高三数学总复习导与练 第九篇第九节配套课件(教师用) 理
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第9节
曲线与方程
(对应学生用书第 135 页)
(对应学生用书第 135 页)
1．“曲线的方程”与“方程的曲线” 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹 ) 上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 质疑探究：若曲线与方程的对应关系中只满足(2)条会怎样？
②定义法： 若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本 量．
③代入法：也叫相关点法，其特点是，动点M(x，y)的坐标取决于已知曲线C上的 点(x′，y′)的坐标，可先用x，y表示x′、y′，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹 方程． ④参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x、y，得出轨迹的参数方 程，消去参数，即得其普通方程．选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种 因素，然后再选取合适的参数．因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参 数有角度、直线的斜率、点的横纵坐标、线段长度等．
法二：设P点坐标为(x，y)， 由题意|PF|＝2＋d， 当P在y轴右侧时，可转化为|PF|＝x＋2， 即点P到定点F的距离等于到定直线l：x＝－2的距离， ∴点P在抛物线y2＝8x上．
当P在y轴左侧时，|PF|ห้องสมุดไป่ตู้2－x，
即点P到F(2,0)的距离等于P到直线x＝2的距离， 从而有y＝0(x＜0)， 综上可知所求轨迹方程为y2＝8x(x≥0)和y＝0(x＜0)．
4． 已知两定点 A(－2,0)、B(1,0)，如果动点 P 满足 |PA |＝ 2|PB |，则点 P 的轨迹所包围的 图形的面积等于______．
解析：设动点 P(x， y)，则由 |PA |＝ 2|PB |，得 x＋ 22＋ y2＝ 2 x－ 12＋ y2，两边平方得 x2＋ y2－ 4x＝ 0，∴点 P 的轨迹方程为 (x－ 2)2＋ y2＝ 4，其图象是以(2,0)为圆心，2 为半径的圆， 面积为 π·22＝ 4π. 答案：4π
(对应学生用书第 135～137 页)
直接法或定义法求轨迹方程 【例 1】 设点 F(2,0)，动点 P 到 y 轴的距离为 d，求满足条件 |PF|－d＝2 的点 P 的轨迹 方程． 思路点拨：可用直接法或定义法求解．
解：法一：设 P 点坐标为(x，y)， 由|PF|＝2＋d， 得 x－22＋y 2＝2＋|x |， 即(x－2)2＋y 2＝(2＋ |x |)2. ∴y2＝ 4|x |＋ 4x. 当 x≥0 时，y2＝8x； 当 x＜0 时，y2＝0， 即 y＝0. 故所求轨迹方程为 y2＝ 8x(x≥0) 和 y＝0(x＜0)．
提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则这个方程可 能只是部分曲线的方程，而非整条曲线的方程．
2．求曲线方程的方法 (1)基本步骤： ①建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
②写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；
③用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； ④化方程f(x，y)＝0为最简形式； ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． (2)求曲线轨迹方程的常用方法： ①直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解 析几何有关公式(两点间距离公式、点到直线距离公式等)进行整理、化简．
(1)用直接法求曲线方程的一般步骤为： ①建立适当的坐标系，设出动点坐标； ②列出等量关系； ③用坐标条件化为方程f(x，y)＝0； ④化简方程； ⑤检验； ⑥结论． (2)运用常见曲线的定义(例如圆锥曲线的定义)，直接写出轨迹方程，或从曲线定义 出发建立关系式，从而求出轨迹方程．这种求曲线方程的方法是定义法．
1． 与点 A(－1,0)和点 B(1,0)连线的斜率之积为－ 1 的动点 P 的轨迹方程是( (A)x2＋y 2＝ 1 (B)x2＋y2＝ 1(x≠± 1) (C)x2＋y2＝1(x≠ 0) (D)y＝ 1－x2 解析：设 P(x， y)，则 kPA· kPB＝－ 1， y y 即 · ＝－ 1(x≠± 1)，整理得 x2＋ y2＝ 1(x≠± 1)，故选 B. x＋ 1 x－ 1
B
)
2．已知点 A(1,0)，直线 l：y＝ 2x－4，点 R 是直线 l 上的一点，若 RA― →＝AP― →，则 点 P 的轨迹方程为( B ) (A)y＝－2x (B)y＝2x (C)y＝2x－8 (D)y＝ 2x＋4 解析：∵ RA― →＝ AP― →，∴ R，A，P 三点共线，且 A 为 RP 的中点，设 P(x，y)，R(x1， 1－x1＝x－1 y1)，则由 RA― →＝ AP― →，得 (1－ x1，－ y1)＝ (x－ 1， y)，则 ，即 x1＝ 2－ x， －y1＝ y y1＝－ y，将其代入直线 y＝ 2x－ 4 中，得 y＝ 2x，故选 B.
