五年级奥数.应用题.牛吃草问题(A级).教师版

（1） 英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上
吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．
（2） “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也
在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．
（3） 解“牛吃草”问题的主要依据：
草的每天生长量不变；
每头牛每天的食草量不变；
草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值
新生的草量=每天生长量⨯天数．
（4） 同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)； ⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；
⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；
⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．
（5） “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题
的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
（1） 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的对比的解题思路.
（2） 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系
重难点
知识框架
牛吃草问题
一、一块草地的牛吃草
【例 1】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头
牛吃18周？
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15⨯-⨯÷-=，原有草量为
(2715)672-⨯=，可供72181519÷+=（头）牛吃18周
【答案】19头牛
【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20
天？
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015-=天生长的草量为1225241060⨯-⨯=，所以每天生
长的草量为60154÷=；原有草量为：()24410200-⨯=．
20天里，草场共提供草200420280+⨯=，可以让2802014÷=头牛吃20天．
【答案】14头牛
【例 2】 一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。

若是21头牛，
要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】
设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了276162⨯=份；23头牛吃9
周共吃了
例题精讲
239207⨯=份．第二种吃法比第一种吃法多吃了20716245-=份草，这45份草是牧场的草
963-=周生长出来的，所以每周生长的草量为45315÷=，那么原有草量为：16261572-⨯=．
供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要72612÷=(周)可将原有牧草吃完，
即它可供21头牛吃12周．
【答案】12周
【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供
25头牛可吃几天？
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200⨯=份；15头牛吃10天共吃了
1510150⨯=份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050-=份草，这50份草是牧场的草
201010-=天生长出来的，所以每天生长的草量为50105÷=，那么原有草量为：200520100-⨯=． 供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205÷=(天)可将原有牧草吃
完，即它可供25头牛吃5天．
【答案】5天
【例 3】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的
草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：()()2051566510⨯-⨯÷-=，原有
草量为：()20105150+⨯=；10天吃完需要牛的头数是：15010105÷-=(头)．
【答案】5头
【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。

如果某块草地上的草可
供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设1头牛1天吃的草为“1”。

牧场上的草每天自然减少 (254166)(64)2⨯-⨯÷-=；
原来牧场有草(252)4108+⨯=，
12天吃完需要牛的头数是：1081227÷-=(头)或(108122)127-⨯÷=（头）。

【答案】7头
【例 4】 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5
天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，651-=天自然减少的草量为2051664⨯-⨯=，原有草量为：
()2045120+⨯=．
若有11头牛来吃草，每天草减少11415+=；所以可供11头牛吃120158÷=(天)．
【答案】8天
【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。

如果某块草地上的草可
供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设1头牛1天吃的草为“1”。

牧场上的草每天自然减少 (254166)(64)2⨯-⨯÷-=
原来牧场有草(252)4108+⨯=
可供10头牛吃的天数是：108(102)9÷+=(天)。

【答案】9天
二、牛羊一起吃草的“牛吃草问题”
【例 5】 一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃草量等
于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？
【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊
吃12天相当于20头牛吃12天．那么每天生长的草量为()()16202012201210⨯-⨯÷-=，原有
草量为：()
-⨯=．
161020120
10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛去
÷=天可以把原有草量吃完，即这块草地可供吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要120158
10头牛和75只羊一起吃8天．
【答案】8天
【巩固】一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于1头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃多少天? 【考点】牛吃草问题【难度】4星【题型】解答
【解析】设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
16头牛15天16×15＝240：原有草量＋15天生长的草量
100只羊（25头牛）6天25×6＝150：原有草量＋6天生长的草量
从上易发现：1天生长的草量＝10；那么原有草量：150－10×6＝90；
8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下的10头牛吃原有草，90只需9天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天。

【答案】9天
三、“牛”吃草问题的变例
【例6】一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答
【解析】水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？205100
⨯=(台).
水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？61590
⨯=(台).
每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(10090)(2015)2
-÷-=(台).
原有的水可供多少台抽水机抽1天？10020260
-⨯=(台).
若6天抽完，共需抽水机多少台？606212
÷+=(台).
【答案】12台
【巩固】北京密云水库建有10个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10个小时后水位降至安全线．根据抗洪形势，需要用2个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？
【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答
【解析】此题是牛吃草问题的变形，假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为1，则水库每小时增加的水量为⨯-⨯÷-=，原有的水量超过安全线的部分有(10.5)3015
-⨯=．如果要用2个(130210)(3010)0.5
小时使水位降至安全线以下，至少需要开1520.58
÷+=个泄洪闸．
【答案】8个
【例 7】假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；
或供90亿人生活210年。

