重庆市渝中区求精中学2022-2023学年上学期九年级数学第三次月考试题(含答案解析)

重庆市渝中区求精中学2022-2023学年上学期九年级数学第
三次月考试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴是（）
A．直线x＝a B．直线x＝2a C．直线x＝1D．直线x＝﹣1 2．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．戴口罩讲卫生B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医D．少出门少聚集
3．若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（）
A．1B．±1C．﹣1D．0
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（）
A．80°B．70°C．60°D．50°
5．如图，在⊙O中，∠C=20°，∠B=35°，则∠A等于（）
A ．10°
B ．15°
C ．20°
D ．25°
6．如图是－张长12cm ，宽10cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm 2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．在圆内接正六边形ABCDEF 中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（）
A ．30,1
︒B ．45︒C ．60︒D ．1202︒,
8．下列事件属于确定事件的为（）
A ．氧化物中一定含有氧元素
B ．弦相等，则所对的圆周角也相等
C ．戴了口罩一定不会感染新冠肺炎
D ．物体不受任何力的时候保持静止状态9．如图，函数221y ax x =-+和y ax a =-（a 是常数，且0a ≠）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，并且选择每条路径的可能性相等，则它获得食物的概率是（
）
A ．
13
B ．
14
C ．
27
D ．
23
11．如图1，矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转180︒，在此过程中A 、B 、C 、D 对应点依次为A 、E 、F 、G ，连接DE ，设旋转角为x ，2y DE =，y 与x 的函数图象如图2，当30x =︒时，y 的值为（
）
A B ．C ．3D ．4
12．如图，二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于()1,0和()1,0x ，且
121x -<<-，与y 轴的交点在()0,2上方，有以下结论：①0abc >；②20a b -=；
③30a c +<；④01b
a
<
<；⑤()()1a b m am b m -<+>；其中正确的结论个数是（）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题
13．若关于x 的一元二次方程（m -1）x 2+3x +2=0总有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_________．
14．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a 个白球和15个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则a 的值约为______．15．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN 的高度为_____米．
16．如图，从一块直径为4dm 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90︒的扇形，则此扇形的面积为_____2dm ．
17．将抛物线y =x 2+4x +3绕原点旋转180°后，再分别向下、向右平移3个单位，此时该抛物线的解析式为_____．
18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =．将ABC 绕点C 按逆时针方向旋转后得DCE △，直线DA 、BE 相交于点F ．取BC 的中点G ，连接GF ，则GF 长的最大值为____________cm ．
三、解答题19．解下列方程：(1)2420x x +-=；(2)()()2
232x x -=-．
20．“一方有难，八方支援”．武汉新冠病毒牵动着全国人民的心，我市某医院甲、乙、丙三位医生和,A B 两名护士报名支援武汉．
(1)若从甲、乙、丙三位医生中随机选一位医生，求恰好选中医生甲的概率；
(2)若从甲、乙、丙三位医生和,A B两名护士中随机选一位医生和一名护士，求恰好选中医生甲和护士A的概率．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A （5，3），B（0，5）．
（1）画出△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△OA1B1；
（2）∠OAA1＝；
（3）求旋转过程中，点A经过的路径有多长．
22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，AC平分∠DAE．
(1)DE与⊙O有何位置关系？请说明理由．
(2)若AB＝6，CD＝4，求CE的长．
23．函数的图象在探索函数的性质中有着非常重要的作用，小林同学根据学习函数的经
验，探究了函数212 2
y ax b x x
=++-的图象和性质．（1）下表给出了部分x y
、的取值：
x…-2-1012345…
y…-2244210-1…
由上表可知，=a _________，b =__________．
（2）用你喜欢的方法在如图所示的平面直角坐标系中画出函数2
1
22
y ax b x x =++
-的图象，并写出函数的一条性质：
__________________________________________________．
（3）若方程2
1
22
ax b x x x m ++
-=-+恰有两个不同的实数解，请直接写出m 的取值范围是：_______________________．
24．每年的2月到6月是鱼类的产卵期的繁殖期，为了对鱼类的繁殖，生长进行保护，每年的3月1日至6月三十日是长江鱼类的禁渔期，2021年初，由于禁渔期内禁止一切野生鱼的捕捞，导致重庆人工养殖的草鱼价格出现了较大波动．
