第3章(2) 静态场的边值问题及解的唯一性定理
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1、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件； 指出了静态场边值问题具有唯一解的条件； 2、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。 为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。
第3章
§ 3.5
镜 像 法
依据： 依据：唯一性定理，若能找到一个函数既满足该问题的微分方程， 又满足该问题的边界条件，则它一定是场的真解，且唯一。 基本思想： 基本思想：在研究的区域外，用一些假想电荷（电流）代替边界 面处复杂的、未知的感应电荷、极化电荷或电流。用假想电荷 （电流）与原有电荷（电流）一起产生的场来满足原来的边界条 件，那么它们的电位（磁矢位）的叠加就是解 关键和原则：确定像电荷（像电流）的位置、个数和电量大小以 关键和原则 及电流的流向等，但必须满足场区域的边界条件且像电荷（或像 电流）只能置于求解区域外。 3.5.1接地导体平面的镜像 接地导体平面的镜像 求置于无限大接地平面导体上方， 例1、求置于无限大接地平面导体上方， 求置于无限大接地平面导体上方 的电位。 距导体面为h 处的点电荷q 的电位。
1 1 ϕ= [ − ] 4πε 0 r r ′ q
r = [ x 2 + y 2 + ( z − h) 2 ]1/ 2 r ′ = [ x 2 + y 2 + ( z + h) 2 ]1/ 2
r r r q r r′ [ 3 − 3] 在z>0区域内，电场为 E = −∇ϕ = 4πε 0 r r ′
ϕ= q 4 πε 0 r + q′ 4 πε 0 r ′ = 1 q ( + 2 2 4 πε 0 x + y + ( z − h) q′ x + y + ( z + h)
2 2 2
)
Q ϕ |z = 0 =
q 4πε 0 r
+
q′ 4πε 0 r ′
= 0 ∴ q′ = − q
即像电荷q'与原点电荷q电量相等，电性相反；用q'代替了 导体上的感应电荷。 在z>0区域内，P点的电位为
P( x, z)
ρl 考察原问题是否得到满足：由于像电荷位 R′ 于z<0区域，原方程不变，且有 h ε x ρl ρl R′ 1 1 ϕ= (ln − ln ) = ln 2πε R R' 2πε R -h σ =∞ x 2 + ( z + h) 2 ρl ρ l′ ln = ，z ≥ 0 ) ( 均匀带电直线的电位分布 2πε x 2 + ( z − h) 2
⇒ z = 0，R = R′ ⇒ ϕ z=0 =0
ϕ=−
ρl ρ R ln R + C = l ln 0 2πε 2πε R
显然，满足边界条件。所以，原问题不变交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点 电荷q 位于(d1, d2 )处。 对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 对于平面2，有镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 ) 显然，q1 对平面 2 以及q2 对平 面 1 均不能满足边界条件。 只有在(－d1, －d2 )处再设置一 镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能 得到满足。 q1 d2 d2 q3 1 d1 R1
第3章
静电场唯一性定理的表述 对于三类边值问题中的任何一类，在满足泊松方程（或拉 普拉斯方程）和边界条件下，无论用什么方法所得的解都是 正确的，且是唯一的。 静电场唯一性定理的证明 设有两个解ϕ1和ϕ2，分别满足方程 ∇ 2ϕ1 = − ρ 和∇ 2ϕ 2 = − ρ 令 ϕ 0 = ϕ1 − ϕ 2
1）若夹角为 θ = ，则所有镜像电荷数目为2n-1个。 n 2) n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用 了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。
π
q
第3章
3.5.2 、导体球面镜像法
例1、如下图所示，一个半径为 a 的接地导体球，一点 电荷q 位于距球心d 处（d > a)，求球外任一点的电位。 r a d P R q 分析： 分析 ：球外电场是电荷q与导体球面感 应电荷产生的，但感应电荷未知。 球面上的感应电荷可用镜像电荷q' 来等效。q'应位于导体球内（显然不影 响原方程），且在点电荷q与球心的连 线上，距球心为d'。则有