为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？
【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】对比思想方法
【解析】(9021011090)(21090)75
⨯-⨯÷-=亿人。

【答案】75亿人
【巩固】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）
【考点】牛吃草问题【难度】3星【题型】解答
【解析】设一只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速度是(2112239)(129)15
⨯-⨯÷-=，原有的野果为(2315)972
-⨯=，如果要4周吃光野果，则需有7241533
÷+=只猴子一起吃
【答案】33只猴子
【例 8】 画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如
果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。

求第一
个观众到达的时间。

【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。

8:30到9:00 共30分钟 3个入口共进入33090⨯=。

8:30到8:45 共15分钟 5个入口共进入51575⨯=，15分钟到来的人数 907515-=，每分钟到
来15151÷=。

8：30以前原有人33013060⨯-⨯=。

所以应排了60160÷=（分钟），即第一个
来人在7：30
【答案】730：
【巩固】 画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果
开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一
个观众到达的时间．
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“草的增长速度”，
那么本题就是一个“牛吃草”问题．设每一个入场口每分钟通过“1”份人，那么4分钟来的人为
39552⨯-⨯=，即1分钟来的人为240.5÷=，原有的人为：()30.5922.5-⨯=．这些人来到画
展，所用时间为22.50.545÷=(分)．所以第一个观众到达的时间为8点15分．
点评：从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很远，但仔细体会，题目中每分钟来的观众一样
多，类似于“草的生长速度”，入场口的数量类似于“牛”的数量，问题就变成“牛吃草”问题了．解
决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了问题的实质．
【答案】8点15分钟
【例 9】 一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。

开始进水管以均匀
的速度不停地向这个蓄水池蓄水。

池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水
再全部排光。

如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出
水管，则需要18小时。

问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？
【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 设1根排水管1小时排水为“1”，进水速度为(31883)(183)2⨯-⨯÷-=，原有水量为(82)318-⨯=，
如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开1882 4.25÷+=根出水管，每根出水管1
小时排水1份，又出水管的根数是整数，故最少要打开5根出水管。

【答案】5根
【巩固】 火车站的检票处检票前已有一些人等待检票进站，假如每分钟前来检票处排队检票的人数一定，
那么当开一个检票口时，27分钟后就无人排队；当开两个检票口时，12分钟就无人排队．如果
要在6分钟后就无人排队，那么至少需要开 个检票口．
【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 2711223⨯-⨯=，()327120.2÷-=，27270.221.6-⨯=，21.660.2 3.8÷+=，至少需要开四个
检票口
【答案】4个检票口
四、多块地的“牛吃草问题”
【例 10】 东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18
头牛吃16天，或者供27头牛吃8天．在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少
头牛吃6天？
【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么2000平方米的牧场上1688-=天生长的草量为
181627872⨯-⨯=，即每天生长的草量为7289÷=．那么2000平方米的牧场上原有草量为：
()18916144-⨯=．
则6000平方米的牧场每天生长的草量为()96000200027⨯÷=；原有草量为：
()14460002000432⨯÷=．6天里，该牧场共提供牧草432276594+⨯=，可以让594699÷=(头)
牛吃6天．
【答案】99头牛
【巩固】 有甲、乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的3倍．30头牛12天能吃完甲草地
上的草，20头牛4天能吃完乙草地上的草．问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？
【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，由于甲草地的面积是乙草地面积的3倍，把甲草地分成面积相等
的3块，那么每块都与乙草地的面积相等．由于30头牛12天能吃完甲草地上的草，相当于每块
上的草由10头牛12天吃完．那么条件转换为“10头牛12天能吃完乙草地上的草，20头牛4天
也能吃完乙草地上的草”，可知每天乙草地长草量为
()()10122041245⨯-⨯÷-=，乙草地原有草量为：()205460-⨯=；则甲、乙两块草地每天的新生长草量为5420⨯=，原有草量为：
604240⨯=．要10天同时吃完两块草地上的草，需要240102044÷+=(头)牛．
【答案】44头牛
【随练1】 一片牧草，每天生长的速度相同。

