2022-2023学年江苏省泰州市高二上学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省泰州市高二上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）{21},{12}A x x B x x =-<≤=-<≤∣∣A B = A ．B ．C ．D ．(]1,1-(2,2]
-(2,1]
-(1,2]
-【答案】A
【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答.
【详解】集合，所以.{21},{12}A x x B x x =-<≤=-<≤∣∣(1,1]A B ⋂=-故选：A 2．复数，则（ ）
1i
1i z +=
-3z =A ．B ．C ．-1
D ．1
i -i
【答案】A
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用即可求出结果．
2
i 1=-【详解】解：
，
2
1i (1i)i 1i (1i)(1i)z ++=
==--+ ，
33i i z ∴==-故选：A ．3．已知点，
，若直线与直线垂直，则（ ）()
1,0A ()
3,1B AB 10x my -+=m =A ．B ．C ．D ．2-12
-
1
2
2
【答案】B
【分析】先求出直线的斜率，再根据两直线垂直斜率乘积为即可求的值．
AB 1-m 【详解】依题意可得直线的斜率为，AB 101
312-=-因为直线与直线垂直，AB 10x my -+=且直线的斜率为，10x my -+=2-所以，解得
．12m =-1
2m =-
故选：B ．
4．数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，，，，，，
{}:1
n a 12358
其中从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称 3121a a ==21n n n a a a ++=+为“斐波那契数列”若，则（ ）
.()36912621
m a a a a a =+++++m =A ．B ．C ．D ．126127128
129
【答案】C
【分析】根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得： ，使用累加法
2n n a a +=-1
n a +求得
，然后将的系数倍展开即可求解．
21n n S a +=-()36912621a a a a +++++2【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，
，
121a a ==由，得 ，所以，，，
()*21n n n a a a n ++=+∈N 2n n a a +=-1
n a +132a a a =-243a a a =-⋯2n n a a +=-，
1
n a +将这个式子左右两边分别相加可得：，所以
.
n 1221
n n n S a a a a +=+++=-2
1n n S a ++=所以
.
()369126123456789124125126126128
2111a a a a a a a a a a a a a a a a S a +++++=++++++++++++=+=故选：C ．
5．已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（ ）
C y 2y x =±C A
B ．C
D
2【答案】A
【分析】根据已知条件求得，从而求得双曲线的离心率.
a
b 【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上，y 由于双曲线的渐近线方程为，
2y x =±所以，即
，2
a
b =12b
a =所以
c e a =====故选：A
6．已知函数的导函数为，且，则（ ）
()f x ()'f x ()2cos 6f x xf x
π⎛⎫
'=+ ⎪⎝⎭6f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
A ．
B ．C
D
12
-
12
6π6π
【答案】D
【分析】将
求导并代入
即可得出，即可得到的具体解析式，再代入
()
f x 6x π
=
6f π⎛⎫
' ⎪
⎝⎭()f x 即可得出答案.
6x π
=
【详解】，
()2cos 6f x xf x
π⎛⎫
'=+ ⎪⎝⎭ ，()2sin 6f x f x
π⎛⎫
''∴=- ⎪⎝⎭令
，则，6x π
=
2sin
666f f πππ⎛⎫⎛⎫
''=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，1
62f π⎛⎫'=
⎪⎭∴⎝则
，
()cos f x x x
=+ cos 6666f πππ
π⎛⎫=+= ⎪⎭
⎝∴故选：D.