（1）从2021年3月1日至4月30日，重庆某人工养殖的草鱼价格不断走高，3月1日该草鱼的价格为10元/千克，4月30日的价格比3月1日的价格上涨50%，某市民在今年3月1日和4月30日分别购买了相同质量的该草鱼，且4月30日所花费的钱至少比3月1日多20元，则该市民4月30日购买了该草鱼至少多少千克？
（2）为稳定该草鱼的价格，某农贸市场从外地调运此种草鱼以平衡市场价格，5月1日外地调运的草鱼投运市场，并在4月30日价格的基础上下调a %出售，某鱼店按规定价出售一批外运草鱼，该鱼店在非外运草鱼的价格仍在4月30日价格的情况下，该天
的两种草鱼总销量比4月30日增加了2a %，且外运草鱼的销量占总销量的3
5
，两种草
鱼销售的总金额比4月30日提高了
32
25
a %，求a 的值．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23(0)y ax bx a =+->与x 轴交于(1,0)A -、(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 为直线BC 下方抛物线上的一动点，PM BC 于点M ，//PN y 轴交BC 于点N ．求线段PM 的最大值和此时点P 的坐标；
（3）点E 为x 轴上一动点，点Q 为抛物线上一动点，是否存在以CQ 为斜边的等腰直角三角形CEQ ？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
26．将锐角为45°的直角三角板MPN 的一个锐角顶点P 与正方形ABCD 的顶点A 重合，正方形ABCD 固定不动，然后将三角板绕着点A 旋转，∠MPN 的两边分别与正方形的边BC 、DC 或其所在直线相交于点E 、F ，连接EF ．
（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN 的两边分别与正方形的边CB 、DC 相交时，如图1所示，请直接写出线段BE 、DF 、EF 满足的数量关系；
（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN 的两边分别与正方形的边CB 、DC 的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE 、DF 、EF 满足的数量关系；
（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN 的一边恰好经过BC 边的中点时，试求线段EF 的长．
参考答案：
1．C
【分析】将函数解析式化成顶点式，即可得到抛物线的对称轴．【详解】解：()2
22314y x x x =--=--，∴抛物线的对称轴为直线x =1，故选C ．
【点睛】此题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C ．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．A
【分析】把x ＝0代入方程得到关于m 的方程，再解关于m 的方程，然后利用一元二次方程的定义确定m 的值．
【详解】把x ＝0代入（m +1）x 2+3x +m 2﹣1＝0，得m 2﹣1＝0，解得m 1＝﹣1，m 2＝1，而m +1≠0，即m ≠﹣1．所以m ＝1．故选：A ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念、一元二次方程的定义，注意的是：千万不要忽略一元二次方程中二次项系数不为零．4．A
【分析】根据三角形旋转得出DC AC =，130EDC BAC ∠=∠=︒，根据点A ，D ，E 在同一条直线上利用邻补角关系求出18050ADC EDC ∠=︒-∠=︒，根据等腰三角形的性质即可得
到∠DAC =50°，由此即可求解．
【详解】证明：∵ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，∴DC AC =，130EDC BAC ∠=∠=︒，∴∠ADC =∠DAC ，
∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴18050ADC EDC ∠=︒-∠=︒，∴∠DAC =50°，
∴∠BAD =∠BAC -∠DAC =80°故选A ．
【点睛】本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．5．B
【分析】由题意∠AOB ＝2∠C ，则∠AOB ＝40︒，根据∠A +∠AOB ＝∠B +∠C ，即可解答.【详解】解：∵∠AOB ＝2∠C ，∠C =20°∴∠AOB ＝40︒，
由题意∠A +∠AOB ＝∠B +∠C ，∴403520A ∠+︒=︒+︒∴15A ∠=︒，故选B ．
【点睛】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握圆周角定理．6．B
【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可．【详解】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,
由题意得:2()1221024x b a x ab +=⎧⎪
+=⎨⎪=⎩
,
解得a =10－2x ,b =6－x ,代入ab =24中得:(10－2x )(6－x )=24,整理得:2x 2－11x +18=0．解得x =2或x =9(舍去)．∴正方形边长为2cm ，
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于正确的设多个未知数,利用代数表示列出方程．
7．C
【分析】由正六边形的性质得∠COD＝60°，再证△OCD是等边三角形，得BC＝CD＝OC ＝2，再由垂径定理和含30°角的直角三角形的性质求出OG即可．
【详解】解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD＝360°÷6＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝2，
∵OG⊥BC，
∴CG＝1
2
BC＝1，
∵∠COG＝1
2
∠COD＝30°，
∴OG
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．8．A
【分析】根据确定事件的概念，可知需找出必然事件或不可能事件即可.