设两个导体圆柱单位长带电分别等效电轴两线电荷相距原点均为b有几何关系为lnlnlnln两导体圆柱间的电压为两导体圆柱间的单位长度电容为354介质平面的镜像设两种介电常数分别为的介质充填于z0及z0的半空间在介质2中点h00处有一点电荷q如图所示求空间各点的电位分布
第3章
§3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理
r →∞
涉及不同介质时，还有介质分界面处的边界条件。 涉及不同介质时，还有介质分界面处的边界条件。
3.4.2 解的唯一性定理
对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 • 解的存在性是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 解的存在性是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 存在性是指在给定的定解条件下 稳定性是指当定解条件发生微小变化时 • 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时， 否会发生很大的变化。 否会发生很大的变化。 • 解的唯一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。 解的唯一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。 唯一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一 电磁场是客观存在的， 电磁场是客观存在的，因此位函数的微分方程的解的存在确 信无疑。 信无疑。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得 到证明。下面证明电位微分方程解也是惟一的。 到证明。下面证明电位微分方程解也是惟一的。
ρ ρ 则在V内 ∇ ϕ 0 = ∇ ϕ1 − ∇ ϕ 2 = − + = 0 ε ε 在格林第一恒等式中，令 ψ = ϕ 0 则 ∇ (ϕ0∇ϕ0 ) = ϕ0∇ 2ϕ0 + (∇ϕ0 ) 2
2 2 2
ε
ε
∫V ∇ (ϕ0∇ϕ0 )dV = ∫V (∇ϕ0 ) dV ⇒
2
∫
S
ϕ0∇ϕ0 dS = ∫ (∇ϕ0 ) 2 dV
V
第3章
对于第一类和第二类边值问题，在边界 上分别有 对于第一类和第二类边值问题，在边界S上分别有 ∂ϕ 0 ∂ϕ 1 ∂ϕ 2 ϕ 0 S = ϕ1 S − ϕ 2 S = 0 和 = − =0 ∂n S ∂n S ∂n S ∂ϕ 0 dS = ∫ (∇ϕ 0 )2 dV = 0 ⇒ ∇ϕ 0 = 0 ϕ0 ∫ S ∂n V ϕ 0 = ϕ1 − ϕ 2 = C ⇒ ϕ1和ϕ 2只相差一个常数
第3章
3.4.1 边值问题的类型
边值问题包括位方程（ 拉普拉斯方程或泊松方程） 边值问题包括位方程 （ 拉普拉斯方程或泊松方程 ） 和边界 条件，根据在场域V的边界 上的边界条件，边值问题类型有： 的边界S上的边界条件 条件 ，根据在场域 的边界 上的边界条件， 边值问题类型有： 第一类边值问题： 第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值 如果f 如果 1(S)=0称为 称为 ϕ S = f1 ( S ) 狄里赫利问题 齐次边界条件 第二类边值问题：给定边界上每一点位函数的法向导数 第二类边值问题： ∂ϕ = f2 ( S ) 纽曼问题 ∂n S 第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位， 第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位，同时 给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。 给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。 混合边值问题
ϕ
S1
= f1 ( S1 ) ,
∂ϕ ∂n
= f 2 ( S2 )
S2
第3章
自然边界条件
如果场域伸展到无限远处， 如果场域伸展到无限远处，必须提出所谓无限远处的边 界条件。对于场源分布在有限区域的情况， 界条件。对于场源分布在有限区域的情况，在无限远处应有 它表明在无限远处位函数取值为零。 lim rφ = 有限值 它表明在无限远处位函数取值为零。
