山东省淄博实验中学2017届高三上学期第一次教学诊断考试数学(理)试题Word版含答案

淄博实验中学高三年级第一学期第一次教学诊断考试 2016.10
数 学
第I 卷（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合}1x y |{y N 1},x y |{x M 2+=
=+==，则=⋂N M （ ）
A ．{（0，1）}
B ．{x|x ≥﹣1}
C ．{x|x ≥0}
D ．{x|x ≥1}
2．命题p ：函数f （x ）=a x
（a ＞0且a ≠1）在R 上为增函数；命题q ：垂直于同一平面的两个平面互相平行；则下列命题正确的是（ ） A ．p ∨q B ．p ∧（￢q ） C ．（￢p ）∧q D ．（￢p ）∧（￢q ）
3．由曲线x y =
，直线y=x 所围成的封闭曲线的面积是（ ）
A ．61
B ．2
1 C ．32
D ．1
4．已知A （2，1），O （0，0），点M （x ，y ）满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤≤≤2y 2x 2y 2
x 1则AM OA Z ⋅=的最大值为（ ）
A ．﹣5
B ．﹣1
C ．0
D ．1
5．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）
A ．
320π
B ．π6
C ．3
10π D ．316π 6． △ABC 中，“A＞
6
π”是“sinA＞21
”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分必要条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．将函数f （x ）=2sin （2x ﹣
3π）的图象向左平移4
π
个单位，得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）的一个单调递减区间是（ ） A ．[125π-
，0] B ．[3
π
-，0] C ．[0，
3
π
] D ．[
6π，2
π] 8．在△ABC 中，4
1
AN CM ,NC BN ,MB AM 1,AC AB -=⋅====，则∠ABC=（ ） A ．
12π
B ．6π
C ．4π
D ．3
π 9．已知x x 22f(x)-+=，f （m ）=3，且m ＞0，若a=f （2m ），b=2f （m ），c=f （m+2），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．c ＜b ＜a
B ．a ＜c ＜b
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＜a ＜c
10．已知y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，且⎩
⎨⎧≤≤--<-+=0x 10,1x 1,2)(x f(x)2，当函数
)2k(x 2
1
1)f(x y ---
-=（其中k ＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k 的数值范围是（ ）
A ．)306,0(-
B ．)22,306(-
- C ．)306,41
(- D ．)22,4
1(-
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题：（请把答案填在题中横线上每小题5分，共25分）． 11．已知等比数列{a n }为递增数列，其前n 项和为S n ，若⎰+==2
333)dx (4x S 8,a ，则
公比q= __ ．
12．已知21)4tan(=+π
α，且02
<<-απ
，则)
4
cos(2sin sin 22πααα-+= ．
13、设函数f （x ）=x|x|+bx+c ，给出以下四个命题： ①当c=0时，有f （﹣x ）=﹣f （x ）成立；
②当b=0，c ＞0时，方程f （x ）=0，只有一个实数根； ③函数y=f （x ）的图象关于点（0，c ）对称
④当x ＞0时；函数f （x ）=x|x|+bx+c ，f （x ）有最小值是2
2b c -．
其中正确的命题的序号是__________ ．
14. 若存在．．实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 ． 15．在边长为2的正方形ABCD 中，动点M 和N 分别在边BC 和CD 上，且
DC 1
4λ1
DN ,BC λBM +=
=，则BN AM ⋅的最小值为 ___ ．
三．解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 16. (本小题满分12分)
已知sinx)(2cosx,b cosx),3(cosx,2a ==，且b a f(x)⋅=． （1）求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若（a+2c ）cosB=﹣bcosA 成立，求f(A)的取值范围．
17 .(本小题满分12分)
设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足B)]sinC cos(π[cosA sinB sinA --=+ （1）判断△ABC 是否为直角三角形，并说明理由； （2）若21+=++c b a ，求△ABC 面积的最大值
18. (本小题满分12分)
已知数列{a n }满足a 1=1，a 1+a 2+a 3+…+a n =a n+1﹣1（n ∈*N ），数列{a n }的前n 项和为S n ． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =n
S 1
，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜
对所有n ∈*N 都成立的最小正
整数m ．
19. (本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2
1
+
-=n n n a S p S (p 为大于0的常数)，且1a 是2a 与36a 的等差中项．
(1) 求数列{}n a 的通项公式；
(2)若12+=⋅n b a n n ，求数列{}n b 的前n 项和n T 20 (本小题满分13分)
请你设计一个包装盒，如图所示ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个四棱柱形状的包装盒，其中E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB= x cm ．
（1）某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2
）最大，试问x 应取何值；
（2）某广告商要求包装盒容积V(cm 3
)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
21. (本小题满分14分)
设函数f （x ）=ax 2﹣（2a ﹣1）x ﹣lnx ，其中a∈R． （1）当a ＞0时，求函数f （x ）的单调递增区间；
（2）当a ＜0时，求函数f （x ）在区间[，1]上的最小值；
（3）记函数y=f （x ）的图象为曲线C ，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ，试判断曲线C 在N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由．
