高考物理一轮复习学案电磁感应现象中的含容电路

电磁感应现象中的含容电路
三种情况
1. 导体棒有初速度
2. 电容器有电量
3. 导体棒有恒定外力 一．导体棒有初速度
1.（导体棒有初速度）光滑U 型金属框架宽为L ，足够长，其上放一质量为m 的金属棒ab ，左端连接有一电容为C 的电容器，现给棒一个初速v 0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。

求导体棒的最终速度。

2．（电容器有电量）如图所示，足够长的两平行光滑水平直导轨的间距为L ，导轨电阻不计，垂直于导轨平面有磁感应强度大小为B 、方向竖直向上的匀强磁场；导轨左端接有电容为C 的电容器、开关S 和定值电阻R ；质量为m 的金属棒垂直于导轨静止放置，两导轨间金属棒的电阻为r 。

初始时开关S 断开，
电容器两极板间的电压为U 。

闭合开关S ，金属棒运动，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，下列说法正确的是（ ）
A ．闭合开关S 的瞬间，金属棒立刻开始向左运动
B ．闭合开关S 的瞬间，金属棒的加速度大小为BUL
mR
C ．金属棒与导轨接触的两点间的最小电压为零
D ．金属棒最终获得的速度大小为
22BCUL
m B L C
+
3.（导体棒有恒定外力）如图所示,含电容 C 的金属导轨宽为 L,垂直放在磁感应强度为 B 的匀强磁场中,质量 为 m 的金属棒跨在导轨上,证明：在恒力 F 的作用下,做匀加速直线运动,且加速度
C
L B m F
22a +=
4.（多选）如图所示，宽为L 的水平光滑金属轨道
上放置一根质量为m 的导体棒MN ，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容器和一个阻值为R 的电阻连接，匀强磁场的方向与轨道平面垂直，磁感应强度大小为B ，电容器的电容为C ，金属轨道和导体棒的电阻不计．现将开关拨向“1”，导体棒MN 在水平向右的恒力F 作用下由静止开始运动，经时间t 0后，将开关S 拨向“2”，再经时间t ，导体棒MN 恰好开始匀速向右运动．下列说法正确的是( ) A ．开关拨向“1”时，金属棒做加速度逐渐减小的加速运动 B ．t 0时刻电容器所带的电荷量为
CBLFt 0
m ＋CB 2L 2
C ．开关拨向“2”后，导体棒匀速运动的速率为
FR B 2L 2
D ．开关拨向“2”后t 时间内，导体棒通过的位移为
FR B 2L 2(t ＋mt 0m ＋CB 2L 2－mR B 2L
2) 5（多选）．如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN 和PQ ，两导轨间距为l ，电阻均可忽略不计。

在M 和P 之间接有阻值为R 的定值电阻，导体杆ab 质量为m 、电阻为r ，并与导轨
接触良好。

整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中。

现给杆ab 一个初速度0v ，使杆向右运动。

则（ ）
A ．当杆ab 刚具有初速度0v 时，杆ab 两端的电压0Bl R
U R r
=
+v ，且b 点电势高于a 点电势 B ．通过电阻R 的电流I 随时间t 的变化率的绝对值逐渐减小
C ．若将M 和P 之间的电阻R 改为接一电容为C 的电容器，如图乙所示，同样给杆ab 一个初速度0v ，
使杆向右运动，则杆ab 稳定后的速度为0
22mv v m B l C
=
+
D ．在图乙中，若ab 杆电阻为0，在ab 杆上加一水平向右的恒力，ab 杆将水平向右做匀加速直线运动
6.(多选)在如图所示的甲、乙、丙图中，MN 、PQ 是固定在同一水平面内足够长的平行金属导轨。

导体棒ab 垂直放在导轨上，导轨都处于垂直水平面向下的匀强磁场中，导体棒和导轨间的摩擦不计，导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，甲图中的电容器C 原来不带电。

