π
B．
6
5πC．6
π或
6
5πD．3
π或
3
2π4.等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是（）A．S 球>S 正方体
B．S 球<S 正方体
C．S 球=S 正方体
D．S 球=2S 正方体
5.若连结双曲线22a x －22
b
y =1与其共轭双曲线的四个顶点构成面积为S 1的四边形，连结四个焦
点构成面积为S 2的四边形，则2
1
S S 的最大值为（）
A．4
B．2
C．
2
1D．
4
16.若干个正方体形状的积木按如图所示摆成塔形，上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底各边的中点，最下面的正方体的棱长为1，平放在桌面上，如果所有正方体能直接看到的表面积超过7，则正方体的个数至少是（）
A．2B．3C．4D．6
7.关于x 的不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞，则关于x 的不等式0
2ax b
x +>-的解集为（
）
A．()2,1-B．(,1)(2,)-∞-⋃+∞C．（1，2）
D．(,2)(1,)
-∞-⋃+∞8．长方体1111ABCD A B C D -中，O 是AB 的中点，且1OD OB =，则()
A．1
AB CC =B．AB=BC C．145CBC ∠=︒
D.145BDB ∠=︒
9．已知集合{}{}0,2,1,1,0,1,2A B ==-，则A B ⋂=（）
A．{0,2}
B．{1,2}C．{0}D．{-2,-1,0,1,2}
10．圆
22
4230x y x y ++-+=的圆心坐标为（）
A．（4，-2）B．（2,1）C．（-2,1）D．(2,1)
二、填空题：（本题共3小题，每小题10分）1、已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为
、
，点P 是第一象限内
双曲线上的点，且
，tan∠PF2F1＝﹣2，则双曲线的离心率为_______．
2、记Sk＝1k+2k+3k+……+nk，当k＝1，2，3，……时，观察下列等式：S1n2
n，S2
n3
n2
n，
S3
n4
n3
n2，……S5＝An6
n5
n4+Bn2，…可以推测，A﹣B＝_______．
三、解答题：（本题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）1.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)当2000≤≤x 时，求函数)(x v 的表达式；
(2)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）
)()(x v x x f ⋅=可以达到最大？求出最大值.（精确到1辆/小时）
2.如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，
1130,,,BAC A A A C AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点.
（1）证明：EF BC ⊥；
（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值
.
3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个
12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．
（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；
（2）记,n c n *=
∈N
证明：12+.n c c c n *++<∈N 参考答案：一、选择题1-5题答案：ACABC 6-10题答案：BBCAC 二、填空题
1．∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，∴由正弦定理得，…①
又∵
，tan∠PF2F1＝﹣2，
∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cos∠F1PF2
，
△PF1F2中用余弦定理，得2PF1•PF2cos∠F1PF23，…②
①②联解，得，可得，
∴双曲线的，结合
，得离心率
故答案为：
2．根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，∴A
，A
1，解得B ，
所以A﹣B
．故答案为：．三、解答题
1.（1）解：因为当20020≤≤x 时，车流速度是车流密度x 的一次函数，
故设b kx v +=则⎩⎨
⎧+=+=b
k b k 20602000
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-=∴320031b k 3
20031+
-=∴x v 故
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-<≤=20020,3200
31200,60)(x x x x v （2）由（1）得
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=20020,)200(31
20
0,60)(x x x x x x f 当200<≤x 时，
)(x f 为增函数，1200
)(<x f 当20020≤≤x 时，
310000
)100(31)200(31)(2+
--=-=x x x x f 当100=x 时，最大值3333
=即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大约为3333辆/小时
)(x g 的减区间为)
0,(-∞2.如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，
1130,,,BAC A A A C AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点.
（1）证明：EF BC ⊥；
（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值
.
本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象
能力和运算求解能力。

满分15分。

方法一：
（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．
（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形．由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形．由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．
连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．不妨设AC =4，则在Rt△A
1EG 中，A 1E ，EG .由于O 为A 1G 的中点，故115
22
A G EO OG ==
=，所以2223cos 25
EO OG EG EOG EO OG +-∠=
=⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是3
5
．方法二：
（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .
又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．
如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz
．
不妨设AC =4，则
A 1
），B
，1，0），1B
，33
,,22
F ，C (0，2，0)．
因此，33
(,,22
EF =
，(BC = ．
由0EF BC ⋅=
得EF BC ⊥．
（2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．
由（1）可得1=(10)=(02BC A C - ，，
，．设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，
，由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
n n
，得0
y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，
取
n (11)=，故||4
sin |cos |=5
|||EF EF EF θ⋅==⋅
，n n n |，因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35
．
3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个
12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．
（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；
（2）记,n c n *=
∈N
证明：12+.n c c c n *++<∈N
本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能
力和综合应用能力。

满分15分。

（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得
11124,333a d a d a d +=+=+，
解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ．所以2*n S n n n =-∈N ，，
由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得
()
()()2
12n n n n n n S b S b S b +++=++．
解得()2
121n n n n b S S S d
++=
-．所以2*,n b n n n =+∈N ．
（2）*n c n =
==∈N ．我们用数学归纳法证明．
（i）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；
（ii）假设()*n k k =∈N
时不等式成立，即12k c c c +++< ．那么，当1n k =+
时，
121k k c c c c +++++<+<
<=．
即当1n k =+时不等式也成立．
根据（i）和（ii），不等式12n c c c +++< 对任意*n ∈N 成立．。