【详解】A、氧化物是含有两种元素其中一种是氧元素的化合物，必然事件；
B、在同圆或等圆中，弦相等所对的圆周角相等或互补，不确定事件；
C、戴了口罩一定不会感染新冠肺炎，不确定事件；
D、物体不受任何力的时候保持静止状态或匀速运动，不确定事件.
故选A.
【点睛】本题考查事件的划分，必然事件和不可能事件统称为确定事件，确定事件中，必然出现的事情称为必然事件；不可能出现的事情称为不可能事件.9．C
【分析】可先根据一次函数的图象判断a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断各选项即可．
【详解】解：A 、由一次函数的图像可得，过一、二、三象限，00a a >->，
，无解，不符合题意；
B 、由一次函数的图像可得：过二、三、四象限，00a a <-<，
，无解，不符合题意；C 、由一次函数的图像可得：过一、二、四象限，00a a <->，
，a<0，此时，二次函数的图像开口向下，符合题意；
D 、由一次函数的图像可得：过二、三、四象限，00a a <-<，
，无解，不符合题意；故选C
【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟记一次函数和二次函数图像与系数的关系．10．A
【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，∴它有6种路径，
∵获得食物的有2种路径，∴获得食物的概率是：21
63
=故选A ．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11．C
【分析】根据图2中的坐标可得矩形ABCD 1DE AD AE AD AB =-=-=，利用勾股定理可求出1AB =，2AD =，当30x =︒时，过点E 作EH AD ⊥，解直角三角形即
可求解．
【详解】解：由图2可知当未旋转时，
DE ABCD 当旋转90°时，AE 落在AD 上，此时1DE AD AE AD AB =-=-=，
∴()2
2
21AB AB ++=
，解得1AB =，2AD =，
当30x =︒时，如图，过点E 作EH AD ⊥，
，
∵旋转角为30°，90DAB ∠=︒，∴60HAE ∠=︒，
∴1cos 602AH AE ︒==，sin 602
HE AE ︒==，
∴12AH =
，EH =∴3
2
DH AD AH =-=，
∴2223DE DH EH =+=，故选：C ．
【点睛】本题考查从函数图象获取信息、解直角三角形，能够从图2中得到矩形ABCD 的
1DE AD AE AD AB =-=-=是解题的关键．12．A
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点坐标进行判断即可．【详解】由图象可知a ＜0，对称轴为02b
x a
=-<，故0b <，与y 轴的交点在正半轴，故c>0，故0abc >，①正确；有图象可知102b
x a
-<=-<，得2b a >，即20a b -<，②错误；由102b
x a
-<=-
<，得02b a <<，故④错误；
设函数与x 轴的交点的横坐标为12,x x ，则可知121x -<<-，21x =，∴122c
x x a
⋅=
>-，即2c a <-，20a c +<，∴30a c +<，③正确；对于()a b m am b -<+，2a b am bm -<+，则20am bm b a ++->，
∵a ＜0,故开口向下，不可能恒大于0，⑤错误；综上所述，①③正确，故选：A ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点．13．17
8
m <
且1m ≠【分析】根据方程有两个不相等的实数根和一元二次方程的定义，得到根的判别式的值大于0和10m -≠，列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到m 的范围．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()2
1320m x x -++=总有两个不相等的实数根，
∴()24981010b ac m m ⎧=-=-->⎨-≠⎩
，
解得：17
8
m <
且1m ≠，故答案为：17
8
m <
且1m ≠．【点睛】此题考查了根的判别式和一元二次方程的定义：△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．14．35
【分析】根据题意易得摸到红球的概率为0.3，然后可得盒子中白球与红球的总数为50个，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：摸到红球的概率为0.3，则有，