现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。

如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，60只羊的吃草量等于15头牛的吃草量，88只羊的吃草量等于22头
牛的吃草量，所以草的生长速度为(15242012)(2412)10⨯-⨯÷-=，原有草量为(2010)12120-⨯=，12头牛与88只羊一起吃可以吃120(122210)5÷+-=（天）
【答案】5天
【随练2】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘
水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设1人1小时淘出的水量是“1”，淘水速度是(58103)(83)2⨯-⨯÷-=，原有水量(102)324-⨯=，
要求2小时淘完，要安排242214÷+=人淘水
【答案】14人
课堂检测
【随练3】 由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从上游
的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水，已知这两个水库的每个闸门放水量是相
同的，如果同时打开壶流河水库的5个闸门30小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果
同时打开册田水库的4个闸门40小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果24小时使官
厅水库水量达到原来的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门?
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设1个闸门1小时的放水量为“1”，那么每小时自然减少的水量为：()()40430540301⨯-⨯÷-=，
实际注入水量为：()5130120-⨯=；24小时蓄水需要打开的闸门数是：1202416÷+=(个)．
【答案】6个
【作业1】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；
6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】对比思想方法
【解析】 设1人1分钟淘出的水量是“1”，401624-=分钟的进水量为34061624⨯-⨯=，所以每分钟的
进水量为24241÷=，那么原有水量为：()314080-⨯=．5人淘水需要()805120÷-=(分钟)把水
淘完．
【答案】20分钟
【作业2】 2006年夏天，我国某地区遭遇了严重干旱，政府为了解决村名饮水问题，在山下的一眼泉水旁
修了一个蓄水池，每小时有40立方米泉水注入池中。

第一周开动5台抽水机2.5小时就把一池
水抽完，接着第二周开动8台抽水机1.5小时就把一池水抽完。

后来由于旱情严重，开动13台
抽水机同时供水，请问几小时可以把这池水抽完？
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 一台抽水机一小时的抽水量为40×(2.5-1.5)÷(5×2.5-8×1.5)=80（立方米），
家庭作业
池水的总量为2.5×(80×5-40)=900（立方米）。

所以，使用13台抽水机，抽完池水需要的时间为900÷(80×13-40)=0.9（小时）。

【答案】0.9小时
【作业3】 有一个蓄水池装了9根相同的水管，其中一根是进水管，其余8根是出水管．开始时，进水管以
均匀的速度不停地向蓄水池注水．后来，想打开出水管，使池内的水全部排光．如果同时打开8
根出水管，则3小时可排尽池内的水；如果仅打开5根出水管，则需6小时才能排尽池内的水．若
要在4.5小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水管？
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设1根出水管1小时排水的量为“1”，那么进水管每小时进水量为()()5683632⨯-⨯÷-=，池内
原有水量为()82318-⨯=．要在4.5小时内排尽池内的水，应当同时打开18 4.526÷+=根出水管．
【答案】6根
【作业4】 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水
阀，则30分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10分钟把水池的水排
完．问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设一个排水阀1分钟排水量为“1”，那么进水阀1分钟进水量为()()130********.5⨯-⨯÷-=，
水池原有水量为()10.53015-⨯=．关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要1535÷=(分钟)才能排完水池的水．
【答案】5分钟
【作业5】 甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小
时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；
丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？(每
个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外
搬运面粉)
【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设1人1小时搬运的份数为“1”，那么一台皮带运输机1小时的工作量为
()()2831255312⨯-⨯÷-=，每个仓库存放的面粉总量为：()12125120+⨯=．那么,丙仓库现有
2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，需要120212236÷-⨯=(人)．
【答案】36人
【作业6】 有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可
供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相
同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？
【考点】牛吃草问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
10头牛 20天 10×20＝200 ：原有草量＋20天生长的草量
15头牛 10天 15×10＝150 ：原有草量＋10天生长的草量
从上易发现：1200平方米牧场上20－10＝10天生长草量＝200－150＝50，
即1天生长草量＝50÷10＝5；
那么1200平方米牧场上原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。

则3600平方米的牧场1天生长草量＝5×（3600÷1200）＝15；
原有草量：100×（3600÷1200）＝300.
75头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下60头牛需要300÷60＝5（天）可将原有草吃完，即它可供75头牛吃5天。

【答案】5天
教学反馈。