CDADC ADCDC
11、已知等比数列{a n }为递增数列，其前n 项和为S n ，若a 3=8，S 3=（4x+3）dx ，则
公比q= 2 ．
【考点】等比数列的通项公式；定积分． 【分析】求定积分S 3=（4x+3）dx=14，从而可得8（1+
+
）=14，从而解得．
【解答】解：S 3=
（4x+3）dx=2x 2+3x|
=8+6=14，
则S 3=a 3（1++）=14，
解得，q=2， 故答案为：2．
12、已知
，且，则= ．
13、设函数f （x ）=x|x|+bx+c ，给出以下四个命题： ①当c=0时，有f （﹣x ）=﹣f （x ）成立；
②当b=0，c ＞0时，方程f （x ）=0，只有一个实数根； ③函数y=f （x ）的图象关于点（0，c ）对称
④当x ＞0时；函数f （x ）=x|x|+bx+c ，f （x ）有最小值是．
其中正确的命题的序号是_________________①②③
14、若存在．．
实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 ．
15、在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且=，
=，则•的最小值为﹣1．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】建立平面直角坐标系，求出•关于λ的函数，利用基本不等式得出最小值．【解答】解：以CB，CD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：
则A（2，2），B（2，0），M（2﹣2λ，0），N（0，2﹣）．
∴=（﹣2λ，﹣2），=（﹣2，）．
∴•=4λ﹣=4λ+1+﹣5﹣5=﹣1．
当且仅当4λ+1=即λ=时取等号．
故答案为：﹣1．
16
2x+
≤≤﹣，
，]
B=
2A+）
＜
＜2A+＜，＜2A+
17、
（Ⅰ）因为sin A+sin B=（cos A+cos B）sin C，由正、余弦定理，得
a+b=c…………………………………………………2分
化简整理得（a+b）（a2+b2）=（a+b）c2
因为a+b＞0，所以a2+b2=c2……………………………………………………………4分故ΔABC为直角三角形. 且∠C=90°……………………………………………………6分（Ⅱ）因为a+b+c=1+，a2+b2=c2，所以1+=a+b+≥2+=
（2+）·当且仅当a=b时，上式等号成立所以≤. ……8分
故SΔABC=ab≤×……………………………………………………………10分即ΔABC面积的最大值为
18、
【解答】解：（1）∵a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n=a n+1﹣1（n∈N），
∴当n≥2时，a1+a2+a3+…+a n﹣1=a n﹣1，
两式相减得： a n=a n+1﹣a n，即=，
又∵==满足上式，
∴=（n∈N），
∴当n ≥2时，a n =••…••a 1=••…•2•1=n，
又∵a 1=1满足上式，
∴数列{a n }的通项公式a n =n ； （2）由（1）可知b n =
=
=2（﹣）， ∴T n =2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣
）=
，
∵
随着n 的增大而增大，
∴不等式T n ＜对所有n ∈N 都成立⇔求数列{T n }的最大值， 又∵=2，
∴
≥2，即m ≥20，
故满足题意的最小正整数m=20． 19、
解：(1)当n ＝1时，S 1＝p (S 1－a 1)＋12，故a 1＝1
2.当n ≥2时，S n ＝p (S n －a n )
＋12， ①S n －1＝p (S n －1－a n －1)＋12 ②，由①－②得，a n ＝pa n －1，即a n
a n －1
＝p (p >0)． 故{a n }是首项为12，公比为p 的等比数列，即a n ＝1
2p n －1.由题意得，6a 3＋a 2
＝2a 1，即3p 2＋12p ＝1.解得p ＝12或p ＝－23(舍去)．∴a n ＝(12)·(12)n －1＝1
2
n .
(2)由(1)，得b n ＝
2n ＋1
a n
＝(2n ＋1)·2n ，
则有T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)×2n －1＋(2n ＋1)×2n ， 2T n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)×2n ＋(2n ＋1)×2n ＋1，
两式相减，得－T n ＝3×2＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)×2n ＋1＝6＋2×22－2n ＋1
1－2
－(2n ＋1)×2n ＋1＝－2－(2n －1)×2n ＋1. ∴T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1.
20、请你设计一个包装盒，如图所示ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正
好形成一个四棱柱形状的包装盒，其中E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB= x cm．
（I）某广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值；
（II）某广告商要求包装盒容积V(cm 3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
此时
11
22
h
a
即，装盒的高与底面边长的比值为
1
.
2…………12分
考点：几何体的体积与表面积，二次函数，应用导数研究函数的单调性、最值. 21．
【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=2ax+1﹣2a﹣==．
∵a＞0，x＞0，∴2ax+1＞0，
令f′（x）＞0得x﹣1＞0，
∴f（x）单调递增区间为（1，+∞）．
（II）当a＜0时，令f′（x）=0得x1=1，x2=﹣．
①当﹣≥1即﹣≤a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，
∴f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1﹣a．
②当即﹣1时，f（x）在区间[，﹣]上单调递减，在区间[﹣，
1]上单调递增，
∴f（x）在区间[，1]上的最小值为f（﹣）=1﹣+ln（﹣2a）．
③当﹣即a≤﹣1时，f（x）在区间[，1]上是增函数，
∴f（x）在区间[，1]上的最小值为f（）=﹣．
综上，f min（x）=．
（III）设M（x0，y0），则x N=x0=．
直线AB的斜率k1== [a（x22﹣x12）+（1﹣2a）（x2﹣x1）+ln1﹣lnx2]=a （x1+x2）+（1﹣2a）+．
曲线C在N处的切线斜率为k2=f′（x0）=2ax0+1﹣2a﹣=a（x1+x2）+1﹣2a﹣．假设曲线C在N处的切线平行于直线AB，则k1=k2，
∴=﹣，
∴ln==，
令=t，则lnt=，不妨设x1＜x2，则0＜t＜1．
令g（t）=lnt﹣，则g′（t）=﹣=＞0，∴g（t）在（0，1）上为增函数，
∴g（t）＜g（1）=0，即g（t）=0在（0，1）上无解，
∴曲线C在N处的切线不平行于直线AB．。