福建省各市中考数学分类解析 专题12 押轴题

福建9市2012年中考数学试题分类解析汇编
专题12：押轴题
一、选择题
1. （2012福建龙岩4分）如图，矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD 绕AB 所在直线旋转一 周所得圆柱的侧面积为【 】
A ．10π
B ．4π
C ．2π
D ．2
【答案】B 。

【考点】矩形的性质，旋转的性质。

【分析】把矩形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周所得圆柱是以BC=2为底面半径，AB=1为高。

所以，它 的侧面积为221=4ππ⋅⋅。

故选B 。

2. （2012福建南平4分）如图，正方形纸片ABCD 的边长为3，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，将AB 、AD 分别和AE 、AF 折叠，点B 、D 恰好都将在点G 处，已知BE=1，则EF 的长为【 】
A ．
32 B ．52 C ．9
4
D ．3 【答案】B 。

【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。

【分析】∵正方形纸片ABCD 的边长为3，∴∠C=90°，BC=CD=3。

根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF 。

设DF=x ，则EF=EG ＋GF=1＋x ，FC=DC －DF=3－x ，EC=BC －BE=3－1=2。

在Rt△EFC 中，EF 2
=EC 2
＋FC 2
，即（x ＋1）2
=22
＋（3－x ）2
，解得：3
x 2
=。

∴DF=
32 ，EF=1＋35
=22。

故选B 。

3. （2012福建宁德4分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD
的各边上，EF∥HG，EH∥FG，则四边形EFGH的周长是【】
A．10 B．13 C．210 D．213
4. （2012福建莆田4分）如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－
2)．
把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A—B—C －D—A一…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是【】
A ．(1，－1)
B ．(－1，1)
C ．(－1，－2)
D ．(1，－2) 【答案】B 。

【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标。

【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD 的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案：
∵A（1，1），B （－1，1），C （－1，－2），D （1，－2），
∴AB=1－（－1）=2，BC=1－（－2）=3，CD=1－（－1）=2，DA=1－（-2）=3。

∴绕四边形ABCD 一周的细线长度为2＋3＋2＋3=10， ∵2012÷10=201…2，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，即点B 的位置。

∴所求点的坐标为（－1，1）。

故选B 。

5. （2012福建厦门3分）已知两个变量x 和y ，它们之间的3组对应值如下表所示.
则y 与x 之间的函数关系式可能是【 】 A ．y ＝x B ．y ＝2x ＋1 C ．y ＝x 2
＋x ＋1
D ．y ＝3
x
【答案】B 。

【考点】函数关系式，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】观察这几组数据，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，找出符合要求的关系式：
A ．根据表格对应数据代入不能全得出y=x ，故此选项错误；
B ．根据表格对应数据代入均能得出y=2x+1，故此选项正确；
C ．根据表格对应数据代入不能全得出y ＝x 2
＋x ＋1，故此选项错误； D ．根据表格对应数据代入不能全得出y ＝3
x
，故此选项错误。

故选B 。

6．（2012福建漳州4分）在公式I=U
R
中，当电压U 一定时，电流I 与电阻R 之间的函数关系可用图 象大致表示为【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 。

【考点】跨学科问题，反比例函数的图象。

【分析】∵在公式I=
U
R
中，当电压U 一定时，电流I 与电阻R 之间的函数关系不反比例函数关系，且R 为正数，∴选项D 正确。

故选D 。

7. （2012福建三明4分）如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在x 轴上，若以P ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有【 】
A ． 2个
B ． 3个
C ．4个
D ．5个
【答案】C 。

【考点】等腰三角形的判定。

【分析】如图，分OP=AP （1点），OA=AP （1点），OA=OP （2点）三种情况讨论。

∴以P ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有4个。

故选C 。

8. （2012福建福州4分）如图，过点C(1，2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于A 、B 两点，若反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是【 】
A ．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8 【答案】A 。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。

【分析】∵ 点C(1，2)，BC∥y 轴，AC∥x 轴，
∴ 当x ＝1时，y ＝－1＋6＝5；当y ＝2时，－x ＋6＝2，解得x ＝4。

∴ 点A 、B 的坐标分别为A(4，2)，B(1，5)。

根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C 相交时，k ＝1×2＝2最小。

设与线段AB 相交于点(x ，－x ＋6)时k 值最大， 则k ＝x(－x ＋6)＝－x 2
＋6x ＝－(x －3)2
＋9。

∵ 1≤x≤4，∴ 当x ＝3时，k 值最大，此时交点坐标为(3，3)。

因此，k 的取值范围是2≤k≤9。

故选A 。

9. （2012福建泉州3分）如图，点O 是△ABC 的内心，过点O 作EF∥AB，与AC 、BC 分别交于点E 、F ，则【 】
A .EF>AE+BF B. EF<AE+BF C.EF=AE+BF D.EF≤AE+BF 【答案】C 。

【考点】三角形内心的性质，切线的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】如图，连接圆心O 和三个切点D 、G 、H ，分别过点E 、F 作AB 的垂
线交AB 于点I 、J 。

∵EF∥AB，∴∠HEO=∠IAE，EI=OD 。

又∵OD=OH，∴EI=OH。

又∵∠EHO=∠AIE=900
，∴△EHO≌△AIE（AAS ）。

∴EO=AE。

同理，FO=BF 。

∴AE+BF= EO+FO= EF 。

故选C 。

二、填空题
1. （2012福建厦门4分）如图，已知∠ABC＝90°，AB ＝πr ，BC ＝πr
2，半径为r 的⊙O 从点A 出发，沿
A→B→C 方向滚动到点C 时停止.请你根据题意，在图上画出圆心．．O 运动路径的示意图；圆心O 运动的路程是 ▲ .
【答案】2πr 。

