几何综合题

• （3）“请问，你在(1)中所得结论是否仍然 成立？若成立，请证明；若不成立，请说 明理由。”研究几何的本质内容：研究平 面图形在运动，变化过程中的不变性质和 不变量，在这个研究理论的支持下，几何 变换大行其道，因为几何变换作为一种现 代的数学思想方法，正是采用运动，变化 的观点来研究几何的，所以二者不谋而合。
B F
D
C E
A
E C L B F D
E K B O
A
J
C
F
• 总结：共边三角形面积之比等于共边线段 之比；构造相似法：基本型 ；对角互补的 四边形；一个角的两边如果和另一个角的 两边垂直，那么这两个角互补或者相等。
A
F
H B
j
D
G E
C
A
A
A
F
F
F
E
j
H
B
B
D
G E
C
B
D
C
C
H
A
F
H
B
D
A
D
E
B Q
C H
（2）如图，在△ABC A 和△PQD中，AC＝BC， DP＝DQ，∠C＝∠PDQ， D D、E分别是AB、AC的 E 中点，点P与B重合， Q 与点H重合。猜想线段 B(P) Q(H) EH与AC的数量关系， 并证明你的猜想。
C
（3）如图，在△ABC和 △PQD中，AC＝BC，DP ＝DQ，∠C＝∠PDQ，D、 E分别是AB、AC的中点， 点P在直线BC上，连接EQ 交PC于点H。猜想线段EH 与AC的数量关系，并证明 P 你的猜想。
P E
C
A
F
E B P D C
H
（4）
①当D在BC中点左侧上时，由题意可知：证明FC+CE=DC
D
D
D
N
M E F
E C2
F
E C
F
1C
A
F
F
K D E
B
H
PD
E C
C
（1）如图，在△ABC 和△PQD中，AC＝BC， DP＝DQ，∠C＝ ∠PDQ=60，D、E分别 是AB、AC的中点，点P 与B重合， Q与点H重 合。猜想线段EH与AC 的数量关系，并证明 你的猜想。
如何确定D, 三角形AEF 为等腰三角形，角EAF=2角BAC,与D 的位置无关，要EF 最短，那么等腰三角形的腰必最小，AF=AE=AD,AD最小即可。
y D
C
将ΔAOB绕点A逆时针旋转60° ，得到ΔAB'C，过点C作CDy 轴于点D，过点A作AEx轴于点E.则AOB=AB'C=150° ，所以 DB'C=EOA=30° ，所以ΔDB'CΔEOA. y-2 x 所以 = ，所以y= 3x+2. 3 1 x 3 或tanDB'C= = ，所以y= 3x+2. y-2 3
• 几何代数综合题：它包括：平面直角坐标 系，函数与图形问题。 涉及图形（图象） 的平移与变换（全等、相似、等积）；它 以几何为主体，以代数知识为工具（背 景），几何知识确定图形的形状，代数知 识作为研究工具来确定几何图形的位置。 它以线段的长度与点的坐标之间的转化为 核心，以分类、迁移等数学思想理念， 培 养学生的综合分析能力，发展智力
A E
M
D
G
G
B
例题1
C
B
例题1
C
• (3) 反之成立吗？
M D E B C F
解法2
A
• 例题2：（1）已知△ABC中，AB＝AC， ∠BAC＝90°，点D，E，F分别为BC，AB， AC的中点，判断：△DEF的周长与BC的大 小。 C
D
F
A
E
B
• （2）已知△ABC中，∠BAC＝90°，点D为 BC的中点，，E，F分别为AB，AC的点，结 论（1）还成立吗？说明理由
• （1）平移：常常通过特殊点添加平行线或者 利用中位线构造平行线，使得图中的某些线段 保长平行，使某些角平移到新的位置等。 • （2）对称：分两种中心对称和轴对称，包括 有：等腰三角形的底边上的高，一个角的角平 分线，线段中点的中心对称，平行四边形的中 心对称。一个图形关于某条直线“对折”，采 用轴对称，一条线段关于某点旋转180度，采 用中心对称。
• （3）作图构造：由已知条件，求证结论中 出现线段，角的和差倍分，可在图形中把 它们的具体关系构造出来，只要构造的得 当，往往有利于对问题的探索。（角平分 线，中点等问题） • （4）显现特殊性：通过连接辅助线，在图 形中构造特殊角，特殊线，特殊点及图形 的某些特殊性质等。
• 3. 解题的手段： • 从整体上看，可以理解把图形的一部分变换到 另一个位置，以此实现条件与结论的联系。常 用的变换包括：平移，对称，旋转，线段的等 比及等积移动，平移，对称，旋转是全等变换 不改变线段的长度与角度的大小，相似变换只 保留线段的比例关系，线段的长度会发生变化， 等积变形只是保留面积不变的情况下的形变， 此外，圆周角的问题等。