7．已知等差数列中， 记
，，则数列的前项和为（ ）
{}n a 452a a +=1
1n n n a b a +=
-*N n ∈{}n b 8A ．B ．C ．D ．04
8
16
【答案】C
【分析】分离常数可得，设，当，时，可得，故
21,1n n b a =+
-21n n c a =-18n ≤≤*N n ∈90n n c c -+=可得数列
的前项和．
{}n b 8【详解】由等差数列性质得
945
n n a a a a -++＝1122
1,111n n n n n n a a b a a a +-+=
==+---设
，当，时，
2
1n n c a =-18n ≤≤*N n ∈
()()()()
94599992222
220,111111n n n n n n n n n n a a a a c c a a a a a a -----+-+-+=+=⋅=⋅=------故
1238
b b b b ++++
128
1282221118111
c c c a a a =+
+++++=++++---
()()()()1827364588c c c c c c c c =++++++++=故选：C 8．已知函数
及其导函数的定义域均为，且
是奇函数，记
，若
()
f x ()
f x 'R ()
1f x +()()
g x f x '=是奇函数，则
（ ）
()
g x ()10g =
A ．
B ．
C ．
D ．20
1
-2
-【答案】B 【分析】根据
是奇函数，可得
，两边求导推得
，
()
1f x +()()
11f x f x -+=-+()()
2g x g x =-+，再结合题意可得4是函数
的一个周期，且
，进而可求解．
()()
20g g =()
g x ()00
g =【详解】因为 是奇函数，所以
，
()
1f x +()()
11f x f x -+=-+两边求导得 ，
()()
11f x f x ''--+=-+即，
()()
11f x f x ''-+=+又
，
()()
g x f x '=所以
，即
，
()()11g x g x -+=+()()
2g x g x =-+令 ，可得 ，
2x =()()
20g g =因为是定义域为的奇函数，所以，即
．
()g x R ()00
g =()20
g =因为是奇函数，
()
g x 所以 ，又
，
()()g x g x -=-()()
2g x g x =-+所以
，则
，
，
()()
2g x g x -+=--()()2g x g x +=-()()()
42g x g x g x +=-+=所以4是函数的一个周期，()
g x 所以
．
()()1020
g g ==故选：B ．
二、多选题
9．已知圆，点
，
，则（ ）
:
C ()()22
5516
x y -+-=()
4,0A ()
0,2B A ．点在圆外B ．直线与圆相切
A C 1x =C C ．直线与圆相切D ．圆与圆相离
AB C 22
49x y +=C 【答案】AB
【分析】根据已知写出圆心、半径.代入点坐标，即可判断A 项；分别求出圆心到直线的距离，A 比较它们与半径的关系，即可判断B 、C 项；求出圆心距，根据
与两圆半径的关系即可判
OC
OC
断D 项.
【详解】解：由题，圆的圆心坐标为
，半径为，
C ()
5,5C 4r =对于A 项，因为
，所以点在圆外，故A 正确；
()()22
45052616
-+-=>A C 对于B 项，圆心到直线的距离为
，故直线与圆相切，故B 项正确；
1x =1514d r
=-==1x =C 对于C 项，直线的方程为，整理得，则圆心到直线的距离为
AB 142x y
+=240x y +-=C AB
，
24d r >=所以直线与圆相离，故C 错误；
AB C 对于D 项，圆的圆心坐标为，半径为，则圆心间的距离为
2249x y +=()0,0O 7R =
=
因为，所以圆与圆相交，故D 错误.
310R r R r -=<<=+22
49x y +=C 故选：AB ．10．已知等差数列
的前项和为，当且仅当时取得最大值，则满足的最大的
{}n a n n S 7n =n S 0k S >正整数可能为（ ）k A ．B ．C ．D ．1213
14
15
【答案】BC 【分析】由题意可得，公差，且，，分别求出，讨论的
10
a >0d <70a >80a <131415S S S ，，78a a +符号即可求解．
【详解】因为当且仅当时，取得最大值，7n =n S 所以
，公差，且，．
10
a >0d <70a >80a <
所以
，
，
，
()
11313713130
2
a a S a ⨯+=
=>()
()
11414781472
a a S a a ⨯+=
=+()
11515815150
2a a S a ⨯+=
=<故时，．
15n ≥0n S <当
时，
，则满足
的最大的正整数为；
780
a a +>140
S >0k S >k 14当时，，则满足的最大的正整数为，
780a a +≤140S ≤0k S >k 13故满足
的最大的正整数可能为与．
0k S >k 1314故选：BC ．
11．已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，则（ ）
2:4C y x =F ()00P x y ，C ()21A ，A ．当时，02x =3
PF =B ．当时，在点处的切线方程为01
y =C P 2210x y -+=C ．的最小值为PA PF
+3D ．
的最大值为PA PF
-【答案】ACD 【分析】当
时，求出判断A ；
02x =PF 设切线与抛物线联立使求出切线方程判断B ；Δ0=利用抛物线的定义转化求解
的最小值可判断C ；
PA PF
+根据三角形两边之差小于第三边判断D ．
【详解】因为抛物线，所以准线的方程是.
