信号与系统-第七章

样不会有混叠.
√
(3) 只要采样周期T<2π/ω0,FT为
X(j ω)= u(ω )-u(ω -ω 0) 的信号x(t)的 冲激串采样不
会有混叠.
√
16
例1: FT
FT
x1(t) X1( j) 0,| | 1 ; x2 (t) X2 ( j) 0,| | 2;
计算 x(t) x1(t) x2 (2t) 的采样频率.
H ( j)
理想低通 滤波器
xr(t)
抽样后的样本通过增益为T，截止频率满足：
M c s M
的理想LPF，滤波器的输出即为x(t)。
xr(t)= x (t)
14
X(jw) 1
-wM wM
Xp(jw)
1/T
w
s 2M s M
-ws
-wM wM
ws w
T H(jw)M c (s M )
x(t) 零阶保持 x0(t)
0
t
0 T 2T 3T t
20
零阶保持抽样：等效于理想抽样再加保持电路
x(t) × xp(t) h0(t) x0(t)
x(t)
p(t) T (t)
Zero-order hold
0
T (t)
t
h0 (t)
1
Tt
h0 (t) 1, 0 t T
0
t
T
xp (t)
Note: 零阶保持采样输出由冲 激串采样和一冲激响应为矩形
46
7.4 连续时间信号的离散时间处理
(Discrete-time processing of continuous-time signals）
47
1、框图：
xc(t)
连续到离
xd[n]
离散系统
yd[n] 离散到连
散信号转
续信号转
yc(t)
换（C/D) Hd(ejω)
换(D/C)
xd[n]= xc[nT]，
M c s M
s
s
2
s
2
s
c s / 2
30
4、线性内插 (一阶保持内插)
Linear Interpolation( First-order hold Interpolation)： 相邻样本点直接用直线连接。
0
t
31
p(t)
xp(t)
h(t)
x(t)
-T T
xr(t)
x(t)
t
xp(t)
• 利用理想低通滤波器的单位冲激响应的内插 通常成为带限内插。
26
x(t)
×
xp(t)
H(jω)
xr(t)=x(t)
H(jω) T
p(t) T (t)
xr (t) xp (t) h(t)
-ωc
ωc ω
左图：通过 Ideal LPF实现 样本点间的真正内插。
xp (t) x(t) p(t) x(nT) (t nT ) n
Note: 零阶保持内插后, x0(t)较粗糙地近似于x(t)。 输出是不连续的信号。
29
零阶保持内插滤波器：
H0(
j )
[2sin(T
/
2) ]e jT / 2
T
sin
c(T 2
)e jT
/2
理想内插滤波器： H ( j ) T ,| | c
Ideal LPF T | H ( j) | 零阶保持内 插滤波器
解：
FT 1
x2 (2t) 2 X 2 ( j 2 );
|| 2 2
x(t
)
FT
X
(
j
)
F1
(
j
)
*
1 2
F2
(
j
2
);
|| 1 2 2
Sampling period: T 1 2 2
Sampling frequency:
s
2
T
2(1 2 2 )
17
7.1.2 零阶保持抽样 Sampling with a Zero-Order Hold
f (t)
fs(t) A/D
f (n)
g(n)
数字
量化编码
滤波器
D/A
p(t )
周期 信号
g(t)
3
7.1 采样定理 Sampling Theorem
4
？Problem:
一组等间隔的样本值是否可用来表示唯一的 连续信号？(否)
x1(kT) x2 (kT) x3(kT), k 0,1,2,...
低通滤波器
s 0
xr (t) cos(s 0)t x(t)
40
采样频率
原信号 样本值
重建信号
41
采样频率
原信号 样本值
重建信号
42
欠抽样信号的重建
只要抽样频率满足采样定理：
s 2M
则 : xr (t) cos(0t )
否则： xr(t) cos[(s 0)t ]
较高频率信号混 叠成较低频率信号
n
X[
j(
ns )]
抽样后的信号的傅里叶变换是抽样前信号的傅里叶
变换以抽样频率为间隔重复，但幅度为原来的1/T8。
s
2M
,即
2
T
2M
X p( j)
A/T
T 时, M
s
X p ( j)各周期不重叠,
且在(M ,M )区间内与X ( j)形状相同.