今给导体棒ab 一个向右的初速度v 0，在甲、乙、丙图中导体棒ab 在磁场中的运动状态是( ) A.甲图中，棒ab 最终做匀速运动 B.乙图中，棒ab 匀减速运动直到最终静止 C.丙图中，棒ab 最终做匀速运动
D.甲、乙、丙图中，棒ab 最终都静止
7．（多选）足够长的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨左端连接电容为C 的电容器，导轨间距为l ，磁感应强度大小为B 、方向竖直向下的匀强磁场穿过导轨所在平面。

一根质量为m 的导体棒垂直静置在导轨上，俯视图如图。

t =0时刻导体棒在水平拉力作用下从静止开始向右运动，电容器两极板间电势差U 随时间t 变化的图象如图所示，则（ ） A ．导体棒的加速度0
U a Blt =
B ．水平拉力的大小为F =
mU Blt C ．通过导体棒的电流大小为00
U C
I t =
D ．0 ~ t 0时间内安培力所做的功为W =202
U C
8．（多选）如图所示，足够长的平行光滑金属导轨倾斜放置，与水平面夹角为30°，两导轨间的距离为L ，导轨顶端接有电容为C 的电容器。

一根质量为m 的均匀金属棒ab 放在导轨上，与两导轨垂直且保持良好接触，整个装置放在磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上，重力加速度为g ，不计一切电阻。

由静止释放金属棒，金属棒下滑x 的过程中电容器未被击穿，下列说法正确的是（ ）
A ．金属棒做加速度越来越小的加速运动
B ．金属棒下滑x 时的速度v=()
222mgx m B L C +
C ．金属棒下滑x 的过程中电容器储存的电荷量q=22mgx
BLC
m B L C
+
D ．金属棒下滑x 的过程中，电容器储存的电场能
E 电=()22222mgCB L x
m B L C +
计算题
1（电容器有电量）．如图，两条平行光滑长导轨，导轨一端通过单刀双掷开关可以与超级电容器
1.0F C =或电阻10ΩR =串联。

已知导轨间距1m L =，导轨处于垂直水平面向下的匀强磁场中，磁感
应强度大小均为2T B =。

在导轨上放置一质量为 1.0kg m =、长度也为L 的光滑金属棒，0t =时刻，单刀双掷开关接到a ，导体棒在恒力10N F =作用下由静止开始运动，5s t =时撤掉F 同时，把单刀双掷开关接到b ，导体棒运动过程中保持与导轨垂直并良好接触，忽略导体棒和导轨电阻，忽略空气阻力。

求：
（1）5s t =时的导体棒的速度v ；
（2）单刀双掷开关接通b 瞬间，通过电阻R 的电流及5s t =后定值电阻产生的热量Q 。

2（20分）电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。

电磁轨道炮示意如图，图中直
流电源电动势为E ，电容器的电容为C 。

两根固定于水平面内的光滑平行金属导
轨间距为l ，电阻不计。

炮弹可视为一质量为m 、电阻为R 的金属棒MN ，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。

首先开关S 接1，使电容器完全充电。

然后将S 接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B 的匀强磁场（图中未画出），MN 开始向右加速运动。

当MN 上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN 达到最大速度，之后离开导轨。

问： （1）磁场的方向；
（2）MN 刚开始运动时加速度a 的大小；
（3）MN 离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q 是多少。

3．（电容器有电量）如图所示，在水平面内固定着间距为L 的两根光滑平行金属导轨（导轨足够长且电阻忽略不计），导轨MN 两点右侧处在方向垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中。

在导轨的左端接入电动势为E 、内阻不计的电源和电容为C 的电容器。

先将金属棒a 静置在导轨上，
闭合开关S 1、S 3，让a 运动速度达到0v 时断开S 1，同时将金属棒b 静置在导轨上，经过一段时间后，流经a 的电流为零。

已知a 、b 的长度均为L ，电阻均为R ，质量均为m ，在运动过程与导轨垂直并保持良好接触。

（1）求开关S 1、S 3闭合，a 运动速度刚为0v 时a 的加速度大小；（2）求b 产生的焦耳热b Q ； （3）若将棒a 、b 均静置在水平轨道上，闭合开关S 1、S 2，稍后再断开S 1同时闭合S 3，求两棒最终速
度的大小。