2
:4C y x =l =1x -对于，当时，，此时
，故A 正确;
A 02x =24p =0||2132p
PF x =+
=+=对于B ，当
时，
，令切线方程为:，与联立得01
y =014x =
1(1)4m y x -=-24y x =2
y -
，
4410my m +-=令，解得，即切线方程为:，即，故B 错
2
161640m m ∆=-+=12m =
11
(1)24y x -=-
4210x y -+=误;
对于C ，过点分别作准线的垂线，垂足为,P A l ,,
Q B
则，所以的最小值为故C 正确.
||||||||||3PA PF PA PQ AB +=+≥=||||PA PF +3,
对于D ，因为焦点，所以(1,0)F ||||||PA PF AF -≤==
所以故D 正确.||||PA PF -故选：ACD
12．已知 ，则（ ）
22e e x y
x y --<-A ．
B ． ()ln 10
x y ++<2()1e x y
x y +++<C ．D ．
sin sin x y x y +>--22
cos cos x y y x ->-【答案】BC
【分析】根据条件构造函数，求导，计算出x 与y 的关系，再根据函数的性质逐项分析.
【详解】因为 ，即 ．
22e e x y x y --<-()2
2e e x y x y --<--令 ，则有，
()2e x
f x x =-()()
f x f y <-则 ，令
，则
，
()'2e x f x x =-()2e x
g x x =-()'2e x
g x =-令 ，可得，
()'2e 0
x g x =-=ln2x =当时，
，函数
单调递增，
()ln2x ∈-∞，()'0
g x >()
g x 当时，
，函数单调递减，
()
ln2x ∈+∞，()'0
g x <()
g x 故
，
()()max ln22ln220
g x g ==-<所以总有 ，故
单调递减；所以，即；
()'0
f x <()
f x x y >-0x y +>对于A ，
，故A 错误；
()ln 1ln10
x y ++>=对于B ，设 ，则
，
()()2e 10x h x x x =-->()()''e 20
x h x x f x =-=->故
在
上单调递增，所以，
()
h x ()0+∞，
()()00h x h >=
所以
，因为，所以
，故B 正确；
()
21e 0x x x +<>0x y +>()2
1e
x y
x y +++<对于C ，，即．
sin sin x y x y +>--()()
sin sin x x y y +>-+-设，则
，
()sin u x x x
=+()()
u x u y >-则
，所以单调递增．
()1cos 0
u x x ='+≥()u x
因为，所以
，故C 正确；
x y >-()()
u x u y >-对于D ，，即，
22
cos cos x y y x ->-22cos cos x x y y +>+令
，则
，
()2cos t x x x
=+()()
t x t y >因为，所以
为偶函数，
()()()()2
2cos cos t x x x x x t x -=-+-=+=()2cos t x x x
=+所以即为
．
()()
t x t y >()()
t x t y >-则 ，令
，则
，所以
单调递增．
()'2sin t x x x
=-()2sin m x x x =-()'2cos 0
m x x =->()
m x 又
，
()00
m =所以当时，
，
，函数
单调递减；
()
0x ∈-∞，()0
m x <()'0
t x <()
t x 当
时，，，函数单调递增，
()
0x ∈+∞，()0m x >()'0
t x >()t x 当时，，故D 错误；
0y x -<<()()
t y t x ->故选：BC.
