2022-2023学年上海交通大学附属中学嘉定分校高一上学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年上海交通大学附属中学嘉定分校高一上学期期中数学
试题
一、单选题
1．化简2
9log 3x 的结果为（ ）
A ．x
B ．1x
C ．x
D ．
1||
x 【答案】C
【分析】利用对数的运算性质求解即可. 【详解】2
2
332
9log
log log 333
x x x
x ===，
故选：C
2．函数()b x f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）
A ．1a >，0b <
B ．1a >，0b >
C ．01a <<，0b <
D ．01a <<，0b >
【答案】A 【分析】由()b x
f x a
-=，可得1()x b
f x a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，由图像可知函数是减函数，则1
01a
<
<，从而可求出a 的范围，由0(0)1f <<可求出b 的取值范围 【详解】由()b x
f x a
-=，可得1()x b
f x a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
因为由图像可知函数是减函数，所以1
01a
<<，所以1a >， 因为0(0)1f <<，
所以001b a a <<=，所以0b <， 故选：A
3．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，现有四个命题：①若0a >，则不等式
()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立；②若a<0，则必存在实数0x 使不等式()00f f x x >⎡⎤⎣⎦成立；③方程()f f x x ⎡⎤=⎣⎦一定没有实数根；④若0a b c ++=，则不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立，其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【答案】C
【分析】利用二次函数的图象和性质分别判断()f f x ⎡⎤⎣⎦与x 的关系. 【详解】解：方程()f x x =无实根. ()0f x x ∴->或()0f x x -<. 0,()0a f x x >∴->对一切R 成立, ()f x x ∴>,用()f x 代入,
[()]()f f x f x x ∴>>,命题①正确；
同理若a<0,则有[()]f f x x <.命题②错误,命题③正确；
0a b c ++=,(1)10f -<
必然归为a<0,有[()]f f x x <.命题④正确. ①③④正确 . 故选C
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次不等式的应用综合性较强,难度较大.
二、多选题
4．已知a 、b 、c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>
C ．b c a >>
D ．c b a >>
【答案】CD
【分析】根据基本不等式，结合题意，即可判断和选择.
【详解】对AB ：2222a c bc ac +=>，又0c >，故b a >，则AB 错误；
对C ：若b c >，则22222a c bc c +=>，即22a c >，又0,0a c >>，故a c >，则b a c >>满足题意，C 正确；
对D ：若c b >，则c b a >>，D 正确. 故选：CD.
三、填空题
5．已知集合{}{1},1,0,2A x x B =<=-，则⋂=A B ___________． 【答案】{}2
【分析】利用集合的补集和交集运算求解. 【详解】解：因为集合{}1,A x x =< 所以{}|1A x x =≥ 又{}1,0,2B =-， 所以{}2A B ⋂=， 故答案为：{}2 6．函数y
__________. 【答案】(,1)-∞
【分析】由给定函数有意义列出不等式，解之即得. 【详解】在函数y
=
10x -≥，
而分式分母不能为00，所以10
101
0x x x -≥⎧⎪⇒->⇒<≠， 所以原函数定义域为(,1)-∞, 答案为：(,1)-∞
7．“x 、y 中至少有一个大于0”是“0x y +>”的_____________条件．（用“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“既非充分也非必要”填空） 【答案】必要非充分
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】先证明0x y +>时，x 、y 中至少有一个大于0 假设x ,y 均不大于0，即x ≤0且y ≤0， 则x ＋y ≤0，这与x ＋y ＞0矛盾，
即当x ＋y ＞0时，x ,y 中至少有一个大于0，即必要性成立，
若x ＝1，y ＝−2，满足x ,y 中至少有一个数大于0，但x ＋y ＞0不成立，即充分性不成立， 故“x ,y 中至少有一个数大于0”是“x ＋y ＞0”成立的必要不充分条件， 故答案为：必要非充分．
8．已知1
2x x +=，则33
1
x x -的值为_____________． 【答案】0
【分析】解方程求出x ，再代入计算即可. 【详解】12x x
+
= 2210x x ∴-+=，
解得1x =
33
33
11101x x ∴-
=-= 故答案为：0.