4.如图所示，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L .导轨上端接有一平行板电容器，电容为C .导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，方向垂直于导轨平面．在导轨上放置一质量为m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金
属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，忽略所有电阻，让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系．
5.如图，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内,相距为L.一质量为m的导体棒ab
垂直于MN、PO放在轨道上，与轨道接触良好．轨
道和导体棒的电阻均不计．
(1)如图甲，若轨道左端MP间接一阻值为R的电阻，
导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动．请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt 内，拉力F所做的功与电路获取的电能相等．
(2)如图乙，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻．闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度v m，求此时电源的输出功率．
(3)如图丙，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，
导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运
动．电容器两极板电势差随时间变化的图象如图所示,
已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1.求导体棒运动
过程中受到的水平拉力大小．
6．电磁弹射在电磁炮、航天器、舰载机等需要超高速的领域中有着广泛的应用，图 1 所示为电磁弹射的示意图。

为了研究问题的方便，将其简化为如图 2 所示的模型（俯视图）。

发射轨道被简化为两个固定在水平面上、间距为L 且相互平行的金属导轨，整个装置处在竖直向下、磁感应强度为B 的匀强磁场中。

发射导轨的左端为充电电路，已知电源的电动势为E，电容器的电容为C。

子弹载体被简化为一根质量为m、长度也为L 的金属导体棒，其电阻为r。

金属导体棒垂直放置于平行金属导轨上。

忽略一切摩擦阻力以及导轨和导线的电阻。

(1)发射前，将开关 S 接a，先对电容器进行充电。

a．求电容器充电结束时所带的电荷量Q；b．充电过程中电容器两极板间的电压u 随电容器所带电荷量q 发生变化。

请在图 3 中画出uq 图象；并借助图象求出稳定后电容器储存的能量E0。

(2)电容器充电结束后，将开关接b，电容器通过导体棒放电，导体棒由静止开始运动，导体棒离开轨道时发射结束。

电容器所释放的能量不能完全转化为金属导体棒的动能，将导体棒离开轨道时的动能与电容器所释放能量的比值定义为能量转化效率。

若某次发射结束时，电容器的电量减小为充电结束时的一半，不计放电电流带来的磁场影响。

a．求这次发射过程中的能量转化效率η；
b．导体棒在运动过程中由于克服非静电力做功会产生反电动势，求这次发射过程中克服非静电力所做的功。

7（20）导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识。

如图所示，固定于水平面的U形导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN在与其垂直的水平恒力F的作用下，在导线框上以速度v做匀速运动，速度v与恒力F方向相同，导线MN始终与导线框形成闭合电路，已知导线MN 电阻为R，其长度L，恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感
应强度为B，忽略摩擦阻力和导线框的电阻。

（1）通过公式推导验证：在时间内，F对导线MN所做的
功W等于电路获得的电能，也等于导线MN中产生的焦耳
热Q。

（2）若导线的质量m=8.0g，长度L=0.1m，感应电流I=1.0A，假设一个原子贡献1个自由电子，计算导线MN中电子沿导线长度方向定向移动的平均速率v（下表中列出了一些你可能用到的数据）。

（3）经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动自由电子和金属离子（金属原子失去电子后剩余部分）的碰撞，展开你想象的翅膀，给出一个合理的自由电子运动模型：在此基础上，求出导线MN中金属离子对一个自由电子沿导线长度方向的平均作用力的表达式。

电磁感应现象中的含容电路
三种情况
4. 导体棒有初速度
5. 电容器有电量
6. 导体棒有恒定外力 一．导体棒有初速度
1.（导体棒有初速度）光滑U 型金属框架宽为L ，足够长，其上放一质量为m 的金属棒ab ，左端连接有一电容为C 的电容器，现给棒一个初速v 0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。

求导体棒的最终速度。

解析：当金属棒ab 做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，
电容器C 将被充电，ab 棒中有充电电流存在，ab 棒受到安培力的作用而减速，当ab 棒以稳定速度v 匀速运动时，有：BLv=U C =q/C
而对导体棒ab 利用动量定理可得：－BLq=mv －mv0
由上述二式可求得：
2．（电容器有电量）如图所示，足够长的两平行光滑水平直导轨的间距为L ，导轨电阻不计，垂直于导轨平面有磁感应强度大小为B 、方向竖直向上的匀强磁场；导轨左端接有电容为C 的电容器、开关S 和定值电阻R ；质量为m 的金属棒垂直于导轨静止放置，两导轨间金属棒的电阻为r 。

