四川省成都市石室中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)

成都石室中学2023-2024学年度下期高2026届四月月考
数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“()0,1x ∀∈，32x x <”的否定是（ ）
A.()0,1x ∀∈，32x x >
B.()0,1x ∀∉，32x x ≥
C.()00,1x ∃∈，3200x x ≥
D.()00,1x ∃∉，32
00x x ≥
2. 函数2ln ||
2
x y x =
+的图象大致为（ ） A. B.
C. D.
3. 设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.在四边形ABCD 中，(3,1)AC =-，(2,6)BD =，则该四边形的面积是( ) A ．40
B ．20
C ．10
D ．5
5.在平行四边形ABCD 中，点P 是线段AC 上一点，且满足2AP PC =，点E 是边BC 的中点， 则PE =（ ） A.1136AB AD -+ B.1163AB AD -+ C. 1163AB AD - D. 11
36
AB AD -
6.已知函数()32cos 2|f x x x =-，将函数()f x 的图象向右平移m (0m >)个单位后与函数
=)(x g 2|cos 2|x 的图象重合，则m 的最小值为（ ）
A ．
3π B.12π C.4π D.6
π
7.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222b c a bc +-=-，若内角A 的平分线交BC 于 点D ，2AD =，3b =，则c =（ ） A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
8.在边长为2的正三角形ABC 中，BC t BM =,CA t CN =，10≤≤t ,当MA NM ⋅取得最大值时，t =（ ） A.
13 B.16 C.12 D.1
4
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列函数中最小值为2的是（ ） A ．223y x x =++ B ．122x x y -=+
C ．1sin sin y x x
=+
D ．1ln ln y x x
=+
10．已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，(1,0)A ， 则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．123OA OP OP OP ⋅=⋅
D ．312OA OP OP OP ⋅=⋅
11.已知函数()sin 2cos2x x f x =+，则（ ）
A.函数()f x 的最小正周期为π
B.函数()f x 在,28ππ⎡⎤
--⎢⎥⎣
⎦上单调递增 C.对任意x R ∈，函数()f x 满足()()f x f x π+=- D.函数()f x 的最小值为2-
12.若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足2
4sin 22
A B
a a
b +=-，则（ ） A.角C 可以为锐角 B.tan 3tan C A = C.2222a b
c += D.角的最大值为
6
π
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且-a +4m b 与(3)m -a 8-b 共线，则实数m 的值为______． 14.已知函数()()()2cos 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则()0f =_________.
15.已知ππsin cos
3cos sin 1212αα=-且πsin cos π012127λαα⎛⎫⎛
⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则实数λ的值为________.
16.在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，22a c a b -=-且1b =，则ABC ∆面积的取值范围为_________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤.
17.（本题10分）设集合{}{}{}
2
2
3100,|221,,|9A x
x x B x a x a a C x x =--<=-≤≤+∈=<R ∣. （1）设全集U =R ，求(
)U
A C ；
（2）若A B A =，求实数a 的取值范围．
18．（本题12分）已知向量a ，b 满足|a |2=b |2=，且(a ＋b )·
(a －2b )2=. （1）求向量a 在向量b 方向上的投影向量； （2）求cos ,<+>2a b b 的值.
19．（本题12分）某海域的东西方向上分别有A ，B 两个观测点（如图），它们相距256船在D 点发出求救信号，经探测得知D 点位于A 点北偏东045方向，位于B 点北偏西075方向，这时位于B
点南偏西045方向且与点B 相距80海里的C 点有一救援船，其航行速度为35海里/小时． （1）求B 点到D 点的距离BD ；
（2）若命令C 处的救援船立即前往D 点营救，求该救援船到达D 点 需要的时间．
20．（本题12分）已知函数()()33
sin cos 022
f x x x ωωω=
->的图象的相邻两条对称轴的间距为2π，将
函数()f x 的图象上的每一个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的单调递增区间；
（2）若()3
3
g α=，求
6f πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值.
21．（本题12分）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，且
sin sin BD ABC a C ∠=.
（1）证明：BD ac =；
（2）若2
3
AD AC =，求tan ABC ∠的值.
22．（本题12分）已知定义域为R 的函数()h x 满足：对于任意的x ∈R ，都有()()()2π2πh x h x h =++，则称函数()h x 具有性质P .
（1）判断函数()2f x x =,()cos g x x =是否具有性质P ,并说明理由；
（2）已知函数()()3
5πsin ,2
22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，判断是否存在,ωϕ，使函数()f x 具有性质P ？
若存在，请求出,ωϕ的值；若不存在，请说明理由.
成都石室中学2023-2024学年度下期高2026届四月月考
数学 参考答案
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
13. 1或2 14.1 15. 12-
16. (82
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤.
17.（本题10分）
【解析】（1）由题意可得：{}{}2310025A x
x x x x =--<=-<<∣，则{2U
A x x =≤-或}5x ≥，
又{|33}C x x =-<<，所以
(
){}32U
A C x x =-<≤-．………………………………………4分
（2）由（1）可知：{}25A x x =-<<，因为A
B A =，可知B A ⊆，则有：………………5分
当B =∅时，可得221a a ->+，解得1
3
a <； ………………………………………………6分
当B ≠∅时，可得22121522
a a a a -≤+⎧⎪+<⎨⎪->-⎩，解得1
23a ≤<； ………………………………………………9分
综上所述：实数a 的取值范围为：{}|2a a <. ………………………………………………10分 18．（本题12分）
【解析】（1）因为()()
22a b a b +⋅-=，所以2222a a b b -⋅-=.