三、填空题13．已知等比数列
的公比不为，，且，，成等差数列，则__________．
{}n a 111a =2a 4a 3a 5a =【答案】/0.0625
1
16【分析】根据条件求出公比q ，再运用等比数列通项公式求出 .
5
a 【详解】根据题意得
，
， 且，32420
a a a +-=23
11120a q a q a q ∴+-=2320q q q +-=1q ≠解得
，，；12q =-
11a = 4
45111216a a q ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭故答案为： .
1
16
14．已知点，，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大
()50A -，()50B ，
P PA PB 16
25-
PAB 值为__________．【答案】20
【分析】根据条件，运用斜率公式求出P 点的轨迹方程，再根据轨迹确定 面积的最大值.
PAB 【详解】设，由题意可知，
，
()
P m n ，2216
552525PA PB
n n n k k m m m ⋅=⋅==-+--整理得；
()22
152516m n m +=≠±得动点的轨迹为以，为长轴顶点的椭圆除去，两点，P A B (A B )显然当点位于上下顶点时面积取得最大值，P PAB 因为，，5a =4b =所以
；
()max 1
2202PAB S a b =
⨯⨯= 故答案为：20.15．已知函数及其导函数
的定义域均为，
为奇函数，且
则不等
()
f x ()
f x 'R ()
f x ()()0.
f x f x '->式
的解集为__________．
()
2320
f x x -+>【答案】
()
1,2【分析】设
，由导数法可得单调递减，可转化为
()()x f x g x =
e ()g x ()
2
320f x x -+>，根据单调性即可求解．
()
()
2320g x x g -+>【详解】设，则，故单调递减．()()x f x g x =
e ()()()0x
f x f x
g x e '-'=<()g x 因为为奇函数，定义域为，所以，故．
()f x R ()00f =()()0000e f g ==可转化为
，即
．
(
)
2
320f x x -+>(
)2232
32
e
x x f x x -+-+>()
()
2320g x x g -+>因为
单调递减，所以，解得．
()
g x 2
320x x -+<12x <<故答案为：
．
()1,216．已知实数，，，满足，
，，则1x 2x 1y 2y 22114x y +=22229x y +=12120x x y y +=的最大值是___________．
112249
x y x y +-++-
【答案】1313
+
【分析】由已知得分别在圆和圆
上，利用数形结合法，将所求问题转化,A B 22
4x y +=229x y +=
为两点到直线和倍，再利用三角函数求出其最大值即,A B 40x y +-=90x y +-=可．
【详解】解：由，
可知，22114x y +=22
229x y +=点
，
分别在圆和圆
上，()
11,A x y ()
22,B x y 22
4x y +=229x y +=如图，作直线，过作于，过A 作于，
:l y x =-B BD l ⊥D AE l ⊥E
而
，1122|4||9|x y x y +-++-
表示A 到直线的距离
，
40x y +-=1
d
表示到直线的距离
，
B 90x y +-=2d 因为与，平行，y x =-40x y +-=90x y +-=
且与的距离为
，
y x =-40x y +-=3d
与的距离为
y x =-90x y +-=4d 要使
的取最大值，则需在直线的左下角这一侧，
112249
x y x y +-++-,A B :l y x =-
所以1||d AE =+2||d BD =由
得，
12120
x x y y +=OA OB ⊥设，因为，所以，
π,0,2DOB θθ⎛⎫
∠=∈ ⎪⎝⎭OA OB ⊥π2AOE θ
∠=-从而，
π||||sin 3sin ,||||sin 2cos 2BD BO AE AO θθθθ
⎛⎫
=⋅==⋅-= ⎪⎝⎭
故，
()
||||3sin 2cos BD AE θθθθθϕ⎫
+=+=+⎪⎭其中，
π2
0,,tan 23
ϕϕ⎛⎫∈=
⎪⎝
⎭
故当
时，π2θϕ=
-||||BD AE +
从而，
)1122124913x y x y d d +-++-=+=≤
即．1122|4||9|x y x y +-++-13
．
13
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，再借助三角函数的性质求出最值.