ε d1
R
q d2 2
R3 d1
R2 d1
q 1 1 1 1 ( − − + ) 电位函数ϕ = 4πε R R1 R2 R3
d2 q2
第3章
对于非垂直相交的两导体平面构成的边界也可应用镜 像法。例如，夹角为
π 3
的导电劈需引入5个镜像电荷。
−q
q q
θ=
π 3
π θ= 3
q
x
−q
−q
注意： 注意：
′ 设在导体下方与点电荷对称的位置处有一点电荷 q（像电 ），用该像电荷代替导体上的感应电荷 用该像电荷代替导体上的感应电荷， 荷），用该像电荷代替导体上的感应电荷，即引入 q ′ 后， 就像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。 就像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。
第3章
用一个处于镜像位置的点电荷代替导体边界的影响， 解： 则z>0空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
第3章
qx 1 1 qy 1 1 q z −h z +h Ex = 3 − 3 , Ey = 3 − 3 , Ez = 3 − 3 4πε0 r r′ 4πε0 r r′ 4πε0 r r′
∂ϕ qh 则，面密度ρ S = ε 0 Ez |z =0 = −ε 0 |z =0 = − ∂z 2π ( x 2 + y 2 + h 2 )3/ 2
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。 由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。 说明：应用镜像法时仅针对导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中， 说明：应用镜像法时仅针对导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中， 源及边界条件未变。 源及边界条件未变。
第3章
分析： 在导体上方， 分析： 在导体上方，
除点电荷所在位置） ∇ 2ϕ = 0 （除点电荷所在位置） 在导体表面处， ϕ |z = 0 = 0
导体平面上空的电场是由点电荷 q 和导体表面的感应电荷 共同产生。但感应电荷分布非均匀，且未知，直接求解困难。 共同产生。但感应电荷分布非均匀，且未知，直接求解困难。
设E1 = −∇ϕ1 和E 2 = −∇ϕ 2 E1＝E 2 和 ⇒ 描述同样的电场，所以场分布是唯一确定的。 ⇒ ϕ1和ϕ 2描述同样的电场，所以场分布是唯一确定的。
对于第三类边值问题，可以得到同样的结论。 对于第三类边值问题，可以得到同样的结论。 唯一性定理的意义： 唯一性定理的意义：
导体表面总的感应电荷：
qh ∞ ∞ dxdy ′ = ∫ ρ S dS = − q 2π ∫−∞ ∫−∞ ( x 2 + y 2 + h 2 )3/2 qh ∞ 2πρ d ρ =− ∫0 ( ρ 2 + h2 )3/2 = −q 2π
第3章
电场线与等位面的分布特性与前述的电偶极子的上半部分完全相同。 电场线与等位面的分布特性与前述的电偶极子的上半部分完全相同。
求置于无限大接地平面导体上方， 例2、求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为 处的长直 求置于无限大接地平面导体上方 距导体面为h 线电荷的电位。 线电荷的电位。
第3章
原问题 ∇ 2ϕ = 0(除源电荷所在位置外), z > 0; ϕ = 0, z = 0 显然可将感应电荷的作用用位于－ h 处的镜 像线电荷 ρl′＝－ρl替代。 z R
前面讨论了静电场、恒定电场和稳恒磁场， 前面讨论了静电场、恒定电场和稳恒磁场，得到了这些场的 位函数满足的微分方程和边界条件；并且在均匀线性媒质中， 位函数满足的微分方程和边界条件 ； 并且在均匀线性媒质中 ， 对一些简单的场源分布情况求出了场的解。 对一些简单的场源分布情况求出了场的解。 但在工程中通常会遇到更复杂的情况， 但在工程中通常会遇到更复杂的情况 ， 此时求解场的问题 就须要解场的二阶偏微分方程，并满足一定的边界条件， 就须要解场的二阶偏微分方程 ， 并满足一定的边界条件 ， 即 通常所说的边值问题。本节讨论静态场边值问题解法。 通常所说的边值问题。本节讨论静态场边值问题解法。 求解边值问题的方法通常有解析和数值法。 求解边值问题的方法通常有解析和数值法 。 解析法包括镜 像法、变量分离法、格林函数法、复变函数法等； 像法 、 变量分离法 、 格林函数法 、 复变函数法等 ； 数值法包 括有限差分法、 矩量法、有限元法等。 括有限差分法 、 矩量法 、 有限元法等 。 本章主要讨论几种经 典的解析法。 典的解析法。