因为22a b ==，所以2222(2)2a b -⋅-⨯=，即 2a b ⋅=-.…………………………………2分 因为cos ,a b a b a b ⋅=<>，所以2cos<,>222
a b a b a b
⋅-=
=
=-⨯，
又因为0,πa b ≤<>≤，所以3π
,4
a b <>=
. ………………………………………………4分 所以向量a 在向量b 方向上的投影向量为：
1
cos ,a a b b b b
⋅<>=-.…………………………6分 （2）由（1）知，2a b ⋅=-，且||2,||2a b ==，
所以()222
(2)444442210a b a a b b +=+⋅+=⨯+⨯-+=，所以210a b +=.……………………9分
又因为()
2
222a b b a b b +⋅=⋅+=- ………………………………………………10分
()222,102a b b a b b a b b
+⋅-+>=
=⨯+⋅19．（本题12分）
【解析】（1）由题意知：256AB =，0009075
15DBA ∠=-=，000904545DAB ∠=-=， 所以0
000180
4515120ADB ∠
=--=， ………………………………………………2分
在ABD △中，由正弦定理可得：
sin sin BD AB DAB ADB =∠∠即0sin 45BD =
， ………………………………………………4分
所以50BD =
==(海里)；………………………………………6分
（2）在BCD △中，0000180754560CBD ∠=--=，80BC =，50BD =， 由余弦定理可得：2222cos CD BC BD BC
BD CBD =+-
⋅∠1
640025002805049002
=+-⨯⨯⨯
=， ………………………………………………10分
所以70CD =海里，所以需要的时间为70
235
=(小时).……………………………………12分 20．（本题12分） 【解析】（1）因为()63
sin 2f x x x x πωωω=
⎛⎫- ⎪⎝
⎭=，又因为函数()f x 的图象的相邻两条对称轴的间距为
2
π
，所以函数()f x 的最小正周期为π，即2=ππω⇒……………………………3分 2ω=，()26x f x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，又因为将函数()f x 的图象上的每一个点的纵坐标保持不变，横坐标变为
原来的2倍，得到函数()g x 的图象，所以()3sin 6g x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
.…………………………5分 令222,22,2
6
2
3
3
k x k k Z k x k k Z π
π
π
π
π
ππππ-
≤-
≤+
∈⇒-
≤≤+
∈，所以函数()g x 的单调递增 区间为：22,2,3
3k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
. ………………………………………………7分 （2）因为()3
3sin 63
g παα⎛⎫
=-
= ⎪⎝
⎭，所以1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ………………………8分 又因为3sin 23sin 26666f ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， ……………………………9分 又22662π
ππαα⎛⎫+
=-+ ⎪⎝⎭，则3sin 2662f πππαα⎡⎤⎛
⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦， ……………………10分 即2733cos 2312sin =6669f πππααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+
=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣
⎦.………………………12分 21．（本题12分）
【解析】（1）设ABC ∆的外接圆半径为R ，由正弦定理，得sin sin ,22b c
R ABC C R
==∠， 因为sin sin BD ABC a C ∠=，所以22b c
BD a R R
⋅
=⋅，即BD b ac ⋅=．又因为2b ac =，所以BD b ac ==．
………………………………………4分
（2）因为23
AD AC =，所以2AD DC =.如图所示，在ABC ∆中，222
cos 2a b c C ab +-=，①
………………………………………5分
在BCD △中，222
()3cos 23
b
a b b a C +-=⋅
．② 由（1）知：BD ac b ==……………………6分
又由①②得：2222223()3b a b c a b ⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦
，整理得2
2211203a b c -+=．……………………7分
又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，解得3c a =或32
c
a =，……………………………8分
当22,33
c c a b ac ===
时，3c a b c +=<（舍去）
．………………………………9分 当2233,22c c a b ac ===时，2
2233()722cos 31222
c c ABC c c c +⋅-
==⋅∠
，又sin 12ABC ∠==
………………………………………11分
所以sin tan cos 7
ABC ABC ABC ∠∠=
=
∠． ………………………………………12分 22．（本题12分）
【详解】（1）因为()2f x x =，则()2π2(2π)24πf x x x +=+=+，又()2π4πf =， 所以()2π()(2π)f x f x f +=+，故函数()2f x x =具有性质P ；
因为()cos g x x =，则()2πcos(2π)cos g x x x +=+=，又()2πcos2π1g ==，
()(2π)cos 1(2π)g x g x g x +=+≠+，故()cos g x x =不具有性质P . ………………………4分
（2）若函数()f x 具有性质P ，则()02π(0)(2π)f f f +=+，即(0)sin 0f ϕ==，……………5分 因为π
2
ϕ<
，所以0ϕ=，所以()sin()f x x ω=； ………………………………………6分 若(2π)0f ≠，不妨设(2π)0f >，由()2π()(2π)f x f x f +=+，
得()2π(0)(2π)(2π)(Z)f k f kf kf k =+=∈（*）， ………………………………………8分 只要k 充分大时，(2π)kf 将大于1，而()f x 的值域为[1,1]-，
故等式（*）不可能成立，所以必有(2π)0f =成立， ………………………………………9分 即sin(2π)0ω=，因为
35
22
ω<<，所以3π2π5πω<<， 所以2π4πω=，则2ω=，此时()sin 2f x x =， ………………………………………10分
则()2πsin 2(2π)sin 2f x x x +=+=，而()(2π)sin 2sin 4πsin 2f x f x x +=+=，即有()2π()(2π)f x f x f +=+成立，所以存在2ω=，0ϕ=使函数()f x 具有性质P . ………………………………………12分。