初始时开关S 断开，电容器两极板间的电压为U 。

闭合开关S ，金属棒运动，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，下列说法正确的是（ ） A ．闭合开关S 的瞬间，金属棒立刻开始向左运动 B ．闭合开关S 的瞬间，金属棒的加速度大小为
BUL
mR
C ．金属棒与导轨接触的两点间的最小电压为零
D ．金属棒最终获得的速度大小为22BCUL
m B L C
+
【答案】 D
【详解】A ．由左手定则可知，闭合开关S 的瞬间，金属棒所受安培力方向向右，金属棒立刻获得向右的加速度，开始向右运动，A 错误； B ．闭合开关S 的瞬间，金属棒的加速度大小()
F BIL BUL a m m m R r =
==+，B 错误； C ．当金属棒切割磁感线产生的电动势跟电容器两极板之间的电压相等时，金属棒中电流为零，此后，金属棒将匀速运动下去，两端的电压达到最小值，故金属棒与导轨接触的两点间的电压不会为零，C 错误；
D ．设闭合开关S 后，电容器的放电时间为Δt ，金属棒获得的速度为v ，由动量定理可得0BIL t mv ∆=-
()=C U BLv CU q
BIL t B
L t B L t B L t mv t t t
-∆=∆=∆∆=∆∆∆等解得22BCUL v m B L C =
+，D 正确。

故选D 。

3.（导体棒有恒定外力）如图所示,含电容 C 的金属导轨宽为 L,垂直放在磁感应强度为 B 的匀强磁场中,质量 为 m 的金属棒跨在导轨上,在恒力 F 的作用下,做匀加速直线运动,且加速度
C
L B m F
2
2a +=
推导：设加速度为a ，时间为t 。

电压U=BLV=Blat C=Q/U=It/BLat 。

所以I=BLCa 。

又因为牛顿第二定律FBIL=am.
4.（多选）如图所示，宽为L 的水平光滑金属轨道上放置一根质量为m 的导体棒MN ，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容器和一个阻值为R 的电阻连接，匀强磁场的方向与轨道平面垂直，磁感应强度大小为B ，电容器的电容为C ，金属轨道和导体棒的电阻不计．现将开关拨向“1”，导体棒MN 在水平
向右的恒力F 作用下由静止开始运动，经时间t 0后，将开关S 拨向“2”，再经时间t ，导体棒MN 恰好开始匀速向右运动．下列说法正确的是( )
A ．开关拨向“1”时，金属棒做加速度逐渐减小的加速运动
B ．t 0时刻电容器所带的电荷量为
CBLFt 0
m ＋CB 2L 2
C ．开关拨向“2”后，导体棒匀速运动的速率为
FR B 2L 2
D ．开关拨向“2”后t 时间内，导体棒通过的位移为
FR B 2L 2(t ＋mt 0m ＋CB 2L 2－mR B 2L
2) BCD 开关拨向“1”时，设在极短时间Δt 内流过金属棒的电荷量为ΔQ ，则电路中的瞬时电流 I ＝ΔQ
Δt ，
电容器的电压 U ＝BLv ，电荷量 Q ＝CU ，则ΔQ ＝C ΔU ＝CBL Δv ，可得 I ＝CBL Δv
Δt
＝CBLa .对金属棒，
由牛顿第二定律得 F －BIL ＝ma ，联立得金属棒的瞬时加速度 a ＝F
m ＋CB 2L 2
.由于加速度表达式中的各
个物理量都不随时间、位移变化，由此可知金属棒的加速度不变，做匀加速直线运动，A 错误．t 0时
刻金属板MN 速度v 0＝at 0，电容器所带的电压 U ＝BLv 0＝BLat 0，电荷量 Q ＝CU ，解得 Q ＝CBLFt 0
m ＋CB 2L 2，B
正确．由F 安＝BIL ，I ＝E R ，E ＝BLv ，联立解得F 安＝B 2L 2v
R
.开关拨向“2”，t 时间后，导体棒匀速运动
时，有 F ＝F 安，解得 v ＝
FR
B 2L 2
，C 正确．开关拨向“2”后t 时间内，根据牛顿第二定律得F －F 安＝F －B 2L 2v R ＝ma ＝m Δv Δt ，得 F Δt －B 2L 2v R Δt ＝m Δv .两边求和得∑⎝ ⎛⎭⎪⎫F Δt －B 2L 2v R Δt ＝∑m Δv .而∑v Δt ＝x ，∑Δv ＝v －v 0，联立解得位移 x ＝FR B 2L 2(t ＋mt 0m ＋CB 2L 2－mR
B 2L 2
)，D 正确．
5（多选）．如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN 和PQ ，两导轨间距为l ，电阻均可忽略不计。

