金融数学研究综述与展望

金融数学研究综述与展望
金融数学自诞生以来，经过多半个世纪的不断扩充与修正，现在已经发展成为了独立的、具有理论研究价值和实践价值的交叉学科。

本文对金融数学的基础理论及最新进展作一综述，以期对金融数学的未来发展提供借鉴。

关键词：金融数学投资组合理论鞅理论风险中性套利定价理论
金融数学的研究对象是金融市场上风险资产的交易，其目的是利用有效的数学工具揭示金融学的本质特征，从而达到对具有潜在风险的各种未定权益的合理定价和选择规避风险的最优策略。

它的历史最早可以追朔到1900年法国数学家巴歇里埃（Bachelier L.）的博士论文“投机的理论”（The Theory of Speculation）。

该文中，巴歇里埃首次使用Brown运动来描述股票价格的变化，这为后来金融学的发展，特别是为现代期权定价理论奠定了理论基础。

随着金融学的不断发展和逐步深化，金融实务界发生了两次“华尔街革命”。

第一次是1952年马柯维茨（Markowtz，H.M.）的证券投资组合选择理论的问世，第二次是1973年布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）期权定价公式的问世。

两次“革命”避开了一般经济均衡的理论框架，形成了一门新兴的交叉学科，即金融数学。

金融数学的基础理论
金融数学和金融工程一样，是金融学的基础。

金融数学既是经济学专业与管理学专业的必修课程，也是数学科学专业的基础课程。

目前，国外在金融数学方面的教学与研究发展都较快。

金融数学是一门新兴学科，是“金融高技术”的重要组成部分，因此研究金融数学有着重要的意义。

（一）选择理论
1952年，马柯维茨（Markowtz，H.M.）的论文“投资组合的选择（Portfolio Selection）”是金融学也是金融数学的第一个突破。

他建立了一个复杂的数学模型——两目标二次规划模型，并且首次提出用方差（VarX(T)）来度量投资组合的风险，还提出了投资组合的有效边界的概念：即均值一定时方差最小的点，方差一定时均值最大的点组成的集合。

他认为，个人投资组合的最优决策是选择个人的无差异曲线与投资组合的有效边界的切点，并进而求出各资产持有的合理的比例。

该文献在理论上和实践上都具有重要的指导意义。

（二）CAPM理论
20世纪60年代中期，在马柯维茨的均值-方差投资组合理论的基础上，斯坦福大学教授夏普（WilliamSharpe）、林特纳（Lintner，J.）和莫新（Mossin，J.）研究了均衡竞争市场中金融资产的价格形成，提出了著名的资本资产定价理论（Capital Asset Pricing Model，简称CAPM）。

他们认为，证券投资的回报率与风险之间存在一定的定量关系；所有投资者都在证券市场线上选择证券，所选中的投资组合是投资者的效用函数与证券市场线的切点，夏普评价的关键是就求切点，即测度资本市场线中的斜率项。

CAPM在证券股价、投资组合的绩效的测定、资本预算和投资风险分析中得到广泛应用。

（三）Black-Scholes 期权定价公式
1973年，布莱克（Fisher Black）和斯科尔斯（Myron S.Scholes）在“期权定价与公司负债”一文中提出了著名的Black-Scholes公式（简称B-S公式）。

他们证明了期权的合理价格不依赖于投资者的偏好，也就是“风险中性原则”，这点不同于之前的无套利定价原理。

由于B-S公式具有较强的实用性和可操作性，B-S 模型可以被广泛用来制作各种金融衍生产品的价格，是开发新金融产品的有效工具。

B-S模型也为套期保值与风险管理开辟了新的天地，成为现代金融理论探索的源泉。

几乎与此同时，默顿（Merton，R.）在“合理的期权定价理论”一文中对B-S模型和定价公式做了多方面的系统推广：他研究出了标的股票支付红利的期权定价公式；给出了欧式看涨期权和看跌期权以及欧式看跌期权的定价公式；提出了更贴近现实的可变利率的欧式期权定价模型。

由于马柯维茨、斯科尔斯以及默顿三位学者在现代金融数学和金融学领域的杰出贡献，1990年诺贝尔经济学奖的殊荣也由三位学者共同分享。

金融数学研究的最新进展
20世纪80年代末，随着金融市场的进一步完善和发展，人们发现前面研究的所有金融模型都假定投资者可得到市场的完全信息，而实际上投资者只可观测到刻画系统状态的价格过程本身，而布朗运动及动态资产的漂移系数是不可观测到的，即投资者只可得到市场的部分信息。

于是，基于不完全信息的投资消费问题的研究成为当今研究的一个热点，许多学者运用各种数学方法对这一热点问题进行了研究，取得了一定的进展。

本文现将研究中所用到的主要数学工具列举如下：
（一）随机控制理论
由于金融学理论一个重要的应用领域是解决连续时间的随机性问题，而解决这个问题的重要手段就是随机最优控制理论。

自从默顿首次利用贝尔曼最优控制
理论解决了连续时间的消费和投资问题以来，随机控制理论在金融学（特别是金融工程中）得到了广泛的研究和运用。

2000年，X.Y.Zhou和D.L将连续时间均值—方差问题（具有确定性参数）抽象成一种随机LQ控制优化问题，运用嵌套方法将原问题转化为LQ控制问题。

2002年，X.Y.Zhou进一步运用LQ方法研究了随机参数的连续时间均值-方差问题，并求出了该情形下投资组合的有效边界，同时还证明了“基金分离定理”。

Xun Li（2003，X.Y.Zhou的学生）等考察了具有马尔科夫跳跃过程的无限期限的投资组合问题的随机LQ控制框架，在该框架下求解了投资组合问题的有效边界，考察了加入未定权益衍生产品构成的投资组合的套期保值问题。

Hong Liu更进一步考察了有交易费用（考虑了交易费用固定以及与交易量成正比两种情形）和消费的前提下，一个效用函数为CARA（constant absolute risk aversion）的投资者的最优投资策略，并借助于计算机手段，首次对最优投资策略作出精确求解。

（二）鞅理论
1977年，哈里森（Harrison，J.M.）和柯瑞普斯（Kreps，S.R.）提出了期权定价理论的鞅方法，他们用鞅论中的鞅测度概念来刻画无套利市场和不完全市场，并用等价鞅测度对期权进行定价和套期保值或对冲。

他们证明了市场无套利的重要条件是等价鞅测度存在，市场完备的重要条件是等价鞅测度存在且唯一，当市场是完备市场时任意未定权益都是可达到的并且可以由市场上的基础证券无套利复制，此时任意未定权益都有唯一的无套利定价，并且未定权益的定价为未定权益期末收益的折现值在等价鞅测度下的数学期望。

这一结果使随机分析中的鞅测度的概念与金融市场的无套利概念联系起来，从而使随机分析中的半鞅的随机积分理论在金融衍生证券定价理论中有了用武之地，这对以后的金融数学发展产生了极其深远的影响。