高等数学 第九章 重积分 第四节 重积分应用

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x= z=
∫∫∫Ω xd xd y d z ∫∫∫Ω
V zd x d y d z V
∫∫∫Ω yd xd y d z
V
,
( V = ∫∫∫ d x d y d z为Ω的体积 ) Ω
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若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片 其面密度 的平面薄片, 若物体为占有 则它的质心坐标 质心坐标为 则它的质心坐标为
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三、物体的质心
设空间有n个质点 设空间有 个质点, 分别位于 (xk , yk , zk ) , 其质量分别 个质点 为 mk ( k =1, 2, L, n ) ,由力学知 该质点系的质心坐标 由力学知,
∑xk mk

n
x=
k =1 n
∑yk mk
, y=
k =1 n
n
∑zk mk
∴ dA = 1 + f x2 + f y2 dσ 曲面S的面积元素 曲面S
∴ A = ∫∫ 1 + f x2 + f y2 dσ ,
D
∂z ∂z A = ∫∫ 1 + (∂x )2 + (∂y )2dxdy 曲面面积公式为: 曲面面积公式为: Dxy
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小结 1. 设曲面 S 的方程为:z = f ( x , y ) 的方程为:
设曲面的方程为: 3.设曲面的方程为:y = h( z , x ) 则曲面面积公式为: 则曲面面积公式为: A =
∫∫
Dzx
1+ (
∂y 2 ∂z
) + ( ) dzdx.
∂y 2 ∂x
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例 4. 求球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 含在圆柱体 2 2 x + y = ax 内部的那部分面积 内部的那部分面积.
Σ
x
( x, y) y dσ
边界为准线, 轴的小柱面, 以 dσ 边界为准线,母线平行 于 z 轴的小柱面,
截曲面 S得到面积元 ∆S;而截切平面 Σ 得到 dA, 则∆S ≈ dA.
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Q dσ 为 dA 在 xOy 面上的投影,
∴ dσ = dA ⋅ cos γ ,
1 Q cos γ = , 2 2 1 + fx + fy
2y 2x 1 2 2 由 z = ( x + y )得 z x = , z y = , a a a
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1+ z + z =
2 x 2 y
2x 2 y 1+ + a a
2
2
1 2 2 2 a + 4x + 4 y , = a
由 z = 2a − x + y 知
V = ∫∫∫ dxdydz

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例1. 求由曲面 x 2 + y 2 = z 与 z = 2 − x 2 + y 2 所围 体积. 解 看作 曲顶柱体 之差 采用柱面坐标 y
上顶: z = 2 − r , 下底 : z = r .
2
r2 = z 联立 z = 2 − r r = 1 解得交线 L: z = 1
A
, y=
∫∫D ydxdy
A
(A 为 D 的面积 的面积)
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例7. 求位于两圆 薄片的质心. 薄片的质心 解 由对称性可知 x = 0 1 而 y = ∫∫ ydxdy A D 1 = ∫∫ r 2 sinθ drdθ 3π D

之间均匀
y
4
C2 D
o
x
4sinθ 2 1 π 56 π 4 r d r = ∫ sin θ dθ = ∫ sinθ dθ ∫ 2sinθ 3π 0 9π 0
, z=
k =1 n
n
∑mk
k =1
∑mk
k =1
∑mk
k =1
设物体占有空间域 Ω , 有连续密度函数

大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 采用 “大化小 常代变 近似和 取极限” 可导出其质心 公式 , 即
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小块, 将 Ω 分成 n 小块 在第 k 块上任取一点 将第 k 块看作质量集中于点 的质点, 的质点 此质点 系的质心坐标就近似等于该物体的质心坐标. 系的质心坐标就近似等于该物体的质心坐标 例如
2 2
1 + z + z = 2,
2 x 2 y
1 2 a + 4 x 2 + 4 y 2 dxdy + ∫∫ 2dxdy 面积 A = ∫∫ a D xy Dxy
= ∫ dθ ∫
0 2π a 0
1 2 a + 4r 2 ⋅ rdr + 2πa 2 a
πa 2 ( 6 2 + 5 5 − 1). = 6
同理可得
∫∫∫Ω yρ (x, y, z)d xd y d z y= ∫∫∫Ω ρ (x, y, z)d xd y d z ∫∫∫Ω zρ (x, y, z)d xd y d z z= ∫∫∫Ω ρ (x, y, z)d xd y d z
, y=
当ρ (x, y, z) ≡ 常 时 则得 形心坐标: 数 , 形心坐标:
z
o
x
V 采用柱面坐标, 采用柱面坐标 炉壁方程为 9r 2 = z(3 − z)2, 因此
x = y = 0,
z=
∫∫∫Ω z dxdydz