在M 和P 之间接有阻值为R 的定值电阻，导体杆ab 质量为m 、电阻为r ，并与导轨接触良好。

整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中。

现给杆ab 一个初速度0v ，使杆向右运动。

则（ ）
A ．当杆ab 刚具有初速度0v 时，杆ab 两端的电压0Bl R
U R r
=+v ，且b 点电势高于a 点电势
B ．通过电阻R 的电流I 随时间t 的变化率的绝对值逐渐减小
C ．若将M 和P 之间的电阻R 改为接一电容为C 的电容器，如图乙所示，同样给杆ab 一个初速度0v ，使杆向右运动，则杆ab 稳定后的速度为0
22mv v m B l C
=
+
D ．在图乙中，若ab 杆电阻为0，在ab 杆上加一水平向右的恒力，ab 杆将水平向右做匀加速直线运动 【答案】BCD
【详解】A ．当杆ab 刚具有初速度0v 时，ab 产生的感应电动势大小为00E Blv = ①根据串联分压规律可得杆ab 两端的电压为00ab RE Blv R
U R r R r
=
=++ ②根据右手定则可知感应电流方向由b →a ，所以a 点电势高于b 点电势，故A 错误；
B ．设ab 在某时刻的速度大小为v 1，根据闭合电路欧姆定律可得1
Blv I R r
=+ ③ab 所受安培力大小为
221A B l v F BIl R r
==+ ④根据牛顿第二定律可知ab 在速度大小为v 1时的加速度大小为
()
22A 1
1F B l v a m m R r ==+ ⑤
易知ab 做减速运动，即v 1减小，所以a 1减小，则v 1随t 的变化率的绝对值逐渐减小，再根据④式可知I 随t 的变化率的绝对值逐渐减小，故B 正确；
C ．若将M 和P 之间的电阻R 改为接一电容为C 的电容器，如图乙所示，同样给杆ab 一个初速度0v ，使杆向右运动，设ab 从开始运动到最终稳定过程中回路中的平均电流为I ，经历时间为t ，对ab 根据动量定理有0BIlt mv mv -=- ⑥ab 稳定后电容器所带电荷量为Q It CU == ⑦此时ab 产生的感应电动势大小等于电容器两端电压，即U Blv = ⑧联立⑥⑦⑧解得0
22mv v m B l C
=
+ ⑨故C 正确；
D ．若ab 杆电阻为0，在ab 杆上加一水平向右的恒力F ，设ab 从静止开始在一极短的时间t ∆内速度的变化量为v ∆，此时电容器两端电压为ΔΔU Bl v = ⑩电容器所带电荷量为ΔΔQ C U = ⑪
ab 的加速度为2v
a t ∆=
∆ ⑫通过ab 的电流为Δab Q I t
∆= ⑬根据牛顿第二定律有2ab F BI l ma -= ⑭
联立⑩⑪⑫⑬⑭解得222F
a m B l C
=+ ⑮即a 2为定值，所以ab 杆将水平向右做匀加速直线运动，
故D 正确。

故选BCD 。

6.(多选)在如图所示的甲、乙、丙图中，MN 、PQ 是固定在同一水平面内足够长的平行金属导轨。

导体棒ab 垂直放在导轨上，导轨都处于垂直水平面向下的匀强磁场中，导体棒和导轨间的摩擦不计，导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，甲图中的电容器C 原来不带电。