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• 以往的中考几何综合试题在问题的设置上：注重了 “开口宽，进门易”的设计，采用了“多问把关” 的形式，难度层次明显，解法多样，有利于对各类 不同档次学生的选拔。特别是在较难试题（23－25） 中层次安排有新的突破，每道题都有3分只要学生 认真审题，弄清题意，中等以上的学生都很容易得 到，第一小题难度不大，较容易完成。往后则难度 逐渐加大，解出题目的可能性也逐渐减小。其实， 题目中的第一小题的结论为完成后面小题起着铺垫、 引导作用。象这种在一道综合题中，前面小题的结 论、解题思路为解后面小题起铺垫、引导作用的关 系，它们之间往往存在一种递进关系。若用好这种 递进关系,是我们了解答压轴题的根基和动力之源。
（1）如图，在△ABC 和△PQD中，AC＝BC， A DP＝DQ，∠C＝ ∠PDQ=，D、E分别是 AB、AC的中点，点P与 D B重合， Q与点H重合。 猜想线段EH与AC的数 B(P) 量关系，并证明你的 猜想。
E Q(H) C
（3）如图，在△ABC和 △PQD中，AC＝BC，DP＝ DQ，∠C＝∠PDQ=60，D、 E分别是AB、AC的中点，点 P在直线BC上，连接EQ交 PC于点H。猜想线段EH与 P AC的数量关系，并证明你 的猜想。（AC=2EH）
几何综合题
北京20中学 何宏涛
解证几何问题
• 就是从已知出发，用形式逻辑的推理和量的计 算来探求新的，未知的结论。一句话，就是创 造条件实现已知向未知的转化，综合题是知识、 方法、能力综合型试题, 新课改下的中考综合 题更为突显创新能力.综合题是中考数学试题 的精华部分，具有知识容量大、解题方法活、 能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要 求学生具有一定的创新意识和创新能力等特点. 中考的区分度和选拔功能主要靠这类题型来完 成预设目标.
B' A E 0 1
B x
y
C
过点C作CDx轴于点D，将ΔBCD绕点C顺时针旋转60° ，得 到ΔACD'，延长D'A，交x轴于点E.则D'DE=AOE=30° ，所以 所以OA//DD'，EA=EO. 2 3 2 所以 = y 3 x+ 2 3 3 ，所以y= 3x+2.
D'
A E 0 1 D B x
C E
D
A
F
B
• (3) 在△ABC中，O 是AC上一点，P、Q 分别是AB、BC上一 点，∠A＝45°， ∠EDF＝135°， AC＝kAB，DC＝ mBD。试说明DE与 DF是数量关系.
C E
D
A
F
B
A
• (4)在（3）的基础上， 绕着D 点旋转∠EDF， 若果交点都在原三角 形两边的延长线上结 论还会改变吗？当D 点运动到BC的延长 线上，其它条件不变， 结论还成立吗？
C
C
D
D F
F
A
E
A
E
B
• （3）已知△ABC，请你作出 △DEF，点D， E，F分别在BC，AB，AC上，使得该三角形 A 周长最小。 A
Q F G E B C H M F Q M E
D
B
D
C
作法: 作D关于AB,AC的对称点E,F,连接EF 得到三角形DQM.因为定，所以EF确定。比较可知： 三角形DMQ周长最小。
• 例1：（1）已知：矩形ABCD，M为AD的中 点，BC=2AB连接BM ，判断：∠ABM与 ∠BMD的数量关系。 D • A D
A M
M
B
C
B
C
• （2）当矩形ABCD变成平行四边形ABCD， CE垂直AB于E，BC=2AB，判断：∠AEM与 ∠EMD的数量关系。
A E M D
B
C
A E
M
D
L F B
图3
E G C
延伸
• （1）在△ABC中，D 是BCC上一点，P、Q 分别是AB、BC上一点， ∠A＝45°，∠EDF ＝135°，AB＝AC， A DC＝DB。试说明DE 与DF是数量关系， •
C E
D
F B
EG
C
E
C
D A HF B
(1)
D A M F
（2）作角BDM=45度
B
• （2）在△ABC中，O 是AC上一点，P、Q 分别是AB、BC上一 点，∠A＝45°， ∠EDF＝135°，AC ＝kAB，DC＝BD。试 说明DE与DF是数量 关系.