第3章
§ 3.5
镜 像 法
依据： 依据：唯一性定理，若能找到一个函数既满足该问题的微分方程， 又满足该问题的边界条件，则它一定是场的真解，且唯一。 基本思想： 基本思想：在研究的区域外，用一些假想电荷（电流）代替边界 面处复杂的、未知的感应电荷、极化电荷或电流。用假想电荷 （电流）与原有电荷（电流）一起产生的场来满足原来的边界条 件，那么它们的电位（磁矢位）的叠加就是解 关键和原则：确定像电荷（像电流）的位置、个数和电量大小以 关键和原则 及电流的流向等，但必须满足场区域的边界条件且像电荷（或像 电流）只能置于求解区域外。 3.5.1接地导体平面的镜像 接地导体平面的镜像 求置于无限大接地平面导体上方， 例1、求置于无限大接地平面导体上方， 求置于无限大接地平面导体上方 的电位。 距导体面为h 处的点电荷q 的电位。
1 1 ϕ= [ − ] 4πε 0 r r ′ q
r = [ x 2 + y 2 + ( z − h) 2 ]1/ 2 r ′ = [ x 2 + y 2 + ( z + h) 2 ]1/ 2
r r r q r r′ [ 3 − 3] 在z>0区域内，电场为 E = −∇ϕ = 4πε 0 r r ′
ϕ= q 4 πε 0 r + q′ 4 πε 0 r ′ = 1 q ( + 2 2 4 πε 0 x + y + ( z − h) q′ x + y + ( z + h)
2 2 2
)
Q ϕ |z = 0 =
q 4πε 0 r
+
q′ 4πε 0 r ′
= 0 ∴ q′ = − q
即像电荷q'与原点电荷q电量相等，电性相反；用q'代替了 导体上的感应电荷。 在z>0区域内，P点的电位为
P( x, z)
ρl 考察原问题是否得到满足：由于像电荷位 R′ 于z<0区域，原方程不变，且有 h ε x ρl ρl R′ 1 1 ϕ= (ln − ln ) = ln 2πε R R' 2πε R -h σ =∞ x 2 + ( z + h) 2 ρl ρ l′ ln = ，z ≥ 0 ) ( 均匀带电直线的电位分布 2πε x 2 + ( z − h) 2
⇒ z = 0，R = R′ ⇒ ϕ z=0 =0
ϕ=−
ρl ρ R ln R + C = l ln 0 2πε 2πε R
显然，满足边界条件。所以，原问题不变交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点 电荷q 位于(d1, d2 )处。 对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 对于平面2，有镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 ) 显然，q1 对平面 2 以及q2 对平 面 1 均不能满足边界条件。 只有在(－d1, －d2 )处再设置一 镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能 得到满足。 q1 d2 d2 q3 1 d1 R1
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静电场唯一性定理的表述 对于三类边值问题中的任何一类，在满足泊松方程（或拉 普拉斯方程）和边界条件下，无论用什么方法所得的解都是 正确的，且是唯一的。 静电场唯一性定理的证明 设有两个解ϕ1和ϕ2，分别满足方程 ∇ 2ϕ1 = − ρ 和∇ 2ϕ 2 = − ρ 令 ϕ 0 = ϕ1 − ϕ 2
1）若夹角为 θ = ，则所有镜像电荷数目为2n-1个。 n 2) n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用 了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。
π
q
第3章
3.5.2 、导体球面镜像法
例1、如下图所示，一个半径为 a 的接地导体球，一点 电荷q 位于距球心d 处（d > a)，求球外任一点的电位。 r a d P R q 分析： 分析 ：球外电场是电荷q与导体球面感 应电荷产生的，但感应电荷未知。 球面上的感应电荷可用镜像电荷q' 来等效。q'应位于导体球内（显然不影 响原方程），且在点电荷q与球心的连 线上，距球心为d'。则有