0
s
s s M
A X ( j)
即: X ( j) TX p ( j),| | M
。
相位倒置
欠抽样后的重建信号xr(t)实际上是原始信号在 时间上展宽了的波形, 其条件是：
Sampling frequency: s / 2 0
43
例: 计算 x(t) sin(0t)以s 20频率抽样后的
重建信号
Q x(nT) sin(0nT) 0,
xr (t) 0
44
欠抽样的应用:取样示波器
M M
只要抽样频率满足： s 2M
就能用一低通滤波器恢复出来x(t) 。
9
x(t) 理想抽样的傅里叶变换 X(jw)
p(t)
时
域 抽
乘
样 xp(t) 积
P(jw)
s
2
T
卷
Xp(jw)
积
Aliasing 混叠现象
Xp(jw)
10
几点认识( s 2M ):
1
n
0时,
X
p
j
1 T
X
j
,包
含原信号的全部信息, 幅度差T倍。
内插方式
• 零阶保持内插
• 一阶保持内插
（线性内插）
t
• 高阶多项式拟合
• 理想带限内插
t
25
2、理想带限内插
Ideal Band-Limited Interpolation
• 抽样定理告诉我们：一个带限信号，如果采 样足够密，那么信号就能完全被恢复。
• 也就是说，通过一个低通滤波器在样本点之 间的真正内插就可以实现。
t
xr(t)
t
H(
j)
1
[
2sin(T
/ 2) ]2
T
T[sinc(
)]2
T /2
2 32
Frequency response:
H( j) 1 [ 2sin(T / 2) ]2 T[sinc(T )]2
T /2
2
33
零阶保持、一阶内插与理想内插的比较
h(t)
t
T
H(jw)
T
-ws -ws/2
5
7.1.1 冲激串采样 (Impulse-training sampling)
6
1、采样定义x(t)0 Nhomakorabea时
p(t) T (t)
域
抽
样0 T
相
xp (t)
乘
0
x(t)
×
xp(t)
量化 编码
数字 信号
t
p(t) T (t)
p(t): 采样函数
t T : 采样周期
xp (t) x(t) T (t) x(nT ) (t nT ) n
Ideal sampling (理想抽样）
Practical sampling （实际抽样）
Natural sampling （自然抽样）
Flat-top sampling （平顶抽样，零阶保持抽样）
18
理想抽样
自然抽样
平顶抽样 零阶保持抽样
19
1、定义：
对信号x(t),给定时刻的采样值一直保持到下一个采 样时刻为止。
t
采样频率:
s
2
T
7
采样过程的频谱变换
pt t nT FT n
P
j
2
T
k
ks
xp t x(t) t nT FT
n
X
p
(
j)
1
2
[X
(
j)
P(
j)]
频谱重复
1 X ( j) 2
2
T n
( ns );
其中s
2
T
X
p
(
j)
1 T
[X
n
(
j)
(
ns
)]
1 T
1
s / 2
Hr (
j)
H( j) 2sin(T / 2)
e
jT
/
2,|
|
c
s / 2
/2
s / 2
s / 2
23
7.2 利用内插由样本重建信号 (Reconstruction of a signal
from its Samples using interpolation）
24
1、定义：根据样本值重建一连续函数的过程。
CTS:连续 时间系统
yc(t): yd[n]的内插。
yd [n] yc[nT ]
48
2、 连续到离散信号转换
T
M
或者s
2M
信号x(t)可由x(nT )唯一表示为:
x(t) x(nT ) sin c(M t n )
n
奈奎斯特率： s 2M
采样频率： 1
fs
T
2 fM
or
s 2M
X ( j)带限信号
A
M M
13
信号重建:
x(t)
连续信号