【考点】作图题，弧长的计算。

【分析】根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：OO 1，O 1O 2 ，O 2O 3，分别计算出各部分的长再相加即可：
圆心O 运动路径如图：
∵OO 1=AB=πr ；O 1O 2 =
90r 1r 1802ππ=；O 2O 3=BC=1
r 2
π ， ∴圆心O 运动的路程是πr+1r 2π+1
r 2
π =2πr 。

2. （2012福建莆田4分）点A 、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐 标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA 十QB 的值最小的点， 则OP OQ ⋅＝ ▲ ．
【答案】5。

【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】连接AB 并延长交x 轴于点P ，作A 点关于y 轴的对称点A′连接A′B 交y 轴于点Q ，求出点Q 与y 轴的交点坐标即可得出结论：
连接AB 并延长交x 轴于点P ，
由三角形的三边关系可知，点P 即为x 轴上使得|PA －PB|的值最大的点。

∵点B 是正方形ADPC 的中点， ∴P（3，0）即OP=3。

作A 点关于y 轴的对称点A′连接A′B 交y 轴于点Q ，则A′B 即为QA+QB 的最小值。

∵A′（-1，2），B （2，1）， 设过A′B 的直线为：y=kx+b ，
则 2k b 12k b =-+⎧⎨=+⎩，解得1k 3
5
b 3⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

∴Q（0，53 ），即OQ=53。

∴OP•OQ=3×
5
3
=5。

3. （2012福建南平3分）设[x ）表示大于x 的最小整数，如[3）=4，[－1.2）=－1， 则下列结论中正确的是 ▲ ．（填写所有正确结论的序号）
①[0）=0；②[x）－x 的最小值是0；③[x）－x 的最大值是0；④存在实数x ，使[x ）－x=0.5成立． 【答案】④。

【考点】新定义，实数的运算。

【分析】根据题意[x ）表示大于x 的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案：
①[0）=1，故结论错误；
②[x）－x ＞0，但是取不到0，故结论错误； ③[x）－x≤1，即最大值为1，故结论错误；
④存在实数x ，使[x ）－x=0.5成立，例如x=0.5时，故结论正确。

故答案为④。

4. （2012福建宁德3分）如图，点M 是反比例函数y ＝ 1
x 在第一象限内图象上的点，作MB⊥x 轴于点
B ．过点M 的第一条直线交y 轴于点A 1，交反比例函数图象于点
C 1，且A 1C 1＝
1
2
A 1M ，△A 1C 1
B 的面积 记为S 1；过点M 的第二条直线交y 轴于点A 2，交反比例函数图象于点
C 2，且A 2C 2＝ 1
4A 2M ，△A 2C 2B 的
面积记为S 2；过点M 的第三条直线交y 轴于点A 3，交反比例函数图象于点C 3，且A 3C 3＝ 1
8
A 3M ，△A 3C 3
B
的面积记为S 3；依次类推…；则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 8＝ ▲ ．
【答案】
255
512。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线分线段成比例定理。

【分析】过点M 作MD⊥y 轴于点D ，过点A 1作A 1E⊥BM 于点E ，过点C 1作C 1F⊥BM 于点F ，
∵点M 是反比例函数y ＝ 1
x 在第一象限内图象上的点，
∴OB×DM=1。

∴1A BM 11S OB MB 22
∆=⋅⋅=。

∵A 1C 1=
1
2
A 1M ，即C 1为A 1M 中点， ∴C 1到BM 的距离C 1F 为A 1到BM 的距离A 1E 的一半。

∴111BMC A BM 11S S S 24
∆∆===。

∴2BMA 2111S BM A BM BM BO 222∆=
⋅⋅=⋅⋅=到距离。

∵A 2C 2＝ 1 4A 2M ，∴C 2到BM 的距离为A 2到BM 的距离的3
4。

∴2222A C B BMA 11
S S S 48∆∆===。

同理可得：S 3=116，S4=1
32
，…
∴12388911111111255
S S S S 484825651251222
⋯++⋯++=++⋯++=
＋＋＋＋＝。

5. （2012福建龙岩3分）如图，平面直角坐标系中，⊙O 1过原点O ，且⊙O 1与⊙O 2相外切，圆心O 1与O 2在x 轴正半轴上，⊙O 1的半径O 1P 1、⊙O 2的半径O 2P 2都与x 轴垂直，且点P 1()11x y ，、P 2()22x y ，在反比例函数1
y=
x
（x>0）的图象上，则12y +y = ▲ ．
【考点】反比例函数综合题。

【分析】∵⊙O 1过原点O ，⊙O 1的半径O 1P 1，∴O 1O=O 1P 1。

∵⊙O 1的半径O 1P 1与x 轴垂直，点P 1（x 1，y 1）在反比例函数1
y=x
（x ＞0）的图象上， ∴x 1=y 1，x 1y 1=1。

∴x 1=y 1=1。

∵⊙O 1与⊙O 2相外切，⊙O 2的半径O 2P 2与x 轴垂直， 设两圆相切于点A ，∴AO 2=O 2P 2=y 2，OO 2=2+y 2。

∴P 2点的坐标为：（2+y 2，y 2）。

∵点P 2在反比例函数1
y=
x
（x ＞0）的图象上，
∴（2+y 2）•y 2=1，解得：y 2=－ 或－1（不合题意舍去）。

∴y 1+y 2=1+（－）
6. （2012福建漳州4分）如图，点A(3，n)在双曲线y=
3
x
上，过点A 作 AC⊥x 轴，垂足为C ．线段OA 的垂直平分线交OC 于点B ，则△ABC 周长的值是 ▲ ．
【答案】4。