今给导体棒ab 一个向右的
初速度v 0，在甲、乙、丙图中导体棒ab 在磁场中的运动状态是( ) A.甲图中，棒ab 最终做匀速运动 B.乙图中，棒ab 匀减速运动直到最终静止 C.丙图中，棒ab 最终做匀速运动 D.甲、乙、丙图中，棒ab 最终都静止 答案 AC
解析 甲图中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器充电，当电容器C 极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中没有电流，ab 棒不受安培力，向右做匀速运动，故A 正确；乙图中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，通过电阻R 转化为内能，ab 棒速度减小，当ab
棒的动能全部转化为内能时，ab 棒静止，又由于I ＝Blv
R
，F ＝IlB ，由于速度减小，则产生感应电流
减小，导体棒所受安培力减小，根据牛顿第二定律可知导体棒的加速度减小，所以乙图中，棒ab 做加速度减小的减速运动，最终静止，故B 错误；丙图中，导体棒先受到向左的安培力作用向右做减速运动，速度减为零后再在安培力作用下向左做加速运动，当导体棒产生的感应电动势与电源的电动势相等时，电路中没有电流，ab 棒向左做匀速运动，故C 正确；由以上分析可知，甲、乙、丙中，只有图乙中棒ab 最终静止，故D 错误。

7．足够长的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨左端连接电容为C 的电容器，导轨间距为l ，磁感应强度大小为B 、方向竖直向下的匀强磁场穿过导轨所在平面。

一根质量为m 的导体棒垂直静置在导轨上，俯视图如图。

t =0时刻导体棒在水平拉力作用下从静止开始向右运动，电容器两极板间电势差U 随时间t 变化的图象如图所示，则（ ） A ．导体棒的加速度0
U a Blt =
B ．水平拉力的大小为F =
mU Blt C ．通过导体棒的电流大小为00
U C I t =
D ．0 ~ t 0时间内安培力所做的功为W =202
U C
【答案】AC
【详解】A.电容器两端电势差U 等于导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小，当导体棒速度为v 时，有
=U Blv ①由题图可知U 随t 均匀变化，则v 也随t 均匀变化，即导体棒做匀加速运动，设t 0时刻导体棒的速度大小为v 0，则根据加速度的定义可知0
v a t = ②且00=U Blv ③联立②③解得0
U a Blt =
④ BC.t 0时间内通过导体棒某一横截面的电荷量等于给电容器充入的电荷量，则根据电流的定义可知通过导体棒的电流大小为00
q CU I t t =
= ⑤由⑤式可知通过导体棒的电流大小不变，导体棒所受安培力大小不变，F 为恒力，根据牛顿第二定律可得F BIl ma -= ⑥联立④⑤⑥解得00
00
mU BlCU F Blt t =+ ⑦故B 错误，C 正确；
D.0~t 0时间内，导体棒的位移大小为2
012
x at =
⑧安培力所做的功为W BIlx =- ⑨联立④⑤⑧⑨解得2
02
CU W =- ⑩故D 错误。

故选AC 。

8．如图所示，足够长的平行光滑金属导轨倾斜放置，与水平面夹角为30°，两导轨间的距离为L ，导轨顶端接有电容为C 的电容器。

一根质量为m 的均匀金属棒ab 放在导轨上，与两导轨垂直且保持良好接触，整个装置放在磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上，重力加速度为g ，不计一切电阻。