x2 y2 3．已知椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞ 0)，M 为椭圆上一动点，F1 为椭圆的左焦点，则线段 MF1 a b 的中点 P 的轨迹是( B ) (A)圆 (B)椭圆 (C)线段 (D)一段抛物线 1 解析：(如图)∵ |OP|＝ |MF2|， 2 又∵ |MF2|＋ |MF1|＝ 2a， 1 1 ∴ |OP|＝ (2a－ |MF1|)＝ a－ |MF1|＝ a－ |PF1|， 2 2 ∴ |PF1|＋ |PO |＝ a， 又 |F1O|＝ c＜ a， ∴点 P 的轨迹是以 F1， O 为焦点的椭圆，故选 B.
(1)“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的．前者只需求出轨迹的 方程，标出变量 x，y的范围；后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图 形，并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据． (2)建立曲线的方程要注意审题，弄清定点、定线，动点、动线，注意选好坐 标系．一般选定点或定直线的交点为原点，选择定直线或过定点的直线为坐 标轴． (3)圆锥曲线的定义、标准方程、性质及解析几何中所涉及的基本概念、基本 公式等是解题的必备知识，要注意熟练掌握和灵活应用．
曲线与方程
(对应学生用书第 135 页)
(对应学生用书第 135 页)
1．“曲线的方程”与“方程的曲线” 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹 ) 上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 质疑探究：若曲线与方程的对应关系中只满足(2)条会怎样？
②定义法： 若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本 量．
③代入法：也叫相关点法，其特点是，动点M(x，y)的坐标取决于已知曲线C上的 点(x′，y′)的坐标，可先用x，y表示x′、y′，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹 方程． ④参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x、y，得出轨迹的参数方 程，消去参数，即得其普通方程．选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种 因素，然后再选取合适的参数．因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参 数有角度、直线的斜率、点的横纵坐标、线段长度等．
法二：设P点坐标为(x，y)， 由题意|PF|＝2＋d， 当P在y轴右侧时，可转化为|PF|＝x＋2， 即点P到定点F的距离等于到定直线l：x＝－2的距离， ∴点P在抛物线y2＝8x上．
当P在y轴左侧时，|PF|ห้องสมุดไป่ตู้2－x，
即点P到F(2,0)的距离等于P到直线x＝2的距离， 从而有y＝0(x＜0)， 综上可知所求轨迹方程为y2＝8x(x≥0)和y＝0(x＜0)．
4． 已知两定点 A(－2,0)、B(1,0)，如果动点 P 满足 |PA |＝ 2|PB |，则点 P 的轨迹所包围的 图形的面积等于______．
解析：设动点 P(x， y)，则由 |PA |＝ 2|PB |，得 x＋ 22＋ y2＝ 2 x－ 12＋ y2，两边平方得 x2＋ y2－ 4x＝ 0，∴点 P 的轨迹方程为 (x－ 2)2＋ y2＝ 4，其图象是以(2,0)为圆心，2 为半径的圆， 面积为 π·22＝ 4π. 答案：4π
(对应学生用书第 135～137 页)
直接法或定义法求轨迹方程 【例 1】 设点 F(2,0)，动点 P 到 y 轴的距离为 d，求满足条件 |PF|－d＝2 的点 P 的轨迹 方程． 思路点拨：可用直接法或定义法求解．