【考点】反比例函数的图象和性质，曲线上点的坐标与方程的关系，线段垂直平分线的性质，勾股定理。

【分析】由点A(3，n)在双曲线y=
3
x
上得，n=1。

∴A(3，1)。

∵线段OA 的垂直平分线交OC 于点B ，∴OB=AB。

则在△ABC 中， AC=1，AB ＋BC=OB ＋BC=OC=3， ∴△ABC 周长的值是4。

7. （2012福建三明4分）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a 的值是 ▲ ．
【答案】900。

【考点】分类归纳（数字变化类）。

【分析】寻找规律：
上面是1，2 ，3，4，…，；左下是1，4=22
，9=32
，16=42
，…，； 右下是：从第二个图形开始，左下数字减上面数字差的平方：
（4－2）2
，（9－3）2
，（16－4）2
，… ∴a=（36－6）2
=900。

8. （2012福建福州4分）如图，已知△ABC，AB ＝AC ＝1，∠A＝36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于 点D ，则AD 的长是 ▲ ，cosA 的值是 ▲ ．(结果保留根号)
【答案】
5－12；5＋1
4。

【考点】黄金分割，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。

【分析】可以证明△ABC∽△BDC，设AD ＝x ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x 的值；过点D 作DE⊥AB 于点E ，则E 为AB 中点，由余弦定义可求出cosA 的值：
∵ 在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A＝36°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝180°－∠A 2＝72°。

∵ BD 是∠ABC 的平分线，∴ ∠ABD＝∠DBC＝1
2∠ABC＝36°。

∴ ∠A＝∠DBC＝36°。

又∵∠C＝∠C，∴ △ABC∽△BDC。

∴ AC BC ＝BC
CD。

设AD ＝x ，则BD ＝BC ＝x ．则1x ＝x 1－x ，解得：x ＝5＋12(舍去)或5－1
2。

∴x＝
5－1
2。

如图，过点D 作DE⊥AB 于点E ，∵ AD＝BD ，∴E 为AB 中点，即AE ＝12AB ＝1
2。

在Rt△AED 中，cosA ＝AE AD ＝1
2
5－1
2
＝5＋1
4。

9. （2012福建泉州4分）在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于A 、B ），过点P 的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点．．P ．的．△ABC ．．．．的相似线，．．．．．简记为P(x l ),(x 为自然数). （1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA 时，P （1l ）、P （2l ）都是．．过点P 的△ABC 的相似线（其中1l ⊥BC，2l ∥AC）
，此外还有 ▲ _条. （2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当
BP
BA =
▲ 时，P(x l )截得的三角形面积为△ABC 面积的4
1.
【答案】（1）1；（2）
12或3
4。

【考点】相似三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）如图， “相似线”还有一条，即与BC 平行的直线3l 。

（2）如图， “相似线”有三条：1l ，2l ，3l 。

∵P(x l )截得的三角形面积为△ABC 面积的
1
4， ∴△PBD，△APE，△FBP 和△ABC 的相似比是1
2。

对于△PBD，有BP 1
BA 2=。

对于△APE，有PA 1BA 2=，∴BP 1
BA 2
=。

对于△FBP，若点F 在BC 上，有BP BF 1
BC BA 2
==，即BA=2BF。

又在Rt△BPF 中，∠B=30°，则BP cos B=
BF ∠。

∴BP BP 1
BA 2BF 2==。

若点F 在AC 上，有PA FA 1
CA BA 2
==，即BA=2FA 。

又在Rt△APF 中，∠A=60°，则PA 1
cos A==FA 2
∠。

∴PA PA 111BA 2FA 224==⋅=。

∴BP 3BA 4
=。

综上所述，当BP 1BA 2=或3
4
时，P(x l )截得的三角形面积为△ABC 面积的14。

三、解答题
1. （2012福建厦门10分）已知
ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，点P 在边AD 上，过点P 分
别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E 、F ，PE ＝PF ． （1）如图，若PE ＝3，EO ＝1，求∠EPF 的度数；
（2）若点P 是AD 的中点，点F 是DO 的中点，BF ＝BC ＋32－4，求BC 的长．
【答案】解：（1）连接PO ,
∵ PE＝PF ，PO ＝PO ，PE⊥AC、PF⊥BD， ∴ Rt△PEO≌Rt△PFO（HL ）。

∴∠EPO＝∠FPO。

在Rt△PEO 中， tan∠EPO＝
EO PE ＝3
3
， ∴ ∠EPO＝30°。

∴ ∠EPF＝60°。

（2）∵点P 是AD 的中点，∴ AP＝DP 。

又∵ PE＝PF ，∴ Rt△PEA≌Rt△PFD（HL ）。

∴∠OAD＝∠OD A 。

∴ OA＝OD 。

∴ AC＝2OA ＝2OD ＝BD 。

∴ABCD 是矩形。

∵ 点P 是AD 的中点，点F 是DO 的中点，∴ AO∥PF 。

∵ PF⊥BD，∴ AC⊥BD。

∴ABCD 是菱形。

∴ABCD 是正方形。

∴ BD＝2BC 。

∵ BF＝34BD ，∴BC＋32－4＝324
BC ，解得，BC ＝4。

【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。

【分析】（1）连接PO ，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO 和△PFO 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解。

