课件5：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算

例 3.已知扇形的周长为 20 cm，当它的半径和圆心角各取什么 值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解:设扇形的半径为 r，弧长为 l，面积为 S. 则 l＝20－2r， ∴S＝12lr＝12(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10)． ∴当半径 r＝5 cm 时，扇形的面积最大，为 25 cm2. 此时 α＝rl＝20－52×5＝2(rad)． ∴当它的半径为 5 cm，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大，最大值为 25 cm2.
π 12
π 6
π 4
π5 π 3 12π 2
2 3 5π 3π 4π 6
角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 π
7 6π
5π 4
4π 3
3 2π
5π 3
7 4π
11π 6
2π
知识点3：弧度制下的扇形的弧长及面积公式
(1)弧度数公式：α＝
2.弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时， 可牢记以下公式：1π80＝弧 角度 度，只要将已知数值填入相应位置， 解出未知的数值，再添上相应的单位即可．
3．弧度制下的扇形面积公式可类比三角形的面积公式来记忆． 4．引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，不仅使扇形的弧 长和面积公式变得更加简洁，也建立了角与实数间的一一对应 关系，为后面学习三角函数的定义打下了基础.
知识点2：角度制与弧度制的换算 问题导思 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换 算呢？ 利用 1 弧度角的定义进行换算．
总结 (1)角度制与弧度制的换算
2π
2π
π
π
(2)特殊角的弧度数
角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150°
弧度 0
9 (3)4π
rad＝94×180°＝405°.
(4)3 rad＝3×(18π0)°＝57.30°×3＝171.90°.
规律方法 1．在进行角度制和弧度制的换算时，应先将角度制下的含分、 秒形式的角化为小数形式并以度为单位后再用公式“π rad＝ 180°”换算． 2．特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应熟记．
(2)与 α 终边相同的角可以写为 γ＝76π＋2kπ(k∈Z)， 又－5π≤γ＜0， ∴当 k＝－3 时，γ＝－269π； 当 k＝－2 时，γ＝－167π； 当 k＝－1 时，γ＝－56π.
规律方法 用弧度来表示终边相同的角： 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成的集合用弧 度可表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，这里 α 应为弧度数．
A．110°
B．160°
C．108°
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．218°
【解析】35π＝35×180°＝108°.
【答案】C
3．把 22°30′化为弧度的结果是________．
【解析】22°30′＝22.5°＝2128.05π＝8π. 【答案】π8
4．已知一扇形的圆心角是 72°，半径等于 20 cm，求扇形的 面积． 解:设扇形弧长为 l，∵72°＝72×1π80＝25π (rad)， ∴l＝|α|r＝25π×20＝8π(cm)．
课堂检测 1．下列叙述中正确的是( ) A．1 弧度是 1 度的圆心角所对的弧 B．1 弧度是长度为半径的弧 C．1 弧度是 1 度的弧与 1 度的角之和 D．1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一 种度量单位 【解析】根据弧度制的定义知 D 项正确． 【答案】D
2.35π弧度化为角度是( )
例 2.已知角 α＝2 010°. (1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出 α 是第 几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与 α 终边相同的角．
解:(1)2 010°＝2 010×1π80＝676π＝5×2π＋76π， 又 π＜76π＜32π， 所以 α 与76π终边相同，是第三象限的角．
规律方法 1．弧度制中求扇形弧长和面积的关键在于确定半径 r 和扇形 圆心角弧度数 α，解题时通常要根据已知条件列出方程，运 用方程思想求解． 2．本例面积的最值问题是通过转化为面积关于 r 的二次函数 问题解决的，这种方法是此类问题常用的方法．
课堂小结
1.明确 1 弧度的含义是掌握本节问题的关键．
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
学习目标 1．知识与技能 (1)理解弧度的意义． (2)了解角的集合与实数集 R 之间可建立起一一对应的关系． (3)熟记特殊角的弧度数．
2．过程与方法 能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧 长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题． 3．情感、态度与价值观 (1)通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养求异创新 的精神． (2)通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比， 感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．
学习重点、难点 重点：弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 难点：“角度制”与“弧度制”的区别与联系．
知识点1：度量角的两种单位制 问题导思 1．在初中学过的角度制中，把圆周角等分成 360 份，其中的 一份是多少度？ 1度 2．在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？ 确定
总结 (1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，规定周 角的3160为 1 度的角．其中 60分 等于 1 度，60 秒等于 1 分． (2)弧度制：长度等于 半径 长的圆弧所对的 圆心角 叫做 1 弧度 的角，记作 1 rad.以 弧度 为单位来度量角的制度叫做弧度制．
∴S＝12lr＝12×8π×20＝80π(cm2).

l r
；
(2)弧长公式：l＝ αr ；
1 (3)扇形面积公式：S＝ 2lr
＝
12αr2 .
例 1.将下列各角度与弧度互化．
(1)67.5°；(2)112°30′；(3)94π；(4)3. 解:(1)67.5°＝1π80rad×67.5＝38πrad.
(2)112°30′＝112.5°＝18π0rad×112.5＝58πrad.