解：法一：设 P 点坐标为(x，y)， 由|PF|＝2＋d， 得 x－22＋y 2＝2＋|x |， 即(x－2)2＋y 2＝(2＋ |x |)2. ∴y2＝ 4|x |＋ 4x. 当 x≥0 时，y2＝8x； 当 x＜0 时，y2＝0， 即 y＝0. 故所求轨迹方程为 y2＝ 8x(x≥0) 和 y＝0(x＜0)．
提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则这个方程可 能只是部分曲线的方程，而非整条曲线的方程．
2．求曲线方程的方法 (1)基本步骤： ①建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
②写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；
③用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； ④化方程f(x，y)＝0为最简形式； ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． (2)求曲线轨迹方程的常用方法： ①直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解 析几何有关公式(两点间距离公式、点到直线距离公式等)进行整理、化简．
(1)用直接法求曲线方程的一般步骤为： ①建立适当的坐标系，设出动点坐标； ②列出等量关系； ③用坐标条件化为方程f(x，y)＝0； ④化简方程； ⑤检验； ⑥结论． (2)运用常见曲线的定义(例如圆锥曲线的定义)，直接写出轨迹方程，或从曲线定义 出发建立关系式，从而求出轨迹方程．这种求曲线方程的方法是定义法．
1． 与点 A(－1,0)和点 B(1,0)连线的斜率之积为－ 1 的动点 P 的轨迹方程是( (A)x2＋y 2＝ 1 (B)x2＋y2＝ 1(x≠± 1) (C)x2＋y2＝1(x≠ 0) (D)y＝ 1－x2 解析：设 P(x， y)，则 kPA· kPB＝－ 1， y y 即 · ＝－ 1(x≠± 1)，整理得 x2＋ y2＝ 1(x≠± 1)，故选 B. x＋ 1 x－ 1
B
)
2．已知点 A(1,0)，直线 l：y＝ 2x－4，点 R 是直线 l 上的一点，若 RA― →＝AP― →，则 点 P 的轨迹方程为( B ) (A)y＝－2x (B)y＝2x (C)y＝2x－8 (D)y＝ 2x＋4 解析：∵ RA― →＝ AP― →，∴ R，A，P 三点共线，且 A 为 RP 的中点，设 P(x，y)，R(x1， 1－x1＝x－1 y1)，则由 RA― →＝ AP― →，得 (1－ x1，－ y1)＝ (x－ 1， y)，则 ，即 x1＝ 2－ x， －y1＝ y y1＝－ y，将其代入直线 y＝ 2x－ 4 中，得 y＝ 2x，故选 B.
x2 y2 3．已知椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞ 0)，M 为椭圆上一动点，F1 为椭圆的左焦点，则线段 MF1 a b 的中点 P 的轨迹是( B ) (A)圆 (B)椭圆 (C)线段 (D)一段抛物线 1 解析：(如图)∵ |OP|＝ |MF2|， 2 又∵ |MF2|＋ |MF1|＝ 2a， 1 1 ∴ |OP|＝ (2a－ |MF1|)＝ a－ |MF1|＝ a－ |PF1|， 2 2 ∴ |PF1|＋ |PO |＝ a， 又 |F1O|＝ c＜ a， ∴点 P 的轨迹是以 F1， O 为焦点的椭圆，故选 B.
(1)“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的．前者只需求出轨迹的 方程，标出变量 x，y的范围；后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图 形，并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据． (2)建立曲线的方程要注意审题，弄清定点、定线，动点、动线，注意选好坐 标系．一般选定点或定直线的交点为原点，选择定直线或过定点的直线为坐 标轴． (3)圆锥曲线的定义、标准方程、性质及解析几何中所涉及的基本概念、基本 公式等是解题的必备知识，要注意熟练掌握和灵活应用．