（2）根据条件证出 ABCD 是正方形。

根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。

2. （2012福建厦门12分）已知点A(1，c)和点B (3，d )是直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线y ＝k 2
x
（k 2＞0）的
交 点．
（1）过点A 作AM⊥x 轴，垂足为M ，连结BM ．若AM ＝BM ，求点B 的坐标；
（2）设点P 在线段AB 上，过点P 作PE⊥x 轴，垂足为E ，并交双曲线y ＝k 2x （k 2＞0）于点N ．当 PN
NE 取
最大值时，若PN ＝ 1
2
，求此时双曲线的解析式．
【答案】（1）解：∵点A(1，c)和点B (3，d )在双曲线y ＝k 2
x
（k 2＞0）上，
∴ c＝k
2＝3d 。

∵ k 2＞0， ∴ c＞0，d ＞0。

∴A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限。

∴ AM＝3d 。

过点B 作BT⊥AM，垂足为T 。

∴ BT＝2，TM ＝d 。

∵ AM＝BM ，∴ BM＝3d 。

在Rt△BTM 中，TM 2
＋BT 2
＝BM 2
，即 d 2
＋4＝9d 2
，∴ d＝22。

∴点B(3，
2
2
)。

（2）∵ 点A(1，c)、B(3，d)是直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线y ＝k 2
x
（k 2＞0）的交点，
∴c＝k
2,，3d ＝k 2，c ＝k 1＋b ，d ＝3k 1＋b 。

∴k 1＝－13k 2，b ＝4
3
k 2。

∵ A(1，c)和点B (3，d )都在第一象限， ∴ 点P 在第一象限。

设P （x ，k 1x ＋b ），
∴PE NE ＝k 1x ＋b k 2x
＝k 1k 2x 2＋b k 2x ＝－13x 2＋43
x 。

＝()214x 2+33
-
- ∵当x ＝1，3时，PE NE ＝1，又∵当x ＝2时， PE NE 的最大值是4
3。

∴1≤PE NE ≤4
3.。

∴ PE≥NE。

∴ PN NE ＝PE NE －1＝()211x 2+33--。

∴当x ＝2时，PN NE 的最大值是13。

由题意，此时PN ＝12，∴ NE＝32。

∴ 点N(2，3
2) 。

∴ k 2＝3。

∴此时双曲线的解析式为y ＝3
x。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，二次函数的最值。

【分析】（1）过点B 作BT⊥AM，由点A （1，c ）和点B （3，d ）都在双曲线y ＝k 2
x （k 2＞0）上，得到c=3d ，
则A 点坐标为（1，3d ），在Rt△BTM 中应用勾股定理即可计算出d 的值，即可确定B 点坐标。

（2）P （x ，k 1x ＋b ），求出PN NE 关于x 的二次函数，应用二次函数的最值即可求得PN
NE
的最大值，此
时根据PN ＝12求得NE ＝32，从而得到N(2，32)，代入y ＝k 2
x 即可求得k 2＝3。

因此求得反比例函数的解析式
为y ＝3
x。

3. （2012福建莆田12分）(1)(3分)如图①，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BD⊥AC 于点D ． 求证：AB 2
＝AD·AC；
(2)(4分)如图②，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，点D 为BC 边上的点，BE⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ．
AB B C 1D B DC ==，求
AF
FC
的值； (3)(5分) 在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，点D 为直线BC 上的动点(点D 不与B 、C 重合)，直线BE⊥ＡD 于点E ，交直线AC 于点F 。

若AB BD n BC DC ==，请探究并直接写出AF
FC
的所有可能的值(用含n 的式子表 示)，不必证明．
【答案】解：(1)证明：如图①，∵ BD⊥AC，∠ABC=90°，∠ADB＝∠ABC， 又∵ ∠A＝∠A，∴ △ADB∽△ABC 。

∴
AB AD AC AB
=
，∴ AB 2
＝AD·AC。

(2)如图②，过点C 作CG⊥AD 交AD 的延长线于点G 。

∵ BE⊥AD，∴ ∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF。

又∵
AB BD
1BC DC
==， ∴AB＝BC ＝2BD ＝2DC ，BD ＝DC 。

又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG（AAS ）。

∴ED＝GD ＝
1
EG 2。

由(1)可得：AB 2
＝AE·AD，BD 2
＝DE·AD，
∴2222AE AB (2BD)4DE BD BD ===。

∴ AE＝4DE 。

∴AE 4DE
2EG DE
==。

又∵CG∥BF，∴
AF AE
2FC EG
==。

(3) ①当点D 在BC 边上时，AF FC
的值为n 2
＋n ；
②当点D 在BC 延长线上时，AF FC 的值为n 2
－n ；
③当点D 在CB 延长线上时，AF FC
的值为n －n 2。

【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例的性质。

【分析】（1）由证△ADB∽△ABC 即可得到结论。

（2）过点C 作CG⊥AD 交AD 的延长线于点G ，由已知用AAS 证△BDE≌△CDG，得到EF 是△ACG 的中位线，应用（1）的结论即可。

（3）分点D 在BC 边上、点D 在BC 延长线上和点D 在CB 延长线上三种情况讨论：
①当点D 在BC 边上时，如图3，过点C 作CG⊥AD 交AD 的延长线于点G 。