9．已知0.63a =，则 5.4log 3=____________（结果用含a 的式子表示）． 【答案】
1
2a a
【分析】先通过换底公式得到31
log 0.6a
=，再将 5.4log 3转化为以3为底的形式，利用对数的运算性质计算即可.
【详解】由0.63a =得0.631
log 3log 0.6
a ==，
即31log 0.6a
=， ()5.433331111log 31log 5.4log 0.69log 0.6log 9122a
a a
∴=
====
⨯+++
故答案为：1
2a a
10．不等式
21
1x x
-≤的解集为___________. 【答案】{}01x x <≤
【分析】移项将分式不等式化为标准形式，再化为一元二次不等式可解得结果. 【详解】
211x x -≤等价于210x x x
--≤等价于1
0x x -≤，
等价于(1)0x x -≤且0x ≠，即01x <≤， 故不等式
21
1x x
-≤的解集为{}01x x <≤. 故答案为：{}01x x <≤.
【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了一元二次不等式的解法，考查了转化化归思想，属于基础题.
11．不等式41
320x x --<的解集为_____________． 【答案】()0,1
【分析】根据式子结构可得0x >，再通过不等式的性质及指数的运算性质变形，最后利用幂函数的性质解不等式即可.
【详解】由4
1
320x x --<中的结构1
2x -可得0x >， 413
2
0x x ->>∴，
1423
1x
-->∴，即11
61x -
∴>，即611611
11x =<
116
y x =在()0,∞+上单调递增，01x ∴<< 故答案为：()0,1
12．如果当78x ≤≤时，|||2|()x k x k k -+-∈R 都能取到最小值，则实数k 的取值范围是___________． 【答案】[]4,7
【分析】根据绝对值三角不等式的取等条件，结合已知自变量的范围，列出不等关系，即可求得结果.
【详解】因为|||2|x k x k -+-()()2x k x k k ≥---=，当且仅当()()20x k x k --≤时取得最小值； 当0k ≤时，因为[]7,8x ∈,所以不满足题意； 当0k >时，要取得最小值，则[],2x k k ∈；
根据题意，当[]7,8x ∈，都要取得最小值，则[]7,8是[],2k k 的子集， 则7,28k k ≤≥，解得[]4,7k ∈. 故答案为：[]4,7.
13．如图，正方形OABC 的边长为(1)a a >，函数22y x =与AB 交于点Q ，函数1
2y x -=与BC 交于点P ，当||||AQ CP +最小时，实数a 的值为____________．
2
【分析】由题意，可用a 表示出线段AQ 及CP 的长度，再由基本不等式求最值，即可求得||||AQ CP +取最小时的a 值．
【详解】解：点P 在函数1
2
y x -=上，则12
CP a a
-==
点Q 在函数22y x =上，则2
2Q x a =，的||2
Q a AQ x =
1
2||||22222
a a AQ CP a
a
∴+≥⋅= 2a a
2a =
21>知，当||||AQ CP +最小时，a 2 2．
14．已知集合{1,2,3}S =，若||||a b c -+的平均数为最简分数n
m
，其中a b c S ∈、、，则m n +的值为___________． 【答案】27
【分析】根据题意，分类讨论a b =或a b 两种情况即可求解.
【详解】设k a b c =-+，
①：a b =，c 取1,2,3，则1,2,3k =， ②：a b ，则1a b -=或2a b -=，c 取1,2,3，则2,3,4,5k =，
故
12323452077
n m ++++++==，则27m n += 故答案为：27
15．已知2()2()21,x f x b x a x a b x =⋅+⋅++⋅-∈R ，其中a 、b 正实数．若
{}{}()0(())0x f x x f f x ===≠∅，则
222a b
a b b a
+++的最大值为___________． 233
+【分析】设{}{}1()0(())0x x f x x f f x ∈===，即可得到()00f =，从而求出1a b +=，令1b a =-，
代入目标式子化简得到
()1
3131
a a ++
-+，再利用基本不等式计算可得. 【详解】解：设{}{}1()0(())0x x f x x f f x ∈===，
()()()110f x f f x ∴==，
()00f ∴=，
即()010f a b =+-=，故1a b +=，所以1b a =-， 又a 、b 为正实数，所以01a <<，则112a <+<
所以()2
22221221
111a b a a a b b a a a a a a a a ++=+=-+++-+--+ ()
()
2
1
1331a a a +=
++-+
()
1
3
131
a a =
≤=
++
-+ 当且仅当1
3
1a a +=+，即31a 时取等号，
即
222a b a b b a +
++
.
