mmse均衡公式推导过程

mmse均衡公式推导过程
MMSE（Minimum Mean Square Error）是一种线性均衡器，可
以在加性高斯噪声下最小化平方误差。

下面是MMSE均衡公
式的推导过程：
1. 假设有一组输入信号x和一组输出信号y，其中y是由x通
过一个未知的系统变换得到的。

2. 假设输入信号x和输出信号y之间的关系可以表示为线性形式，即y = Hx + n，其中H是一个未知的系统矩阵，n是加性
高斯噪声。

3. 我们的目标是通过观测到的输出信号y来估计输入信号x的值，即通过y估计x。

4. 假设我们使用一个线性滤波器w来对观测信号y进行处理，即我们估计的x可以表示为x_hat = wy。

5. 均方误差（MSE）是评估x_hat与实际输入信号x之间差异
大小的指标，我们的目标是最小化MSE。

6. MSE可以表示为E[(x - x_hat)^2]，其中E[·]表示期望值操作。

7. 带入x_hat的表达式，我们可以得到MSE = E[(x - wy)^2]。

8. 对MSE进行展开并利用期望值的性质，我们可以得到MSE = E[x^2] - 2E[xy]w + w^TWy^2 ，其中W是一个协方差矩阵。

9. 我们的目标是最小化MSE，可以通过对w求导并令导数等于零来求解最优的w。

10. 对w求导并令导数等于零，我们可以得到 -2E[xy] +
2w^TWy = 0。

11. 解方程可以得到最优的w为 w = (E[xy]) / (Wy) 。

12. 将w代入x_hat的表达式，我们可以得到最优的估计值
x_hat 为 x_hat = (E[xy]) / (Wy) y。

综上所述，MMSE均衡公式的推导过程就是通过最小化MSE 来得到最优的线性滤波器w，从而实现通过观测信号y估计输入信号x的值。