由静止释放金属棒，金属棒下滑x 的过程中电容器未被击穿，下列说法正确的是（ ）
A ．金属棒做加速度越来越小的加速运动
B ．金属棒下滑x 时的速度v=
()
222mgx
m B L C +
C ．金属棒下滑x 的过程中电容器储存的电荷量q=22mgx
BLC
m B L C
+
D ．金属棒下滑x 的过程中，电容器储存的电场能
E 电=()22222mgCB L x
m B L C +
【答案】CD
【详解】A ．导体棒沿光滑导轨下滑切割磁感线产生动生电动势，同时给电容器充电，由牛顿第二定律有
sin30mg BiL ma ︒-=而充电电流为q C U C BL v
i CBLa t t t
∆⋅∆⋅∆=
===∆∆∆联立可得222()mg a m CB L =+
可知加速度恒定，即金属棒做匀加速直线运动，故A 错误；
B ．金属棒做匀加速直线运动，则下滑x 时的速度为v ，有22v ax =联立解得速度
()22mgx v m B L C =+
故B 错误；
C ．金属棒下滑x 的过程中电容器储存的电荷量为22mgx
q C U C BLv BLC
m B L C
=⋅=⋅=+故C 正确；
D ．金属棒下滑x 的过程中，电容器储存的电荷量为q CU =电荷量与电压成正比，则电容器储存的电场能为
211=22E qU CU =电而22mgx U BLv BL m B L C
==+联立解得()
22
22=2mgCB L x E m B L C +电另解：对棒的下滑过程由动能定理，有2
1sin 30=02
F mg x W mv ︒⋅--安而F W E =安电联立解得()
2222=2mgCB L x E m B L C +电故D 正确；故选CD 。

计算题
1（电容器有电量）．如图，两条平行光滑长导轨，导轨一端通过单刀双掷开关可以与超级电容器
1.0F C =或电阻10ΩR =串联。

已知导轨间距1m L =，导轨处于垂直水平面向下的匀强磁场中，磁感
应强度大小均为2T B =。

在导轨上放置一质量为 1.0kg m =、长度也为L 的光滑金属棒，0t =时刻，单刀双掷开关接到a ，导体棒在恒力10N F =作用下由静止开始运动，5s t =时撤掉F 同时，把单刀双掷开关接到b ，导体棒运动过程中保持与导轨垂直并良好接触，忽略导体棒和导轨电阻，忽略空气阻力。

求：
（1）5s t =时的导体棒的速度v ；
（2）单刀双掷开关接通b 瞬间，通过电阻R 的电流及5s t =后定值电阻产生的热量Q 。

【详解】（1）在恒力作用时，设金属棒滑动过程某时刻t 速度为v ，则感应电动势为E BLv =平行板电容器两极板之间的电势差为U E =
设此时电容器极板上积累的电荷量为Q ，按定义有Q
C U
=联立可得Q CBLv =
t t +∆时刻速度为'v ，
同理，此时电容器电荷量''Q CBLv =在t ∆时间内通过金属棒的电流''Q Q v v
I CBL CBLa t t
--===∆∆ 其中a 是金属棒的加速度，根据牛顿第二定律F BIL ma -=所以22F
a B L C m
=
+
代入数据得22m/s a =所以金属棒做初速度为零的匀加速运动， 根据运动学公式，有10m/s v at ==
（2）根据法拉第电磁感应定律20V E BLv ==
根据闭合电路欧姆定律2A E
I R
=
= 根据能量守恒，导体棒的动能转化为定值电阻R 产生的热量，所以2
150J 2
Q mv =
= 2（20分）电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天
运载器。

电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E ，电容器的电容为C 。

两根固定于水平面内的光滑平行金属导
轨间距为l ，电阻不计。

炮弹可视为一质量为m 、电阻为R 的金属棒MN ，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。

首先开关S 接1，使电容器完全充电。

然后将S 接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B 的匀强磁场（图中未画出），MN 开始向右加速运动。

当MN 上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN 达到最大速度，之后离开导轨。

问： （1）磁场的方向；
（2）MN 刚开始运动时加速度a 的大小；
（3）MN 离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q 是多少。

（1）垂直于导轨平面向下。

（2）电容器完全充电后，两极板间电压为E ，当开关S 接2时，电容器放电，设刚放电时流经MN 的电流为I ，有E
I R
=
① 设MN 受到的安培力为F ，有F =IlB ② 由牛顿第二定律有F =ma ③ 联立①②③式得a BlEmR =④
（3）当电容器充电完毕时，设电容器上电量为Q 0，有Q 0=CE ⑤
开关S 接2后，MN 开始向右加速运动，速度达到最大值v max 时，设MN 上的感应电动势为E '，有 max E Blv '=⑥。