盒子中球的总数为：15÷0.3=50（个）；∴a=50-15=35（个）；故答案为35．
【点睛】本题主要考查频率与概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．15．3.5
【分析】如图所示，建立坐标系，然后求出抛物线解析式，然后求出N 点纵坐标，即可求解．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意得A 点坐标（-10，0），B 点坐标为（10，0），C 点坐标为（0，6），N 点横坐标为5，设抛物线解析式为2y ax c =+，
∴10006a c c +=⎧⎨=⎩
，
∴3506
a c ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为2
3650
y x =-+，∴当5x =时，23
56 4.550
y =-
⨯+=，∴支柱MN 的高度=8-4.5=3.5米，故答案为：3.5
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确建立坐标系求解．16．2π
【分析】如图，连接,AB 证明AB 为圆的直径，再利用勾股定理求解,AC 再利用扇形面积
公式计算即可得到答案．【详解】解：如图，连接,
AB 90ACB ∠=︒ ，
AB ∴为圆的直径，4AB =，222,,
AC BC AB AC BC ∴+==22,
AC BC ∴==(
2
902
=
=2.
360S ππ︒⨯∴︒
故答案为：2.
π【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形的面积的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．17．y =-（x -5）2-2
【分析】先求出抛物线的顶点式解析式，先根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移的性质求得平移后抛物线的顶点坐标；最后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：y =x 2+4x +3=（x +2）2-1．此时，该抛物线顶点坐标是（-2，-1）．
将该抛物线绕坐标原点O 旋转180°后的顶点坐标是（2，1）．再分别向下、向右平移3个单位后的顶点坐标是（2+3，1-3）即（5，-2）．所以此时抛物线的解析式为：y =-（x -5）2-2．故答案是：y =-（x -5）2-2．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．18．4
【分析】设BCE ACD α∠=∠=，可得1
902
CBE CEB CAD CDA α∠=∠=∠=∠=︒-，根据四边形内角和可得90BFA ∠=︒，取AB 的中点H ，连接HG 、HF ，则HG =12
AC ，1
2HF AB =，继
而可得FG HG HF ≤+，即可得到答案．
【详解】解：取AB 的中点H ，连接HG 、HF ，如图：
DEC ∆ 是由ABC ∆绕C 点旋转得到，
CE CB ∴=，CD CA =，BCE ACD ∠=∠，
设BCE ACD α∠=∠=，则1902
CBE CEB CAD CDA α∠=∠=∠=∠=︒-，在四边形BCDF 中，
1
360360(90)2(90)902
BFA BCD CDA CBE αα∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒+-︒-=︒，
在RT ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4BC cm =，3AC cm =，
5AB cm ∴=，
Rt ABF ∆中，1
522
HF AB cm ==，
HG 是ABC ∆中位线，13
22
HG AC cm ∴=
=，而4FG HF HG cm ≤+=，
∴当F 、H 、G 在一条直线上时，FG 最大，最大值为4HF HG cm +=，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、直角三角形的性质及勾股定理、中位线定理，构建以FG 为边的三角形，根据三角形三边关系得出FG 的长度范围是解题的关键．
19．(1)12x =-22x =-(2)12x =，23
x =
【分析】（1）根据解一元二次方程的方法步骤，选择配方法求解即可得到答案；（2）根据解一元二次方程的方法步骤，选择因式分解法求解即可得到答案【详解】（1）解：2420x x +-=，移项得：242x x +=，
配方得：2
