2019版高考数学理一轮总复习：第四章三角函数 作业20

题组层级快练(二十)
1．给出下列四个命题：
①－3π4是第二象限角；②4π
3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象
限角．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
答案 C
解析 ①中－3π4是第三象限角，故①错．②，4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角正确．③，
－400°＝－360°－40°，从而③正确．④，－315°＝－360°＋45°，从而④正确． 2．下列与9π
4的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A ．2k π＋45°(k ∈Z )
B ．k ·360°＋9
4π(k ∈Z )
C ．k ·360°－315°(k ∈Z )
D ．k π＋5π
4(k ∈Z )
答案 C
解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π
4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，
所以只有答案C 正确．
3．(2018·湖北襄阳联考)角α的终边在第一象限，则sin
α2|sin α2|＋cos α
2
|cos α2
|
的取值集合为( )
A ．{－2，2}
B ．{0，2}
C ．{2}
D ．{0，－2，2} 答案 A
解析 因为角α的终边在第一象限，所以角α
2的终边在第一象限或第三象限，所以sin
α
2|sin α
2
|
＋
cos
α2
|cos α2
|
＝±2.故选A. 4．若点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2
3
π弧长到达Q 点，则Q 的
坐标为( ) A ．(－12，3
2)
B ．(－32，－12)
C ．(－12，－32)
D ．(－
32，12
) 答案 A
解析 Q(cos 2π3，sin 2π3)，即Q(－12，32)．
5．已知tan α＝3
3
，且α∈[0，3π]，则α的所有不同取值的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B 解析 ∵tan α＝
3
3，且α∈[0，3π]，∴α的可能取值分别是π6，7π6，13π6，∴α的所有不同取值的个数为3.
6．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π
2
，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
答案 C
解析 当k ＝2n 时，2n π＋
π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π4≤α≤π
2
的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π＋π
4≤
α≤π＋π
2
的终边一样．
7．(2018·贵州遵义联考)已知倾斜角为α的直线过x 轴一点A(非坐标原点O)，直线上有一点P(cos130°，sin50°)，且∠APO ＝30°，则α＝( ) A ．100° B ．160° C ．100°或160°
D ．130°
答案 C
解析 因为P(cos130°，sin50°)即P(cos130°，sin130°)，所以∠POx ＝130°.因此α＝130°＋30°或130°－30°，即α＝160°或100°.故选C.
8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．2sin1 C.2sin1 D ．sin2
答案 C
解析 ∵2Rsin1＝2，∴R ＝
1sin1，l ＝|α|R ＝2sin1
，故选C. 9．(2018·湖北重点中学联考)sin3，sin1.5，cos8.5的大小关系为( ) A ．sin1.5<sin3<cos8.5 B ．cos8.5<sin3<sin1.5 C ．sin1.5<cos8.5<sin3 D ．cos8.5<sin1.5<sin3
答案 B
解析 因为0<sin3＝sin(π－3)<sin1.5，cos8.5＝cos(8.5－2π)<0，所以cos8.5<sin3<sin1.5.故选B.
10．在△ABC 中，若sinA ·cosB ·tanC<0，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 答案 B
解析 ∵△ABC 中每个角都在(0，π)内，∴sinA>0. ∵sinA ·cosB ·tanC<0，∴cosB ·tanC<0. 若B ，C 同为锐角，则cosB ·tanC>0. ∴B ，C 中必定有一个钝角． ∴△ABC 是钝角三角形．故选B.
11．－2 017°角是第________象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________． 答案 二，143°，－217°
解析 ∵－2 017°＝－6×360°＋143°，∴－2 017°角的终边与143°角的终边相同． ∴－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°.又是143°－360°＝－217°，故与－2 017°终边相同的最大负角是－217°.
12．有下列各式：①sin1125°；②tan 3712π·sin 3712π；③sin4
tan4；④sin|－1|，其中为负值的个
数是________． 答案 2
解析 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．对于①，因为1 125°＝1 080°＋45°，所以1 125°是第一象限角，所以sin1 125°>0；对于②，因为3712π＝2π＋1312π，则37
12π是第
三象限角，所以tan 3712π>0；sin 3712π<0，故tan 3712π·sin 37
12π<0；对于③，因4弧度的角在
第三象限，则sin4<0，tan4>0，故sin4
tan4<0；对于④，因π4<1<π2，则sin|－1|>0，综上，②③
为负数．
13．(2018·沧州七校联考)若600°角的终边上有一点P(－4，a)，则a 的值为________． 答案 －4 3
解析 tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝3＝a
－4，∴
a ＝－4 3.
14．若0≤θ≤2π，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是________． 答案 [0，π4]∪(π2，54π]∪(3
2
π，2π]
15．函数y ＝lg(sinx －cosx)的定义域为________． 答案 {x|π4＋2k π<x<5π
4
＋2k π，k ∈Z }
解析 利用三角函数线．如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使
sinx>cosx ，只需π4<x<5π4(在[0，2π]上)．所以定义域为{x|π4＋2k π<x<
5π
4＋2k π，k ∈Z }．
16．若α的终边落在x ＋y ＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α.
答案 －225°，－45°，135°，315°
解析 令－360°≤135°＋k·180°≤360°，k ∈Z ∴k ∈{－2，－1，0，1}．
∴相应的角为－225°，－45°，135°，315°.
17．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x(x ≥0)，求sin (α＋π
6)的值．
答案
1＋26
6
解析 由射线l 的方程为y ＝22x ，可得sin α＝223，cos α＝1
3
.
故sin (α＋π6)＝223×32＋13×12＝1＋26
6
.
1．(数学文化原创题)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中
《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝1
2
(弦×矢＋
矢2)．弧田(如图)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．
按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为2π
3，弦长
等于9米的弧田． (1)计算弧田的实际面积；
(2)按照《九章算术》中的弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少平方米？(结果保留两位小数)
答案 (1)9π－273
4
(平方米) (2)1.52(平方米)
解析 (1)扇形半径r ＝33，扇形面积等于12θ·r 2＝12×2π
3×(33)2＝9π(平方米)，
弧田面积＝12θr 2－12r 2sin 2π3＝9π－273
4
(平方米)．
(2)圆心到弦的距离等于12r ，所以矢长为1
2r ，按照上述弧田面积经验公式计算得
12(弦×矢＋矢2)＝12×(9×332＋274)＝274(3＋12)，9π－2734×2－27
8≈1.52(平方米)．。