xp(t)
抽样信号
∞
p(t) = (t - nT ) n=-∞
ws/2 ws
w
34
7.3 欠抽样的效果：混叠 (The effect of undersampling:
Aliasing）
35
冲激串抽样时的FT
x (t )
s 2M
0
t
T
x (t )
混叠
0
T
t
0
T c c T
1 T
s 2M
T 0
T s 2M
T 0
T
36
混叠现象
只要抽样频率满足：
s 2M
s 0
s
2
0 0 0
s
2
s 0 s 0
Xr ( j)
π
0 0 0
xr(t) cos0t
38
采样频率
原信号 样本值
重建信号
39
欠采样
π X ( j)
采样频率
0 0 0 X p ( j)
T π/T
s 0 0 0 0
s 0 s 0
Xr ( j) π
s 0 0 s 0
x(t) cos0t
-wc
wc
Xr(jw)
1
-wM wM
w
w
15
?Problem:
(1) 只冲要激采 串样 采周 样期 不T会<有2T混0,信叠号. ×x(t)=u(t+T0)-u(t-T0)的
(2) 只要采样周期T<π/ω0,FT为
X(j ω)= u(ω + ω 0)-u(ω- ω 0) 的信号x(t)的 冲激串采
第7章 采样
Sampling
1
Main contents
●采样 (Sampling) ●信号的重建 (Reconstruction of signals) ●信号内插 (Interpolation) ●欠抽样 (Undersampling)
2
7.0 引言
采样定理是从连续信号到离散信号的桥梁， 也是对信号进行数字处理的第一个环节。
内插公式，表示利
xr
(xtr)(t
)x(t
)
x(nxT(n)Th)(Tt
n n
sinn[T (t
c)(t nT nT)
)用] 样本如何拟合成
一连续函数
H
(j) x(nh(Tt)) n
cTT
ssinin(t[c c(ctt()t
nT nT)
)]
27
原始信号:x(t) x(t)的样本冲激串
要h0(t)与 hr(t)级联后的FT为理 想LPF的特性，信号可无失真
恢复。
22
Calculate hr(t):
h0 (t)
h0 (t) 1, 0 t T
1
T
t
H0(
j)
[ 2 sin(T
/
2) ]e
jT
/2
T
sin
c(T 2
)e
jT
/2
H ( j) H0( j) Hr ( j)
| Hr ( j) | ωs= 2ωc
2 X p j 以s为周期的连续谱 ,有 新的频率成分 ,即 X j 的周期
性延拓。
X p( j)
A/T
s
0
s
s s M
A X ( j)
M M
11
2、采样定理 低通信号与带通信号采样定理
• 低通信号采样定理：定理1 • 带通信号采样定理：定理2
12
低通信号采样定理:
带限信号x(t)的频谱满足X ( j) 0,| | M ;则当
(Sampling oscilloscope)
利用欠抽样，将不便显示的频率很高信号x(t)混叠 成一个容易显示的低频信号。
x(t) ×xp(t) h (t)
示波器 输入 p(t) T (t)
Output : y(t)
示波器 输出
y(t) x(at), | a | 1
45
y(t) x(at), | a | 1
理想带限内插
xr
(t)
x(t)
n
x(nT
)
cT
sin[c (t nT c (t nT )
)]
28
3、零阶保持内插
内插时，两相邻样本之间用其第一个样本值拟合。
x(t) ×xp(t) h0(t) x0 (t) x(t)
t
p(t) T (t)
h0 (t)
1
h0(t)：零阶保持内插滤波器。
Tt
xp(t)的频谱会发生重叠， xp(t)不能用一低通滤 波器恢复出来，这种频谱重叠现象称为混叠。
问题:
对欠抽样信号用低通滤波器重建的信号 与原始信号有何关系?
37
满足采样定理