2
2
444222x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
因式分解得：()2
26x +=，
直接开平方得：2x +=，
∴一元二次方程的解为12x =-22x =-（2）解：()()2
232x x -=-，移项得：()()2
2320x x ---=，提公因式得：()()230x x --=，20,30x x ∴-=-=，
∴一元二次方程的解为12x =，23
x =【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的相应解法是解决问题的关键．20．(1)13
(2)1
6
【分析】（1）根据一步概率问题的求解方法，直接利用概率公式求解即可得到答案；（2）根据两步概率问题的求解方法，选择画树状图的方法得到事件的所有等可能结果，根据题意，结合概率公式求解即可得到答案．
【详解】（1）解：从甲、乙、丙三位医生中随机选一位医生，恰好选中医生甲的概率为13
；
（2）解：画树状图如下：
共有6个等可能的结果，恰好选中医生甲和护士A 的结果有1个，∴恰好选中医生甲和护士A 的概率为1
6
．
【点睛】本题考查概率问题，涉及一步概率问题及两步概率问题，熟练运用概率公式及列举法解两步概率问题是解决问题的关键．
21．（1）见解析；（2）45°；（3）
2
【分析】（1）根据旋转的性质先得到对应点的坐标，然后顺次连接即可；
（2）由旋转的性质可得OA =OA 1，∠AOA 1=90°，则三角形AOA 1是等腰直角三角形，由此求解即可；
（3）如图所示，点A 经过的路径即为圆心角是90度，半径是OA 的长的扇形弧长，由此求解即可．
【详解】解：（1）∵△OAB 绕原点O 逆时针方向旋转90°后得到的△OA 1B 1，A （5，3），B （0，5）
∴A 1（-3，5），B 1（-5，0），如图所示，即为所求；
（2）由旋转的性质可得OA =OA 1，∠AOA 1=90°，∴三角形AOA 1是等腰直角三角形，∴∠OAA 1=45°，
故答案为：45°；
（3）如图所示，点A经过的路径即为圆心角是90度，半径是OA的长的扇形弧长，
∵A（5，3），
∴OA=，
∴¼
1
AA==．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转作图，求弧长，两点距离公式，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
22．（1）相切，理由见解析；（2）CE=12 5．
【分析】（1）连接OC，利用切线的判定解答即可；
（2）过C作CF⊥OD于F，根据勾股定理和等面积公式解答即可．【详解】（1）相切
理由：连接OC ，
∵OA =OC ，
∴∠OAC =∠OCA ，
∵AC 平分∠EAB ，
∴∠EAC =∠OAC ，
则∠OCA =∠EAC ，
∴OC ∥AE ，
∵AE ⊥DE ，
∴OC ⊥DE ，
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）过C 作CF ⊥OD 于F ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴CO =12
AB =3，∴在△COD 中，OC ⊥DE ，CD =4，
代入OD 2=OC 2+CD 2得OD =5
由等面积求得CF =12
5
∵CF ⊥OD ，AE ⊥DE ，AC 平分∠EAB ，
∴CE =CF =125
．【点睛】考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
23．（1）12
-，4；（2）图见解析，性质：①函数图与x 轴有两个交点，②当x=12时，取得最大值；（3）45m <<．
【分析】（1）因为有两个常量不知，可代入两个点，用待定系数法即可求解；
（2）将所求的函数去绝对值，化简为分段函数，结合每一部分的特点即可画出函数图象，
再结合图象可写出函数的性质；
（3）把问题转化为2114|2|22
y x x x =-++-与y x m =-+的图象有两个交点问题，结合图象分析即可．
【详解】解：（1）将（1，4），（2，2）分别代入2122
y ax b x x =++-中得142402
a b a b ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩解得124a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故答案为：12
-，4；（2）2114|2|22y x x x =-++-24,24,2
x x x x x -+≥⎧=⎨-++<⎩，
函数图象，如下图：