V = ∫∫∫ dxdydz = ∫ dz∫∫ d x d y = ∫

0 Dz
h
0
9
z(3 − z)2dz
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算得
9 1 2 V = h ( − 2h + h ) 9 2 4
2 D
0

1 3 π r dr = 0 2
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求半径为a 例3. 求半径为 的球面与半顶角为α 的 内接锥面所围成的立体的体积. 内接锥面所围成的立体的体积 解 在球坐标系下空间立体所占区域
2a
z
.
ϕr
M
0 ≤ r ≤ 2a cos ϕ Ω: 0 ≤ ϕ ≤ α 0 ≤θ ≤ 2π
解 由对称性知 A = 4A1 ,
曲面方程 z =
a2 − x2 − y2 ,
D1 : x 2 + y 2 ≤ ax ( x , y ≥ 0) a ∂z 2 ∂z 2 = , 1 + ( ∂x ) + ∂y 计算 2 2 2 a −x −y
( )
2
面积 A = 4 ∫∫ 1 + z x + z y dxdy
z
asinϕ
asinϕdθ dθ
r=a
球面的面积元素为
o
x
ϕ
a
adϕ
y
d A= a sinϕ dϕ dθ
2
θ

π 2 2π A= a dθ sinϕ dϕ 0 0


= 4π a2
利用直角坐标方程. 见课本 解二 利用直角坐标方程 (见课本 P109)
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6.求由曲面 例 6.求由曲面 x 2 + y 2 = az 和 z = 2a − 所围立体的表面积. (a > 0)所围立体的表面积.
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z
卫星
h
o
x
设曲面 S 的方程为: z = f ( x , y ) 的方程为:
在 xoy 面上的投影区域为 D,
如图, 如图, 设小区域 dσ ∈ D,
z
s
M
o
点 ( x, y ) ∈ dσ , 曲面 上 曲面S
对应点为 M ( x, y, f ( x, y ))
dA
γ
Σ 为 S 上过 M的切平面 .
∫∫D xµ (x, y)dxdy My x= = ∫∫D µ (x, y)dxdy M ∫∫D yµ (x, y)dxdy Mx y= = ∫∫D µ (x, y)dxdy M
形心坐标: ρ = 常数 , 得D 的形心坐标 时
Mx — 对 x 轴的
静力矩 静力矩
M y — 对 y 轴的
x=
∫∫D xdxdy
D
(记所围域为 记所围域为D (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 =1 (记所围域为D )
= ∫∫ [ 1− ( (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 ) ]d x d y
令x − x0 = r cosθ , y − y0 = r sinθ
D
= π −∫∫ r ⋅ r d r d θ = π − ∫ dθ ∫
3
π
z
∫∫∫Ω zdxdydz
o
3 1 2 = h (3 − h + h ) 9 2 5 60 − 30h + 4h2 ∴ z =h 2 90 − 40h + 5h
3
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x
π
返回Biblioteka 结束四、物体的转动惯量因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和 故连续体的转动惯量可用积分计算. 故连续体的转动惯量可用积分计算 设物体占有空间区域 Ω , 有连续分布的密度函数
二、曲面的面积
实例 一颗地球同步轨道通讯卫星的轨道位于地球 一颗地球同步轨道通讯卫星的轨道位于地球 的赤道平面内 且可近似认为是圆轨道. 的赤道平面内,且可近似认为是圆轨道. 通讯卫星运行的角速度与地球自转 的角速度相同,即人们看到它在 的角速度相同, 天空不动. 天空不动. 若地球半径取为R, 若地球半径取为 问卫星距地面的高度h 应为多少? 问卫星距地面的高度 应为多少? 通讯卫星的覆盖面积是多大? 通讯卫星的覆盖面积是多大? 问题:曲面的面积如何计算? 问题:曲面的面积如何计算?
2 D1
= 4 ∫∫
D1
π a cos θ a 1 2 dxdy = 4a ∫ dθ ∫ rdr 2 2 2 2 2 0 0 a −x −y a −r
= 2πa 2 − 4a 2 .
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5.计算半径为 的球的表面积. 例5.计算半径为 a 的球的表面积. 利用球面坐标方程. 解一 利用球面坐标方程 关于球面坐标, 关于球面坐标,球面方程是
Dxy
0 ≤ r ≤ 1 Dxy: 0 ≤ θ ≤ 2π
0
Dxy
a
x
I = ∫∫ [(2 − x 2 + y 2 ) − ( x 2 + y 2 )]dxdy
= ∫∫ [(2 − r ) − r 2 )] rdrdθ
Dxy
= ∫ dθ ∫ (2r − r 2 − r 3 )dr =
0 0