∵ BE⊥AD，∴ ∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF。

∴△BDE∽△CDG。

∴
ED BD
GD DC
=。

又∵AB BD n BC DC ==，∴ED BD n GD DC
==
∴AB＝nBC ，BD ＝nDC ，ED ＝nGD 。

∴BC=（n ＋1）DC ，EG=1
1+n
（）ED 。

由(1)可得：AB 2
＝AE·AD，BD 2
＝DE·AD，
∴()
[]2
22222222n 1DC AE AB (nBC)BC n 1DE BD DC DC nDC =====（＋）（＋）。

∴ AE＝2
n 1（＋） DE 。

∴
22AE n 1DE
n +n 1EG 1+DE n
==（＋）（）。

又∵CG∥BF，∴
2AF AE
n +n FC EG
==。

②当点D 在BC 延长线上时，如图4，过点C 作CH⊥AD 交AD 于点H 。

∵ BE⊥AD，∴ ∠CHD＝∠BED＝90°，CH∥BF。

∴△BDE∽△CDH。

∴
ED BD
HD CD
=
又∵AB BD n BC DC ==，∴ED BD n HD DC
==
∴AB＝nBC ，BD ＝nDC ，ED ＝nHD 。

∴BC=（n －1）DC ，EH=1
1n
-（）ED 。

由(1)可得：AB 2
＝AE·AD，BD 2
＝DE·AD， ∴
()[]
2
222
22222
n 1DC AE AB (nBC)BC
n 1DE BD DC
DC nDC -=====-（）（）。

∴ AE＝2
n 1-（） DE 。

∴
2
2AE n 1DE
n n 1EH 1DE n
-==--（）（）。

又∵CH∥BF，∴
2AF AE
n n FC EH
==-。

③当点D 在CB 延长线上时，如图5，过点C 作CI⊥AD 交DA 的延长线于点I 。

∵ BE⊥AD，∴ ∠CID＝∠BED＝90°，CI∥BF。

∴△BDE∽△CDI。

∴
ED BD
ID CD
=
又∵AB BD n BC DC ==，∴ED BD n ID DC
==
∴AB＝nBC ，BD ＝nDC ，ED ＝nID 。

∴BC=（1－n ）DC ，EI=1
1n
-（）ED 。

由(1)可得：AB 2
＝AE·AD，BD 2
＝DE·AD，
∴()
[]2
222222221n DC AE AB (nBC)BC 1n DE BD DC DC nDC =====（－）（－）。

∴ AE＝2
1n （－） DE 。

∴
22AE 1n DE
n n 1EI 1DE
n
==--（－）（）。

又∵CI∥BF，∴
2AF AE
n n FC EI
==-。

4. （2012福建莆田14分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线2
y ax bx c =++(a 0)≠过点A 。

(1)(2分)求c 的值； ．
(2)(6分)若a ＝－l ，且抛物线与矩形有且只有三个交点A 、D 、E ，求△ADE 的面积S 的最大值； (3)(6分)若抛物线与矩形有且只有三个交点A 、M 、N ，线段MN 的垂直平分线l 过点O ，交线段BC 于点 F 。

当BF ＝1时，求抛物线的解析式．
【答案】解：(1)∵抛物线2
y ax bx c =++过点A(0，3)，∴c＝3。

(2) ∵a＝－l ，∴2
y x bx 3=-++
如图①，当抛物线与矩形的两个交点D 、E 分别在AB 、OC 边上时， 抛物线与直线x ＝6的交点应落在C 点或C 点下方。

∴ 当x ＝6时，y≤0。

∴2
66b 30-++≤，即11b 2
≤。

又∵对称轴在y 轴右侧，∴b＞0。

∴0＜11b 2
≤。

由抛物线的对称性可知： ()b b AD 22b 2a 21⎡⎤⎛⎫
=⨯-=⨯-
=⎢⎥ ⎪⨯-⎝⎭⎣
⎦。

又∵△ADE 的高＝BC ＝3，∴S＝12×b×3＝3
b 2。

∵
3
2
＞0，∴S 随b 的增大而增大。

∴当b ＝112时，S 的最大值＝31133
=224
⨯。

如图②，当抛物线与矩形的两个交点D 、E 分别在AB 、BC 边上时，抛物线与直线 x ＝6的交点应落在线段BC 上且不与点B 重合，即0≤E y ＜3。

当x ＝6，则2
y 66b 36b 33=-++=-， ∴0≤6b—33＜3，∴
11
2
≤b＜6。

∴BE＝3－(6b －33)＝36—6b 。

∴S＝
12AD·BE＝12
·b·(36—6b)＝－3b 2
+18b 。

∵对称轴b ＝3＜11
2
，∴随b 的增大而减小。

∴当b ＝112时，S 的最大值＝33
4。

综上所述：S 的最大值为33
4。

(3)当a ＞0时，符合题意要求的抛物线不存在。

当a ＜0时，符合题意要求的抛物线有两种情况：
①当点M 、N 分别在AB 、OC 边上时． 如图③过M 点作MG⊥OC 于点G ，连接OM ．
∴MG＝OA ＝3．∠2＋∠MNO＝90°。

∵OF 垂直平分MN ．
∴OM＝ON ，∠1＋∠MNO=90°，∠1＝∠2。

∵FB＝1，FC ＝3－1＝2。

∴tan∠1＝
FC 21OC 63==，tan∠2＝
GN
GM
＝tan∠1＝13。

∴GN＝
1
3
GM ＝1。

设N(n ，0)，则G(n －1，0)，∴M(n－1，3)。

∴AM＝n －1，ON ＝n ＝OM 。

在Rt△AOM 中，2
2
2
OM OA AM =+，
∴()22
2
n 3n 1=+-，解得n ＝5。

∴ M(4，3)，N(5，0)。

把M(4，3)，N(5，0)分别代入2
y ax by 3=++，得
316a 4b 3025a 5b 3=++⎧⎨
=++⎩，解得3a 5
12b 5⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