四、解答题
17．已知中，．
ABC )222sin sin sin 2sin sin cos A B C A B
C +-=-(1)求；
C (2)若，，求的面积．
45A =
2BC =ABC 【答案】(1)π
6
【分析】由正弦定理得
，再由余弦定理得，可得
()1)2
222cos a b c ab
C +-=cos cos C C =
；
cos C =C 由正弦定理得，得出，再得出，由三角形面积公式可得的面积．
()22sin45sin30BA
= BA sin B ABC 【详解】（1）设，，对边长，，A B C a b c
因为
)
222sin sin sin 2sin sin cos A B C A B
C +-=由正弦定理，
2sin sin sin a b c
R A B C ===
所以
，
)2222cos a b c ab
C +-=
所以，222
cos 2a b c C
ab +-=
即，
cos cos C C =-
所以，cos C =
因为，
()
0,πC ∈所以
；
π6C =
（2）中，，，，ABC 45A =
2BC =30C =
因为，
sin sin BC BA
A C =
所以，
2sin45sin30BA
=
所以，
BA =
因为
，
()sin sin sin45cos30cos45sin30B A C =+=+= 所以1
sin 2
ABC S BA BC B =
⋅⋅
122=
⨯
．
=
18．已知数列
中，，当时，记
，．
{}n a 15a =2n ≥122
1.n
n n a a -=+-1
2n n n a b -=
*n N ∈(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式{}n b {}n a ;
(2)求数列
的前项和．
{}1n a -n n T 【答案】(1)证明见解析，
()121
n n a n =++(2)．
1
2n n T n +=⋅【分析】（1）对递推公式变形，求出 的通项公式，再求出 的通项公式；
{}n b {}n a （2）运用错位相减法求和.
【详解】（1）因为且当时，
，15a =2n ≥1221n
n n a a -=+-所以当时，，
2n ≥()11212
n
n n a a --=-+所以，因为，即，1111122n n n
n a a ----=+1
2n n n a b -=11n n b b --=所以
是以
为首项，为公差的等差数列，
{}n b 111
22a b -=
=1
所以，
()1
21112n n
a n n -=+-⨯=+所以
；
()121
n n a n =++（2）由知，()2()1()112n n a n -=+则
…①
…②，
()12223212n
n T n =⨯+⨯+++⨯ ()231
2223212n n T n +=⨯+⨯+++⨯ ①-②得
()1231
2222212n n n T n +-=⨯++++-+⨯ 所以
；
(
)()1
1
412412
12
n n n -+-=+
-+-()111
442122n n n n T n n +++=-+-++=⋅综上，
， .