性质：①函数图与x 轴有两个交点，②当x=12时，取得最大值；
（3）如上图，2122
ax b x x x m ++-=-+恰有两个不同的实数解，可以看成2114|2|22
y x x x =-++-与y x m =-+的图象有两个交点，让y x m =-+向下移动，相切时，
24x m x x -+=-++有且仅有一个解，
44(4)0,5m m ∆=--==，
再向下移动时，二者有两个交点，
当4m =时，y x m =-+与图中函数图象x ＞2那部分重合，有无数个交点，不符合题意，
继续向下移动是，即4m <，二者只有一个交点，不符合题意，综上所述，若方程2122
ax b x x x m ++-=-+恰有两个不同的实数解45m <<，【点睛】本题是一道设计精巧的数形结合题，学生如果通过描点画出图象，即能作出解答．但本题得分率很低，其原因是一部分学生无从下手，一部分学生习惯性地由对应点求出解析式后也无法作答．数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．
24．
（1）该市民4月30日购买了该草鱼至少4千克；（2）10【分析】（1）设该市民4月30日购买了该草鱼x 千克，根据4月30日所花费的钱至少比3月1日多20元，列一元一次不等式，解不等式即可解决问题；
（2）根据题意，4月30日的草鱼价格为()101+50%=15⨯元/千克，，则5月1日，外运草鱼的价格为15(1%)a -元/千克，，非外运草鱼的价格仍为15元/千克，设4月30日的销售量为m 千克，则4月30日的销售额为15m ，则5月1日的销售量为(12%)m a +千克，外运草鱼的销售量为(1%5)32m a +，则非外运草鱼的销售量为(1%5
)22m a +，根据题意列出一元二次方程，解方程求解即可
【详解】（1）解：设该市民4月30日购买了该草鱼x 千克，根据题意得：
102010(150%)x x
+≤⨯+解得4
x ≥答：该市民4月30日购买了该草鱼至少4千克
（2）根据题意，4月30日的草鱼价格为()101+50%=15⨯元/千克，，则5月1日，外运草鱼的价格为15(1%)a -元/千克，，非外运草鱼的价格仍为15元/千克，
设4月30日的销售量为m 千克，则4月30日的销售额为15m ，
则5月1日的销售量为(12%)m a +千克，外运草鱼的销售量为(1%5
)32m a +，则非外运草鱼的销售量为(1%5
)22m a +，根据题意有，(1%5)32m a +⨯15(1%)a -+(1%5)22m a +⨯15=15m 321%25a ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭
()()236%%05
a a ⨯-⨯=解得1210,0a a ==（舍），
∴10
a =
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，理清题中的数量关系，找到等量关系列出方程是解题的关键．
25．（1）2=23y x x --；（2）
8
，P （32，154-）；（3）（-5，0）或（92，0）或（0，
00）【分析】（1）将A 、B 坐标代入，利用待定系数法求解；
（2）证明∠PNM =45°PM =PN ，求出PN ，利用二次函数的性质得到PN 的最大值即可得到结果；
（3）画出图形，分情况讨论，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形，得到方程，解之可得点E 坐标．
【详解】解：（1）将A ，B 代入23(0)y ax bx a =+->中，
得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩
，解得：12
a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为2=23y x x --；
（2）令x =0，则y =-3，
∴C （0，-3），
∵B （3，0），
∴∠OBC =∠OCB =45°，
∵PN ∥y 轴，
∴∠PNM =45°，
∵PM ⊥BC ，
PM =PN ，则当PN 最大时，PM 最大，
设BC 的解析式为y =mx +n ，
则330n m n -=⎧⎨+=⎩，解得：13m n =⎧⎨=-⎩
，∴BC 的解析式为y =x -3，
设P （x ，223x x --），N （x ，x -3），
则PN =()2323x x x ----=2
3924x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，
当x =
32时，PN 最大，则PM =2PN 94=8
此时P （32，154-）；（3）∵△CEQ 是以CQ 为斜边的等腰直角三角形，