设两个导体圆柱单位长带电分别等效电轴两线电荷相距原点均为b有几何关系为lnlnlnln两导体圆柱间的电压为两导体圆柱间的单位长度电容为354介质平面的镜像设两种介电常数分别为的介质充填于z0及z0的半空间在介质2中点h00处有一点电荷q如图所示求空间各点的电位分布
第3章
§3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理
r →∞
涉及不同介质时，还有介质分界面处的边界条件。 涉及不同介质时，还有介质分界面处的边界条件。
3.4.2 解的唯一性定理
对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 • 解的存在性是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 解的存在性是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 存在性是指在给定的定解条件下 稳定性是指当定解条件发生微小变化时 • 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时， 否会发生很大的变化。 否会发生很大的变化。 • 解的唯一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。 解的唯一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。 唯一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一 电磁场是客观存在的， 电磁场是客观存在的，因此位函数的微分方程的解的存在确 信无疑。 信无疑。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得 到证明。下面证明电位微分方程解也是惟一的。 到证明。下面证明电位微分方程解也是惟一的。
ρ ρ 则在V内 ∇ ϕ 0 = ∇ ϕ1 − ∇ ϕ 2 = − + = 0 ε ε 在格林第一恒等式中，令 ψ = ϕ 0 则 ∇ (ϕ0∇ϕ0 ) = ϕ0∇ 2ϕ0 + (∇ϕ0 ) 2
2 2 2
ε
ε
∫V ∇ (ϕ0∇ϕ0 )dV = ∫V (∇ϕ0 ) dV ⇒
2
∫
S
ϕ0∇ϕ0 dS = ∫ (∇ϕ0 ) 2 dV
V
第3章
对于第一类和第二类边值问题，在边界 上分别有 对于第一类和第二类边值问题，在边界S上分别有 ∂ϕ 0 ∂ϕ 1 ∂ϕ 2 ϕ 0 S = ϕ1 S − ϕ 2 S = 0 和 = − =0 ∂n S ∂n S ∂n S ∂ϕ 0 dS = ∫ (∇ϕ 0 )2 dV = 0 ⇒ ∇ϕ 0 = 0 ϕ0 ∫ S ∂n V ϕ 0 = ϕ1 − ϕ 2 = C ⇒ ϕ1和ϕ 2只相差一个常数
第3章
3.4.1 边值问题的类型
边值问题包括位方程（ 拉普拉斯方程或泊松方程） 边值问题包括位方程 （ 拉普拉斯方程或泊松方程 ） 和边界 条件，根据在场域V的边界 上的边界条件，边值问题类型有： 的边界S上的边界条件 条件 ，根据在场域 的边界 上的边界条件， 边值问题类型有： 第一类边值问题： 第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值 如果f 如果 1(S)=0称为 称为 ϕ S = f1 ( S ) 狄里赫利问题 齐次边界条件 第二类边值问题：给定边界上每一点位函数的法向导数 第二类边值问题： ∂ϕ = f2 ( S ) 纽曼问题 ∂n S 第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位， 第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位，同时 给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。 给定另一部分边界上每一点的电位法向导数。 混合边值问题
ϕ
S1
= f1 ( S1 ) ,
∂ϕ ∂n
= f 2 ( S2 )
S2
第3章
自然边界条件
如果场域伸展到无限远处， 如果场域伸展到无限远处，必须提出所谓无限远处的边 界条件。对于场源分布在有限区域的情况， 界条件。对于场源分布在有限区域的情况，在无限远处应有 它表明在无限远处位函数取值为零。 lim rφ = 有限值 它表明在无限远处位函数取值为零。
ε d1
R
q d2 2
R3 d1
R2 d1
q 1 1 1 1 ( − − + ) 电位函数ϕ = 4πε R R1 R2 R3
d2 q2