()121
n n a n =++1
2n n T n += 19．已知函数．
()()ln 1=
1
x x f x x +--(1)求函数的最大值；
()
f x (2)记
，．若函数
既有极大值，又有极小值，求
()()()()21211g x x f x x a x =+++--+a ∈R ()
g x 的取值范围．
a 【答案】(1)2
(2)
()
+∞
【分析】（1）对函数求导，研究函数的单调性，从而可得函数的最值；（2）条件等价于方程
在区间
上有两个不相等的实数根，列关于
()22430
x a x a +-+-=()1,-+∞的不等式，求解即可．
a 【详解】（1）由函数，则其定义域为
，
，
()()ln 1=
1
x x f x x +--()1,∞+()()
()
2
ln 1=
1x f x x '---当
时，
；当
时，
，
()
1,2x ∈()0
f x ¢>()2,x ∈+∞()0
f x '<所以函数在区间
上为增函数；在区间为减函数，
()
f x ()1,2()2,+∞所以
；
()()max 22
f x f ==（2）由
，()()()()()()221211ln 123
g x x f x x a x x x a x =+++--+=++--+(1)
x >-则，
()()()22431
2211x a x a g x x a x x +-+-=+--=
'++
因为
既有极大值，又有极小值，
()
g x 即等价于方程
在区间
上有两个不相等的实数根，
()22430
x a x a +-+-=()1,-+∞即，解得
()()()2243
04
14Δ4830a a a a a ⎧--+->⎪
-⎪>-⎨
⎪
⎪=--->⎩a >所以所求实数的取值范围是
．
a ()+∞
20．设数列的前项积为，且
．
{}n a n n
T
2
2n
n T =(1)求数列
的通项公式{}n a ;
(2)记区间内整数的个数为，数列的前项和为，求使得的最[]()*1,m m a a m N +∈m b {}m b m m S 2023m S >小正整数．m 【答案】(1)21
2n n a -=(2)5
【分析】（1）根据与的关系，类比与的关系求通项即可；n T n a n S n a （2）根据定义求出的通项，再由公式法求和，最后解不等式即可.
m b 【详解】（1）因为数列的前项积
，{}n a n 2
2n n T =①
当时，
，
1n =12
a =当时，，2n ≥2
(1)1212n n a a a --⋅=②
除以得，
①②21
2
n n a -=又时，满足，
1n =12a =21
2n n
a -=所以
.
21
2n n a -=（2）因为区间内整数的个数为，[]()*1,m m a a m N +∈m b 所以
，
212121221321
m m m m b +--=-+=⋅+所以
.
(
)214324
2
14
m m
m S m m -=⨯
+=⨯+--
由
，得，即，
2023m S >2422023m m ⨯+->242025m m ⨯+>当时，，
4m =4
24451245162025⨯+=+=<当时，，
5m =5
2452048520532025⨯+=+=>因为随的增大而增大，
24m
m ⨯+m 所以
的最小整数为．
2023m S >521．已知椭圆
，，左、右顶点分
22
22:1(0)x y C a b a b +=>>
1F 2F 别为
，，上顶点为，的周长为点，异于两点且在上，直线，
1A 2A B 12BF F △ 4.P Q 12,A A C 1A P ，
的斜率分别为，，，且2A Q 2A P 1k 2k
3k 12
3k k =(1)证明
为定值13
k k ;
(2)求点到直线距离的最大值．B PQ 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用题意得到关于的等式，联立方程组即可求得，设
，代入椭圆
,,a b c ,,a b c ()
11,P x y 方程可得到，然后利用两点斜率公式即可求证；2
2111
4x y +=（2）先推断出直线斜率必不为，设其方程为
，与椭圆进行联立得到二次方
PQ 0()
2x ty n n =+≠±程，可得到代入即可算出答案122212224
44tn y y t n y y t ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()()122312
121212
2y y k
k x x ⋅-==--【详解】（1）设椭圆焦距为，
2c 由题知，解得，
222
22
4
c a a c a b c ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩21a b c ⎧=⎪=⎨⎪
=⎩所以椭圆的标准方程为，
2
21
4x y +=
依题意，，设椭圆上任一点，则，
()12,0A -()22,0A ()11,P x y 22
1114x y +=所以；2121111322111111
4·22444x y y y k k x x x x -
⋅====-
+---（2）设
，若直线的斜率为，则，关于轴对称，必有，不合题意，
()
22,Q x y PQ 0P Q y 12k k =-所以直线斜率必不为，设其方程为
，
PQ 0()
2x ty n n =+≠±与椭圆联立，整理得：，
C 2244x y x ty n
⎧+=⎨=+⎩()222
4240t y tny n +++-=所以，且()221640t n ∆=+->1222
12224
44tn y y t n y y t ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=
⎪+⎩
，由（1）知
，即，
12
3
1
34k k k =-
=23121k k ⋅=-即
，即
，
()()
12
12121
22y y x x =---()()()12
1212121
224y y ty n ty n t y y n =-⎡⎤++-+++⎣⎦
即
，
()()12
22
1212121
2(2)y y t y y t n y y n =-+-++-即
，
()
()()()
2
2
2
1221
2224
n t n t n n t +=-+-+-+所以，此时，
1n =-()()2221641630t n t ∆=+-=+>
故直线恒过轴上一定点，
:1PQ x ty =-x ()
1,0D -所以点到直线B PQ 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为
；
()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、
（或、）的形式；
12
x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.22．已知函数
，其中，()ln f x a x bx
=-a .