设Q （x ，223x x --），
如图，过E 作x 轴的垂线，再分别过C 和Q 作y 轴的垂线，分别交于M ，N ，
∵∠CEQ =90°，即∠QEN +∠CEM =90°，∠QEN +∠EQN =90°，
∴∠CEM =∠EQN ，又∠M =∠N =90°，EQ =EC ，
∴△QNE ≌△EMC （AAS ），
∴CM =EN =223x x --，NQ =EM =3，则Q x NQ CM +=，
即2323x x x -+=--，
解得：x =-2或x =3（舍），
∴OE =CM =2+3=5，即E （-5，0）；
如图，过E 作x 轴的垂线，再分别过C 和Q 作y 轴的垂线，分别交于M ，N ，
同理可得，△QNE ≌△EMC （AAS ），
∴CM =EN =223x x --，NQ =EM =3，
∴2233x x x -+--=，
解得：x =32或32
（舍），
∴OE =CM =92-，即E （92
，0）；
如图，点E 和点O 重合，点Q 和点B 重合，
此时E （0，0）；
如图，过E 作x 轴的垂线，再分别过C 和Q 作y 轴的垂线，分别交于M ，N ，
同理可得，△QNE ≌△EMC （AAS ），
∴CM =EN =223x x --，NQ =EM =3，
∴2323x x x +=--，
解得：x =32（舍）或32
+，
则OE =CM =
92，即E （92，0）；
综上：点E的坐标为（-5，00）或（0，00）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，理解坐标与图形性质，进行分类讨论是解题的关键．
26．（1）EF=DF+BE；（2）EF=DF-BE；（3）线段EF的长为10
3或
20
3．
【分析】（1）延长FD至G，使DG=BE，连接AG，先证△ABE≌△ADG，再证△GAF≌△EAF 即可；
（2）在DC上截取DH=BE，连接AH，先证△ADH≌△ABE，再证△HAF≌EAF即可；（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）结论：EF=BE+DF．
理由：延长FD至G，使DG=BE，连接AG，如图①，
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，
∴△ABE≌△ADG（AAS），
∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠DAF+∠DAG=45°，
∴∠GAF=∠EAF=45°，
∵AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（AAS），
∴EF=GF，
∴GF=DF+DG=DF+BE，
即：EF=DF+BE；
（2）结论：EF=DF-BE．
理由：在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②，
∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，
∴△ADH≌△ABE（SAS），
∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，
∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，
∴∠DAH+∠BAF=45°，
∴∠HAF=45°=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△HAF≌EAF（SAS），
∴HF =EF ，
∵DF =DH +HF ，
∴EF =DF -BE ；
（3）①当MA 经过BC 的中点E 时，同（1）作辅助线，如图：
设FD =x ，由（1）的结论得FG =EF =2+x ，FC =4-x ．
在Rt △EFC 中，（x +2）2=（4-x ）2+22，
∴x =43
，∴EF =x +2=
103．②当NA 经过BC 的中点G 时，同（2）作辅助线，
设BE =x ，由（2）的结论得EC =4+x ，EF =FH ，
∵K为BC边的中点，
∴CK=1
2
BC=2，
同理可证△ABK≌FCK（SAS），
∴CF=AB=4，EF=FH=CF+CD-DH=8-x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得到：（4+x）2+42=（8-x）2，
∴x=4 3，
∴EF=8-4
3
=
20
3．
综上，线段EF的长为10
3或
20
3．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．。