四、解答题
16．若存在x 满足不等式221
1133x ax
x a +--⎛⎫
⎛⎫> ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，则实数a 的取值范图是______________．
【答案】()()8,,0+∞-∞
【分析】根据指数函数的单调性化简，令()()()2
21f x x a x a =+-++，然后结合二次函数的图像列
出不等式，即可得到结果.
【详解】根据题意可得存在x 满足221x ax x a +<--，即()()2
210x a x a +-++<
令()()()2
21f x x a x a =+-++，
即存在x 满足()0f x <
所以()()2
2410a a ∆=--+>，解得8a >或a<0 即a 的取值范图是()()8,,0+∞-∞
故答案为: ()
()8,,0+∞-∞
17．已知{}{}2
230,1,A x x x B x x a a R =--≤=-≤∈．
(1)若A B A ⋃=，求出实数a 的取值范围； (2)若a A ∈，求A B ⋂． 【答案】(1)02a ≤≤ (2)答案见解析
【分析】（1）求出集合AB ，然后根据并集结果列不等式求解即可；
（2）分111a a -<-<+，1113a a -≤-<+≤，131a a -<<+讨论，确定A B ⋂
【详解】（1）由已知{}[]22301,3A x x x =--≤=-，{}[]1,1,1B x x a a R a a =-≤∈=-++
A B A =，
B A ∴⊆
1113a a -+≥-⎧∴⎨+≤⎩
解得02a ≤≤
（2）由（1）[]1,3A =-，[]1,1B a a =-++，[]1,3a ∈-， 当111a a -<-<+，即10a -≤<时，[]1,1A B a ⋂=-+
当1113a a -≤-<+≤，即02a ≤≤时，[]1,1A B a a =-+ 当131a a -<<+，即23a <≤时， []1,3A B a =- 18．已知()2()x f x x =∈R ． (1)解不等式：(2)()12f x f x +≤；
(2)记()()()g x f x f x =+-，求函数(2)2()y g x g x =-的最小值． 【答案】(1)(]2,log 3-∞ (2)2-
【分析】（1）首先求出()2f x ，则不等式即为22212x x +≤，解得423x -≤≤，再根据指数函数的性质计算可得；
（2）首先表示出()g x ，从而得到(2)2()y g x g x =-的解析式，令22x x t -=+，利用基本不等式求出t
的取值范围，则问题转化为求函数()2
22h t t t =--，[)2,t ∈+∞的最小值，根据二次函数的性质计算
可得.
【详解】（1）解：因为()2()x f x x =∈R ，所以2(2)2x f x =，
则不等式(2)()12f x f x +≤，即22212x x +≤，即()2
22120x x +-≤，即()()24230x x
+-≤，
解得423x -≤≤，显然24x ≥-恒成立，
则只需满足23x ≤，解得2log 3x ≤，即不等式的解集为(]2,log 3-∞. （2）解：()()()22x x g x f x f x -=+-=+，
则()()22(2)2()22222x x x x
y g x g x --=-=+-+，
令22x x t -=+
，则222x x t -=+≥=当且仅当22-=x x ，即0x =时取等号， 则()2
222222222x x x x t --+=+-=-，
所以问题转化为求函数()2
22h t t t =--，[)2,t ∈+∞的最小值，
因为()()2
13h t t =--对称轴为1t =，开口向上，所以()h t 在[)2,+∞上单调递增，
所以()()min 22h t h ==-，
所以函数(2)2()y g x g x =-的最小值为2-.