• 例题4： （1）如图1，已知矩形ABCD中， 点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点 F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H， • 试证明CH=EF+EG; (2) 若点E在ＢＣ的延长 线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F， EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H， 则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关 系，直接写出你的猜想
题胆：等腰 三角形底边 上任意一点 到两腰的距 离之和等于 一腰的高
A H F B E
图1
D G C
A H F
D
B
图2
E C G
H
O G F
B E
C
H
O G F
B E
C
H
O G F
B E
C
H
O G F
B E
C
H
O G F
B E
C
P
H
O G F
Q
B E
C
• (3) 如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在 BD上，且BL=Bห้องสมุดไป่ตู้, 连结CL，点E是CL上任一 点, EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、 EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写 出你的猜想； A D
试题重组 变中求胜
• 1. 解证几何综合题的核心内容是：添加辅 助线。（沟通解题思路，架设已知条件与 未知结论之间的桥梁） • 作用体现在：（1）复杂问题转化成熟悉问 题（2）让图型的隐蔽关系显现（3）没直 接联系的元素产生联系。
• 2. 解题的原则： • （1）化繁为简：“繁化简，简驭繁”把复 杂图形转化成简单图形；把复杂问题分割 为若干简单问题；把不规则图形转化为规 则图形。 • （2）相对集中：把已知或者未知的元素集 中在同一个三角形或者两个相关的三角形 中（全等，相似），只要元素相对集中， 元素之间才便于比较，充分应用几何定理。
• （2） 命题方向的变化以及命题形式的变化 上：解答此题需要学生在理解题目要求的 前提下，对命题的结论作出判断并给与证 明。要求学生在已学过的相应知识的基础 上，需要学生阅读题目给出的相对于学生 来说是新知识的材料，并在理解的基础上 加以运用，以解决新问题。考查了学生自 己阅读材料获取新知识、学习理解新知识 和应用新知识的能力。（包括知识的应用 和解题方法的应用）
• （3）旋转：在等边或者特殊角的图形中， 将图形绕着一个点旋转一个特殊角，往往 使分散条件集中或者集中条件分散，显示 出若干新的联系。 • （4）线段的等比移动：包括平行线分线段 成比例及面积比与线段比的转化。 • （5）等积变形：三角形同底等高或者等底 等高，平行线的应用。
例题讲解 心路历程
中考几何综合题类型
• 纯几何综合题：它包括 • （1）圆与解直角三角形问题： • 利用圆的知识可以隐含直角，形成与直角三角形结 合的问题，其中包括阴影部分的面积，以及图形面 积问题(不能排除直线形问题）； • （2）图形的变换问题：这是一个可以独立形成综 合题问题的知识点。几何综合题以几何图形的位置 问题，元素之间的关系为核心，以直线或者圆为支 撑点，包括多个知识点，多种解题思想方法，多步 骤等特点，多为探讨几何本质：研究平面几何在运 动变化过程中的不变性质和不变量的科学。.
A
D
E
B H Q
C
A
D
E
P B QH
F
C
• （4）如图，在△ABC 和△PQD中，AC＝ kBC，DP＝kDQ，∠C ＝∠PDQ，D、E分别 是AB、AC的中点，点 P P在直线BC上，连接 EQ交PC于点H。猜想 线段EH与AC的数量关 系，并证明你的猜想。
常用的思想方法
• 1．转化思想、方程函数思想、数形结合思 想、分类讨论思想等 . • 2．综合法、分析法、面积法等.
解几何综合题的能力要求
• 1．阅读理解力、对条件的全面分析、转译 和改造的能力. • 2．化复杂为单一、综合为基本，善于联想 与转化的能力. • 3．捕捉信息的敏感性、善于处理信息、加 工信息的能力. • 4．恰当地分离与重组是解综合题的重要手 段和能力要求.