b R ∈
(1)若，求函数
的单调区间1a =()
f x ;
(2)若，函数有两个相异的零点，，求证：．1b =()f x 1x 2x 212e x x >【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）不妨令，用分析法对进行等价转化，最后可构造函数即可证明结论成立．120x x >>2
12e x x >【详解】（1）当时，，定义域为
，
1a =()ln f x x bx
=-()0+∞，
所以，
，
()11bx f x b x x -'=
-=所以，时，在
上恒成立，
0b ≤()0
f x '≥()0+∞，
故
在
上单调递增，
()
f x ()0+∞，
当时，令
得
，
0b >()0
f x '=1x b =
所以，当
时，，单调递增，11x b ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭，()0f x ¢>()f x 时，，单调递减，1x b ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭，()'0f x <()f x 综上，时，
在
上单调递增，
0b ≤()
f x ()0+∞，
时，在上单调递增，在上单调递减；0b >()f x 10b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1b ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭，（2）由题知，，
1b =()ln f x a x x
=-因为函数
有两个相异零点
，，且，
()
y f x =1x 2x ()11f =-所以且，，即，11x ≠21x ≠1122ln 0ln 0a x x a x x -=⎧⎨
-=⎩1122ln ln x a x x a x ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩所以，方程
有两个不相等的实数根，ln x
a x =
令，则，
()ln x g x x =()2ln 1(ln )x g x x -'=
故当
时，
，
时，
，
()()011e x ∈⋃，，()0
g x '<()
e x ∈+∞，()0
g x '>所以，在
，上单调递减，在上单调递增，
()
g x ()01，
()1e ，()e ，+∞因为
，
，
，
，
()
01x ∈，()0
g x <()
1x ∈+∞，()0
g x >所以，要使方程有两个不相等的实数根，
ln x
a x =
则
，
()e e
a g >=不妨令，则，，120x x >>11ln a x x =22ln a x x =所以，
()()1212121212
ln ln ln ln ln a x x a x x x x a x x x x +==+-=-，要证
，只需证
，即证：
，
2
12e
x x >12ln 2
x x >12
12ln 2x x x x a +=
>因为
，12
12ln ln 1x x a x x -=-所以，只需证
，
()
12121
1212122
ln ln ln 2
x x x x x x x x x x x x -++=>--只需证，即，1
211
221ln 21x x x
x x x +>-1112
221ln 21x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故令，1
21
x t x =>故只需证，成立，
()()1ln 21t t t +>-1t >令，，
()()()
1ln 21h t t t t =+--1t >则
，
()11
ln 2ln 1+'=+
-=+-t h t t t t t 令
，()1
ln 1
g t t t =+-在恒成立，
()22111
0t t t g t t '-=-=>()1+∞，所以，在
上单调递增，
()
h t '()1+∞，
因为，()10
h '=所以
在
恒成立，
()0h t '>()1+∞，
所以，在
上单调递增，
()
h t ()1+∞，
所以，，即
，
()()10
h t h >=()()1ln 21t t t +>-所以，
成立．
2
12e x x >【点睛】思路点睛：本题第二问令，用分析法对进行等价转化，最后可构造函数120x x >>212e x x >即可证明结，本题考查了函数的零点、应用导数研究函数的单调性、最值，对于恒成立问题往往转化为函数最值解决，属于难题．。