19．某公司经过测算，计划投资A 、B 两个项目．若投入A 项目资金x （万元），则一年创造的利润
为2x （万元）；若投入B 项目资金x （万元），则一年创造的利润为10,020()3020,20x
x f x x x ⎧≤≤⎪
=-⎨⎪>⎩（万元）．
(1)当投入A 、B 两个项目的资金相同且B 项目比A 项目创造的利润高，求投入A 项目的资金x （万元）的取值范围；
(2)若该公司共有资金30万元，全部用于投资A 、B 两个项目，且要求投资B 项目的资金不超过10万元，则该公司一年至少能创造多少利润？（结果精确到0.1万元）． 【答案】(1)()10,40； (2)14.5万元.
【分析】（1）根据已知函数模型，列出不等式，求解即可；
（2）根据题意，求得利润关于投资B 项目资金x 的函数关系，结合基本不等式求其最小值即可. 【详解】（1）根据题意，当020x ≤≤时，10302
x x
x >-，即()100x x ->，解得0x <或10x >， 故满足题意的(]10,20x ∈； 当20x >时，202
x
>
，解得40x <，则此时()20,40x ∈； 综上所述，()10,40x ∈，
故当B 项目比A 项目创造的利润高时，投入A 项目的资金x （万元）的取值范围()10,40. （2）根据题意，设投资A 项目x （万元），则投资B 项目30x -（万元），则03010x ≤-≤，解得
[]20,30x ∈；
则公司一年的利润()10301600110101014.5222x x y x x x -⎛⎫=
+=+-≥⨯=≈ ⎪⎝⎭（万元），
当且仅当600
x x
=
，即x =. 即该公司一年至少能创造14.5万元的利润. 20．已知2
2
(),k
k f x x k -++=∈Z ．
(1)若函数()y f x =的定义域为R ，求k 的值；
(2)若(4)(3)f f ->-，且()
2
1()(20a f x a -+->恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若存在实数m ，使得关于x 的方程22(1)20f x mx -=．恰有
4个不同的正根，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)0k =或1k = (2)9
7a <-或1a ≥
(3)10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】（1）根据幂函数的性质得到220k k -++>，求出不等式的解析，再结合k ∈Z ，求出k 的值； （2）首先分析22k k -++的取值情况，依题意及幂函数的性质可得()f x 在(),0∞-上单调递减，即
可确定()f x 的解析式，则问题即()22
1(1)20a x a x -+-+>恒成立，根据函数的奇偶性，只需研究
0x ≥的情况即可，结合二次函数的性质计算可得；
（3）由（2）可得方程222(1)120x x x mx ---+=在()0,∞+上有4个不同的根，令
()1
x m x x -=()0,x ∈+∞，分析()m x 的取值情况，则问题转化为221
1220x x m x x ---+=，即
22()()20m x m x m -+=，再令()s m x =，关于s 的方程2220s s m -+=在()0,1上有两个不等的根，结合一元二次方程根的分布问题得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）解：函数22(),k k f x x k -++=∈Z 的定义域为R ，则220k k -++>，
所以()()210k k -+<，解得12k -<<，又k ∈Z ，
所以0k =或1k =；
（2）解：因为()2212k k k k -++=--+且Z k ∈，
若k 为奇数，则1k -为偶数，则()12k k --+为偶数，
若k 为偶数，则1k -为奇数，则()12k k --+为偶数， 且2
21992244k k k ⎛⎫-++=--+≤ ⎪⎝⎭， 因为(4)(3)f f ->-，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，
若222k k -++=，即0k =或1k =时()2f x x =符合题意，
若220k k -++=，即1k =-或2k =时()0f x x =，不符合题意，
若220k k -++<，则22()k
k f x x -++=为偶函数且在()0,∞+上单调递减，则()f x 在(),0∞-上单调递增，
不符合题意；
所以()2f x x =，
则不等式()
21()(20a f x a -+->恒成立，即()221(1)20a x a x -+-+>恒成立，
因为()()221(1)2h x a x a x =-+-+为偶函数，由()0h x >恒成立，只需研究0x ≥的情况即可， ①当0x =时显然成立，
②当0x >时()221(1)20a x a x -+-+>恒成立，
若210a -=解得1a =或1a =-，当1a =时显然成立，当1a =-时不等式即220x -+>，解得1x <，不符合题意；
若210a -<，即11a -<<时，显然不成立，
若2
10a ->，即1a >或1a <-时，函数()()221(1)2g x a x a x =-+-+的对称轴为()121x a -=+，开口向上，
当1a >时()1021x a -=