∴抛物线的解析式为2312
y x x 355
=-
++。

②当点M 、N 分别在AB 、BC 边上时．如图④，连接MF ．
∵OF 垂直平分MN ，
∴∠1＋∠NFO＝90°，MF ＝FN 。

又∵∠0CB＝90°，∴∠2＋∠CFO=90°。

∴∠1＝∠2。

∵BF＝1， ∴FC＝2。

∴tan∠1＝tan∠2＝
FC 21OC 63==。

在Rt△MBN，tan∠1＝MB 1
=BN 3
，∴BN＝3MB 。

设N(6，n)．则FN ＝2－n ，BN ＝3一n 。

∴MF＝2－n ，MB ＝3n 1
1n 33
-=-。

在Rt△MBF 中，∵2
2
2
MF MB FB =+，∴()
2
2
212n 1n 13⎛⎫
-=-+ ⎪⎝⎭。

解得：123n n 34=
=， (不合题意舍去)，∴3BM 4=。

∴AM＝6－31=544＝，∴ M(154，3)，N(6，3
4) 。

把M(154，3)，N(6，34
)分别代人2
y ax by 3=++，得
221213a b 3443
36a 6b 34
⎧⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨
⎪=++⎪⎩，解得1a 221b 8⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 。

∴抛物线的解析式为2121
y x x 328
=-
++。

综上所述，抛物线的解析式为2312y x x 355=-++或2121
y x x 328
=-++。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，解二元一次方程组。

【分析】（1）将点A 的坐标代入2
y ax bx c =++即可求得c 的值。

（2）分抛物线与矩形的两个交点D 、E 分别在AB 、OC 边上和抛物线与矩形的两个交点D 、E 分别在AB 、BC 边两种情况应用二次函数性质分别求解。

（3）分抛物线与矩形的两个交点D 、E 分别在AB 、OC 边上和抛物线与矩形的两个交点D 、E 分别在AB 、BC 边两种情况应用待定系数法分别求解。

5. （2012福建南平12分）在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示放置，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（m ，1）（m ＞0），将此矩形绕O 点逆时针旋转90°，得到矩形O A′B′C′． （1）写出点A 、A′、C′的坐标；
（2）设过点A 、A′、C′的抛物线解析式为y=ax 2
+bx+c ，求此抛物线的解析式；（a 、b 、c 可用含m 的式子表示）
（3）试探究：当m 的值改变时，点B 关于点O 的对称点D 是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m 的值．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，点B 的坐标为（m ，1）（m ＞0），∴A（m ，0），C （0，1）。

∵矩形OA′B′C′由矩形OABC 旋转90°而成，∴A′（0，m ），C′（－1，0）。

（2）设过点A 、A′、C′的抛物线解析式为y=ax 2
＋bx ＋c ，
∵A（m，0），A′（0，m），C′（－1，0），
∴
2
a m bm c0
c m
a b c0
⎧++=
⎪
=
⎨
⎪-+=
⎩
，解得
a 1
b m 1
c m
=-
⎧
⎪
=-
⎨
⎪=
⎩。

∴此抛物线的解析式为：y=－x2＋（m－1）x＋m。

（3）∵点B与点D关于原点对称，B（m，1），
∴点D的坐标为：（－m，－1），
假设点D（－m，－1）在（2）中的抛物线上，
∴0=－（－m）2＋（m－1）×（－m）＋m=1，即2m2－2m＋1=0，
∵△=（－2）2－4×2×2=－4＜0，∴此方程无解。

∴点D不在（2）中的抛物线上。

【考点】二次函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，关于原点对称的点的坐标特征，一元二次方程根与系数的关系。

【分析】（1）先根据四边形ABCD是矩形，点B的坐标为（m，1）（m＞0），求出点A、C的坐标，再根据图形旋转的性质求出A′、C′的坐标即可。

（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、A′、C′三点的坐标代入即可得出abc的值，进而得出其抛物线的解析式。

（3）根据关于原点对称的点的坐标特点用m表示出D点坐标，把D点坐标代入抛物线的解析式看是否符合即可。

6. （2012福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一：；结论二：；结论三：．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）
【答案】解：（1）AB=AC ；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD。

（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB 为等腰直角三角形。

∴AC 2=。

∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD。

∴AD：AC=AE ：AD ，∴22AD AE
AC ==2= 。

当AD 最小时，AE 最小，此时AD⊥BC，AD=
12BC=1。

∴AE 的最小值为21=。

∴CE 的最大值=。

②当AD=AE 时，∴∠1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°。

∴点D 与B 重合，不合题意舍去。

当EA=ED 时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°。

∴AD 平分∠BAC，∴AD 垂直平分BC 。

∴BD=1。

当DA=DE 时，如图2，
∵△ADE∽△ACD，∴DA：AC=DE ：DC 。

∴BD=BC－DC=2。

综上所述，当△ADE 是等腰三角形时，BD 的长的长为1或
2。

【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。

【分析】（1）由∠B=∠C，根据等腰三角形的性质可得AB=AC ；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C 得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD。

（2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB 为等腰直角三角形，则AC BC 222
===，由∠1=∠C ，∠DAE=∠CAD ，根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD ，则有AD ：AC=AE ：AD ，即
22
AD AE
AC =22=，当AD⊥BC，AD 最小，此时AE 最小，从而由CE=AC －AE 得到CE 的最大值。