第九章 重积分
第四节 重积分的应用
立体体积 曲面的面积 质心与转动惯量
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一、立体体积
方法一、 方法一、利用二重积分 • 曲顶柱体 顶为连续曲面 曲顶柱体: 底为xOy平面上区域 D 平面上区域 底为 其体积为
V = ∫∫ f (x, y)dxdy
D
方法二、 方法二、利用三重积分 • 占有空间有界域 Ω 的立体的体积为
∂z ∂z 则曲面面积公式为: 则曲面面积公式为: A = ∫∫ 1 + (∂x )2 + (∂y )2dxdy Dxy
设曲面的方程为: 2.设曲面的方程为: = g ( y , z ) x 则曲面面积公式为: 则曲面面积公式为: A =
∫∫
Dyz
1+ (
∂x 2 ∂y
) + ( ) dydz;
∂x 2 ∂z
∑ξk ρ (ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
x≈
k =1 n
n
∑ρ (ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
k =1
令各小区域的最大直径 λ →0,即得质心坐标 即得质心坐标
∫∫∫Ω xρ (x, y, z) d xd y d z x= ∫∫∫Ω ρ (x, y, z) d xd y d z
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则立体体积为
α o y x 2 dv = r sinϕdθ dϕ dr
V = ∫∫∫ dxdydz = ∫ dθ

0

∫0 sinϕ dϕ ∫
3
α
2a cosϕ 2 r dr 0
=
3 α 16π a
3
∫0
4π a cos ϕ sinϕ dϕ = (1− cos4 α ) 3
3
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x2 + y2
x 2 + y 2 = az 解方程组 , 2 2 z = 2a − x + y
x2 + y2 = a2 , 得两曲面的交线(为圆周): 得两曲面的交线(为圆周): z = a
Dxy : x 2 + y 2 ≤ a 2 , 平面上的投影域为 在xOy平面上的投影域为
1
5π . 6
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2.求曲面 例2.求曲面 曲面 解 曲面 S1在点 它与曲面
上任一点的切平面与 所围立体的体积 V . 的切平面方程为 的交线在 xOy 面上的投影为
2 2 z = 2x0x + 2y0 y +1− x0 − y0
∴ V = ∫∫ [ 2x0x + 2y0 y +1− x02 − y02− x2 − y2]d x d y
56 π 2 4 56 3 1 π 7 = ⋅ 2∫ sin θ dθ = ⋅ 2⋅ ⋅ ⋅ = 0 9π 9π 4 2 2 3
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一个炼钢炉为旋转体形, 例8. 一个炼钢炉为旋转体形 剖面壁线 的方程为 自重, 求它的质心. 自重 求它的质心 轴上, 解 由对称性可知质心在 z 轴上,故 质心坐标 若炉 的均质钢液, 内储有高为 h 的均质钢液 不计炉体的
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