<+，又()020g =>，所以()()221(1)20g x a x a x =-+-+>()0,x ∈+∞恒成立，符合题意，
当1a <-时()
1021x a -=>+，则()()221810a a ∆=---<，解得1a >（舍去）或97
a <-， 综上可得：9
7a <-或1a ≥；
（3）解：由（2
）可得22(1)20f x mx -=，
即()222(1)120x x x mx ---+=，
因为方程22(1)20f x mx -=在()0,∞+上有4个不同的根， 即222(1)120x x x mx ---+=在()0,∞+上有4个不同的根，
令()1
x m x x -=，()0,x ∈+∞，
当1x >时，()1
1
1x m x x x -==-，
所以()m x 在(1,)+∞上单调递增，则()()0,1m x ∈；
当01x <<时，()11
1x
m x x x -==-，
所以()m x 在(0,1)上单调递减，则()(0,)m x ∈+∞． 方程222(1)120x x x mx ---+=可变形为2
211220x x m x x ---+=，
即22()()20m x m x m -+=，
令()s m x =，则方程为2220s s m -+=，要使得原方程有4个不同的正根，
则关于s 的方程2220s s m -+=在()0,1上有两个不等的根1s ，2s ，
所以21
160
2021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1
016m <<，
故实数m 的取值范围为10,16⎛⎫
⎪⎝⎭．
21．已知，集合(){}12,,,,01,1,2,,n n i S X X x x x x i n ====或(2)n ≥，对于
()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =∈=∈，定义A 与B 之间的距离为：
1122(,)n n d A B a b a b a b =-+-++-．
(1)对任意的22,A S B S ∈∈，请写出(,)d A B 可能的值（不必证明）；
(2)设4P S ⊆，且P 中有4个元素，记P 中所有元素间的距离的平均值为()d P ，求()d P 的最大值；
(3)对()()1212,,,,,,,n n n n A a a a S B b b b S =∈=∈，定义：()1122,,,n n A B a b a b a b -=---．求证：对任意的,,n A B C S ∈，有以下结论成立：
①(,)(,)d A C B C d A B --=．
②(,)(,)(,)d A B d B C d A C 、、三个数中至少有一个是偶数．
【答案】(1)证明见解析
(2)83
， (3)证明见解析
【分析】（1）（2）由新定义计算，
（3）由新定义与反证法证明，
【详解】（1）由题意得2{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}S =，
22,A S B S ∈∈，则(,)d A B 可能的值为0,1,2，
（2）设{,,,}P A B C D =，4个元素中第1个位置共t 个1，4t -个0，
当0=t 时，1111111111111=||||||||||||0s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，
当1t =时，1111111111111=||||||||||||3s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，
当2t =时，1111111111111=||||||||||||4s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，
当3t =时，1111111111111=||||||||||||3s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，
当4t =时，1111111111111=||||||||||||0s a b a c a d b c b d c d -+-+-+-+-+-=，
若要使()d P 最大，则2t =，同理得第2，3，4个位置各有2个1，2个0，
()d P 的最大值为44863
⨯=， （3）①由题意得,,{0,1}i i i a b c ∈，1,2,,i n =，
若0i c =，则||i i i a c a -=，||i i i b c b -=，||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-，
若1i c =，则||1i i i a c a -=-，||1i i i b c b -=-，||||||||||i i i i i i i i a c b c b a a b ---=-=-， 故(,)(,)d A C B C d A B --=，
②由①可设(,)(,0)d A B d A B k =-=，(,)(,0)d B C d B C m =-=，(,)(,)d A C d A B C B n =--=， 则||A B -中有k 个1，||C B -中有m 个1，
设t 是使得||||1i i i i a b c b -=-=成立的i 的个数，
则2n k m t =+-，
假设,,k m n 均为奇数，则2k m t +-为偶数，矛盾，故假设不成立，
故(,)(,)(,)d A B d B C d A C 、、三个数中至少有一个是偶数．。