②分当AD=AE ，，EA=ED ，DA=DE 三种情况讨论即可。

7. （2012福建宁德10分）如图，AB 是⊙O 的直径，过⊙O 上的点C 作它的切线交AB 的延长线于点D ，∠D ＝30º．
(1)求∠A 的度数；
(2)过点C 作CF⊥AB 于点E ，交⊙O 于点F ，CF ＝43，求弧BC 的长度(结果保留π)．
【答案】解：（1）连接OC ，
∵CD 切⊙O 于点C ，∴∠OCD=90°。

∵∠D=30°，∴∠COD=60°。

∵OA=OC。

∴∠A=∠ACO=30°。

（2）∵CF⊥直径AB ，CF=43， ∴CE=23。

∴在Rt△OCE
中，CE OC sin COD =∠。

∴弧BC 的长度为6044=1803
ππ⋅⋅。

【考点】切线的性质，直角三角形两锐角的关系，圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，弧长的计算。

【分析】（1）连接OC ，则△OCD 是直角三角形，可求出∠COD 的度数；由于∠A 与∠COD 是同弧所对的圆周角与圆心角．根据圆周角定理即可求得∠A 的度数。

（2）解Rt△OCE 求出即可求出弧BC 的长度。

8. （2012福建宁德13分）如图，矩形OBCD 的边OD 、OB 分别在x 轴正半轴和y 轴负半轴上，且OD ＝10，OB ＝8．将矩形的边BC 绕点B 逆时针旋转，使点C 恰好与x 轴上的点A 重合．
(1)直接写出点A 、B 的坐标：A( ， )、B( ， )；
(2)若抛物线y ＝－ 1 3
x 2＋bx ＋c 经过点A 、B ，则这条抛物线的解析式是 ； (3)若点M 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x 轴于点N ．问是否存在点M ，使△AMN 与△ACD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；
(4)当 7 2
≤x≤7，在抛物线上存在点P ，使△ABP 的面积最大，求△ABP 面积的最大值．
【答案】解：（1）（6，0），（0，－8）。

（2）2110y x +
x 833
--＝。

（3）存在。

设M 2110m m +m 833⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，， 则N （m ，0）MN=2110m +m 833
--，NA=6－m 。

又DA=4，CD=8，
①若点M 在点N 上方，MN NA CD DA
=，则△AMN∽△ACD。

∴2110m +m 86m 3384
---=，即2m 16m+60=0-，解得m=6或m=10。

与点M 是直线AB 上方抛物线上的一个动点不符。

∴此时不存在点M ，使△AMN 与△ACD 相似。

②若点M 在点N 下方，MN NA CD DA
=，则△AMN∽△ACD。

∴2110m m+86m 3384
--=，即2m 4m 12=0--，解得m=－2或m=6。

与点M 是直线AB 上方抛物线上的一个动点不符。

∴此时不存在点M ，使△AMN 与△ACD 相似。

③若点M 在点N 上方，MN NA DA CD
=，则△AMN∽△ACD。

∴2110m +m 86m 3348
---=，即22m 23m+66=0-，方程无解。

∴此时不存在点M ，使△AMN 与△ACD 相似。

④若点M 在点N 下方，MN NA DA CD
=，则△AMN∽△ACD。

∴2110m m+86m 3348--=，即22m 17m+30=0-，解得m=52
或m=6。

当m=
52
时符合条件。

∴此时存在点M （52，74
-），使△AMN 与△ACD 相似。

综上所述，存在点M （52，74
-），使△AMN 与△ACD 相似。

（4）设P （p ，2110p +p 833
--）， 在2110y x +x 833
--＝中，令y=0，得x=4或x=6。

∴ 7 2≤x≤7分为 7 2≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间讨论： ①如图，当 7 2
≤x＜4时，过点P 作PH⊥x 轴于点H 则OH=p ，HA=6－p ，PH=21
10p p+833
-。

∴ABP OAB APH OBPH S S S S ∆∆∆=--梯形
()()222211*********p p+8+8p 6p p p+82233233p +6p=p 3+9
⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅-⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=--- ∴当 7 2
≤x＜4时，ABP S ∆随p 的增加而减小。

∴当x= 7 2时，ABP S ∆取得最大值，最大值为354。

②如图，当4≤x＜6时，过点P 作PH⊥BC 于点H ，过点A
作AG⊥BC 于点G 。

则BH= p ，HG=6－p ，PH=221
10110p +p 8+8=p +p 3333
---， ∴ABP BPH ABG PHGA S S +S S ∆∆∆=-梯形
()()2222111011101p +p p+p +p+86p 682332332p +6p=p 3+9
⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅-⋅--⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---
∴当4≤x＜6时，ABP S ∆随p 的增加而减小。

∴当x=4时，ABP S ∆取得最大值，最大值为8。

③如图，当6≤x≤7时，过点P 作PH⊥x 轴于点H 。

则OH=p ，HA= p －6，PH=21
10p p+833
-。

∴ABP OAB APH OBPH S S S S ∆∆∆=--梯形
()()222
2111011110p p+8+8p 68p 6p p+82332233p 6p=p 39
⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---
∴当6≤x≤7时，ABP S ∆随p 的增加而增加。

∴当x=7时，ABP S ∆取得最大值，最大值为7。

综上所述，当x= 7 2时，ABP S ∆取得最大值，最大值为354。

【考点】二次函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理， 曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定，二次函数的性质。

【分析】（1）由OD ＝10，OB ＝8，矩形的边BC 绕点B 逆时针旋转，使点C 恰好与x 轴上的点A 重合，可得OA 2=AB 2－OB 2=102－82=36，∴OA=6。