第3章
对于非垂直相交的两导体平面构成的边界也可应用镜 像法。例如，夹角为
π 3
的导电劈需引入5个镜像电荷。
−q
q q
θ=
π 3
π θ= 3
q
x
−q
−q
注意： 注意：
′ 设在导体下方与点电荷对称的位置处有一点电荷 q（像电 ），用该像电荷代替导体上的感应电荷 用该像电荷代替导体上的感应电荷， 荷），用该像电荷代替导体上的感应电荷，即引入 q ′ 后， 就像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。 就像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。
第3章
用一个处于镜像位置的点电荷代替导体边界的影响， 解： 则z>0空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
第3章
qx 1 1 qy 1 1 q z −h z +h Ex = 3 − 3 , Ey = 3 − 3 , Ez = 3 − 3 4πε0 r r′ 4πε0 r r′ 4πε0 r r′
∂ϕ qh 则，面密度ρ S = ε 0 Ez |z =0 = −ε 0 |z =0 = − ∂z 2π ( x 2 + y 2 + h 2 )3/ 2
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。 由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。 说明：应用镜像法时仅针对导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中， 说明：应用镜像法时仅针对导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中， 源及边界条件未变。 源及边界条件未变。
第3章
分析： 在导体上方， 分析： 在导体上方，
除点电荷所在位置） ∇ 2ϕ = 0 （除点电荷所在位置） 在导体表面处， ϕ |z = 0 = 0
导体平面上空的电场是由点电荷 q 和导体表面的感应电荷 共同产生。但感应电荷分布非均匀，且未知，直接求解困难。 共同产生。但感应电荷分布非均匀，且未知，直接求解困难。
设E1 = −∇ϕ1 和E 2 = −∇ϕ 2 E1＝E 2 和 ⇒ 描述同样的电场，所以场分布是唯一确定的。 ⇒ ϕ1和ϕ 2描述同样的电场，所以场分布是唯一确定的。
对于第三类边值问题，可以得到同样的结论。 对于第三类边值问题，可以得到同样的结论。 唯一性定理的意义： 唯一性定理的意义：
导体表面总的感应电荷：
qh ∞ ∞ dxdy ′ = ∫ ρ S dS = − q 2π ∫−∞ ∫−∞ ( x 2 + y 2 + h 2 )3/2 qh ∞ 2πρ d ρ =− ∫0 ( ρ 2 + h2 )3/2 = −q 2π
第3章
电场线与等位面的分布特性与前述的电偶极子的上半部分完全相同。 电场线与等位面的分布特性与前述的电偶极子的上半部分完全相同。
求置于无限大接地平面导体上方， 例2、求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为 处的长直 求置于无限大接地平面导体上方 距导体面为h 线电荷的电位。 线电荷的电位。
第3章
原问题 ∇ 2ϕ = 0(除源电荷所在位置外), z > 0; ϕ = 0, z = 0 显然可将感应电荷的作用用位于－ h 处的镜 像线电荷 ρl′＝－ρl替代。 z R
前面讨论了静电场、恒定电场和稳恒磁场， 前面讨论了静电场、恒定电场和稳恒磁场，得到了这些场的 位函数满足的微分方程和边界条件；并且在均匀线性媒质中， 位函数满足的微分方程和边界条件 ； 并且在均匀线性媒质中 ， 对一些简单的场源分布情况求出了场的解。 对一些简单的场源分布情况求出了场的解。 但在工程中通常会遇到更复杂的情况， 但在工程中通常会遇到更复杂的情况 ， 此时求解场的问题 就须要解场的二阶偏微分方程，并满足一定的边界条件， 就须要解场的二阶偏微分方程 ， 并满足一定的边界条件 ， 即 通常所说的边值问题。本节讨论静态场边值问题解法。 通常所说的边值问题。本节讨论静态场边值问题解法。 求解边值问题的方法通常有解析和数值法。 求解边值问题的方法通常有解析和数值法 。 解析法包括镜 像法、变量分离法、格林函数法、复变函数法等； 像法 、 变量分离法 、 格林函数法 、 复变函数法等 ； 数值法包 括有限差分法、 矩量法、有限元法等。 括有限差分法 、 矩量法 、 有限元法等 。 本章主要讨论几种经 典的解析法。 典的解析法。