三角函数历年真题解析版

专题一 三角函数

【知识点回顾】

1、角的概念、正角、负角、零角.

2、角的表示：（1）终边相同的角：与α角终边相同的角的集合（连同α角在内），可以记为{ββ|＝k ·360＋α，k ∈Z }。

（2）象限角：顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，则终边落在第几象限，就称这个角是第几象限的角。 请写出各象限角的集合。

（3）轴线角：顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，则终边落在坐标轴上的角叫轴线角。请写出各轴线角的集合。

（4）区间角、区间角的集合： 角的量数在某个确定的区间内（上），这角就叫做某确定区间的角．由若干个区间构成的集合称为区间角的集合． 3、角度制、弧度制及互换： 1rad ＝π

180°≈°=57°18ˊ， 1°＝

180

π

≈（rad ） 4、弧长公式：r l ⋅=||α，扇形面积公式：211

||22

s lr r α=

=⋅扇形 5、三角函数的定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）

P 与原点的距离为r ，则

sin y r α=

, cos x r α= ,tan y x α=,cot x y α=,sec r

x

α=,csc r y α=.

6、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

7、三角函数线

正弦线：MP ；余弦线：OM ；正切线： AT 。

8、同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ

θ

cos sin ，tan cot θθ⋅= 9、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

21

2(1)sin ,()sin()2(1)s ,()

n

n n n co n απαα-⎧

-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数，

21

2(1)s ,()

s()2(1)sin ,()

n

n co n n co n απαα+⎧

-⎪+=⎨⎪-⎩

为偶数为奇数 10、和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ；

tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±=

m ；22

sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公

式)；

22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-；

sin cos a

b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决

定,tan b

a

ϕ= )。

11、二倍角公式及降幂公式

sin 2sin cos ααα

=22tan 1tan αα=

+；

2222

cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan αα

-=

+ 2

2tan tan 21tan ααα=-；22

1cos 21cos 2sin ;cos 22

αααα-+==。

sin y x =

cos y x = tan y x =

图象

定义域

R R

,2x x k k ππ⎧⎫

≠+∈Z ⎨⎬

⎩⎭

值域

[]1,1-

[]1,1-

R

最值

当22

x k π

π=+

()

k ∈Z 时，max 1y =；

当22

x k π

π=-

()k ∈Z 时，min 1y =-．

当()2x k k π=∈Z 时，

max 1y =；

当2x k ππ=+

()k ∈Z 时，min 1y =-．

既无最大值也无最小值

周期性 2π

2π

π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在2,22

2k k π

πππ⎡

⎤

-

+

⎢⎥⎣

⎦

()k ∈Z 上是增函数；在

32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣

⎦ ()k ∈Z 上是减函数．

在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在

[]2,2k k πππ+

()k ∈Z 上是减函数．

在,2

2k k π

πππ⎛

⎫

-

+

⎪⎝

⎭

()k ∈Z 上是增函数．

13、三角函数的周期公式

函数sin()y A x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y A x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y A x ωϕ=+，,2

x k k Z π

π≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||

T ω= 14、正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为ABC ∆外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin a b c A B C ⇔=

15、余弦定理

2222cos a b c bc A =

+-；2222cos b c a ca B =+-；2222cos c a b ab C =+-。

16、面积定理

（1）111

222

a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）。 （2）111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B

===。

(3)OAB

S ∆=

17、三角形内角和定理 在△

ABC

中

，

有

()A B C C A B ππ++=⇔=-+222

C A B

π+⇔

=-222()C A B π⇔=-+。 18、常见三角不等式 （1）若(0,

)2x π∈，则sin tan x x x <<；(2) 若(0,)2

x π

∈，则1sin cos x x <+≤(3)

|sin ||cos |1x x +≥。

【考点剖析】 一、选择题 1、设(0,

)2π

α∈，(0,)2π

β∈，且1sin tan cos βαβ+=

，则 A .32

παβ-=

B .22

π

αβ-=

C .32

π

αβ+=

D .22

π

αβ+=

答案B