∴A（6，0），B （0，－8）。

（2）∵抛物线y ＝－ 1 3x 2＋bx ＋c 经过点A 、B ， ∴12+6b+c=0c=8-⎧⎨-⎩，解得10b=3c=8
⎧⎪⎨⎪-⎩。

∴这条抛物线的解析式是2110y x +
x 833--＝。

（3）分①若点M 在点N 上方，MN NA CD DA =，②若点M 在点N 下方，MN NA CD DA
=，③若点M 在点N 上方，MN NA DA CD =，④若点M 在点N 下方，MN NA DA CD
=四种情况讨论即可。

（4）根据二次函数的性质，分 7 2
≤x＜4，4≤x ＜6和6≤x≤7三个区间分别求出最大值，比较即可。

9. （2012福建龙岩13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对
应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．
（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；
（2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是时，四边形AEA′F是菱形；②在①的
条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．
【答案】解：(1)5。

由折叠（轴对称）性质知A′D=AD=5，∠A=∠EA′D=900。

在Rt△A′DC中，DC=AB=2，∴ A C4
'=。

∴A′B=BC－A′C=5－4=1。

∵∠EA′B＋∠BEA′=∠EA′B＋∠FA′C=900，∴∠BEA′=∠FA′C。

又∵∠B=∠C=900，∴Rt△EBA′∽Rt△A′CF。

∴A E A B
A F FC
''
=
'
，即
A E1
53
'
=
∴
5
A E
3 '=。

在Rt△A′EF中，EF==。

（2）①3x5
≤≤。

②证明：由折叠（轴对称）性质知∠AEF=∠FEA′，AE=A′E，AF=A′F。

又∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEA′ 。

∴∠AEF=∠AFE 。

∴AE=AF。

∴AE=A′E=AF=A′F。

∴四边形AEA′F是菱形。

【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定。

【分析】(1)根据折叠和矩形的性质，当A′与B重合时（如图1），EF= AD=5。

根据折叠和矩形的性质，以及勾股定理求出A′B、A′F和FC的长，由Rt△EBA′∽Rt△A′CF
求得5A E 3
'=，在Rt△A′EF 中，由勾股定理求得EF 的长。

（2）①由图3和图4可得，当3x 5≤≤时，四边形AEA′F 是菱形。

②由折叠和矩形的性质，可得AE=A′E，AF=A′F。

由平行和等腰三角形的性质可得AE=AF 。

从而AE=A′E=AF=A′F。

根据菱形的判定得四边形AEA′F 是菱形。

10. （2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy 中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在 x 轴上，直角顶点C 在y 轴正半轴上，已知点A （－1，0）．
（1）请直接写出点B 、C 的坐标：B （ ， ）、C （ ， ）；并求经过A 、B 、C 三点的抛物 线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E 放在线段 AB 上（点E 是不与A 、B 两点重合的动点），并使ED 所在直线经过点C ． 此时，EF 所在直线与（1） 中的抛物线交于第一象限的点M ．
①设AE=x ，当x 为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P 使△PEM 是等腰三角形，若存在，请求 点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）B （3，0），C （0。

∵A（—1，0）B （3，0）
∴可设过A 、B 、C 三点的抛物线为()()()y=a x+1x 3a 0-≠ 。

又∵C（0()()0+103-，解得a=。

∴经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式 )()y=x+1x 33--即2y=x +33
- （2）①当△OCE∽△OBC 时，则OC OE OB OC
=。

OE=AE—AO=x－1， OB=3
，∴
3
=。

∴x=2。

∴当x=2时，△OCE∽△OBC。

②存在点P。

由①可知x=2，∴OE=1。

∴E（1，0）。

此时，△CAE为等边三角形。

∴∠AEC=∠A=60°。

又∵∠CEM=60°，∴∠MEB=60°。

∴点C与点M
关于抛物线的对称轴
b
x==
2a
-
⎝⎭
对称。

∵C（0
，∴M（2。

过M作MN⊥x轴于点N（2，0），
∴ EN=1。

∴
EM2 ==。

若△PEM为等腰三角形，则：
ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。

ⅱ）当EM=PM时，点M在
EP的垂直平分线上，∴P(1，) 。

ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线
x=1
∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，1
△EPM为等腰三角形。

【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判
定。

【分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点B、C的坐标。

设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。

（2）①根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。

②求得EM的长，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。

11. （2012福建漳州12分）已知抛物线y=4
1x 2 + 1(如图所示)． (1)填空：抛物线的顶点坐标是(______，______)，对称轴是_____；
(2)已知y 轴上一点A(0，2)，点P 在抛物线上，过点P 作PB⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角 形，求点P 的坐标；
(3)在(2)的条件下，点M 在直线．．AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形?若存在， 直接写出所有．．
满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y 轴（或x=0）。

（2）∵△PAB 是等边三角形，
∴∠ABO=90°－60°=30°。

∴AB=2OA=4。

∴PB=4。

把y=4代入y=14
x 2+1，得 x=±
∴点P 的坐标为（，4）或（－，4）。

（3）存在。

所有．．
满足条件的点N 的坐标为
1)，-1)，1)，，-1)。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，菱形的判定。

【分析】（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可。

（2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x 的值即可作为P 点 的横坐标，代入解析式即可求得P 点的纵坐标。

（3）首先求得直线AP 的解析式，然后设出点M 的坐标，利用勾股定理表示出有关AP 的长即
可得到有关M 点的横坐标的方程，求得M 的横坐标后即可求得其纵坐标：
设存在点M 使得OAMN 是菱形，
∵∠OAP＞900，∴OA 不可能为菱形的对角线，只能为菱形的边。

若点P 的坐标为（4），∵点A 的坐标为（0，2），。