湖北省黄冈市2018届高三数学一轮复习备考教案：数列求和 含答案

数列一轮复习总体设想
团风中学
一、高考要求
1.考纲的要求
（1）数列的概念和简单表示法.
①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.
②了解数列是自变量为正整数的一类函数.
（2）等差数列、等比数列.
①理解等差数列、等比数列的概念.
②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n错误！未找到引用源。

项和公式.
③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
2.全国Ⅰ卷考点分布与考查概况
1．考查题型：一般为2—3道小题，或1道大题，分值为10—15分，从近几年的考查来看，属于中档难度.
2．考查内容：小题主要考查等差数列、等比数列的性质，大题主要考查等差数列、等比数列的通项与前n 项和公式及简单的递推关系（主要是n s 与n a 的关系）等问题.
二、高考命题趋势展望:
1、高考对数列基本知识的考查侧重以下几个方面：
（1）等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n 项和是考查的重点，这方面的考题多以选择题、填空题的形式出现，一般是中、低档难题，但解题方法灵活多样，技巧性较强些。

（2）数列的运算，即用有关公式和性质求解一些基本量的问题，特别是n a 与
n S 的关系（易漏掉1=n 时的情况）历来是考查的热点。

（3）综合题型在数列中考查比较多，这类题多是数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何等知识的交汇点，此类题难度大，综合性强，需要运用的数学思想方法多。

（4）近五年没考数列应用题，分段形式的数列没有涉及数学归纳法没有考查今后也可以关注一下。

以关注生活热点、贴近生活，抓住学生身边的重要素材，比如个人储蓄与养老保险问题、分期付款问题、住房改革与医疗改革、国土资源与人口发展问题等等，借助数列知识将实际问题抽象为数学问题。

2、高考对数列基本思想方法的考查侧重以下几个方面：
（1）分类讨论思想：如等比数列求和，分公比等于1和不等于1 两种情形；已知数列前n 项和求通项，分n =1和2≥n 两种情形等.
（2）函数思想：将数列视为定义域为正整数集其子集的函数.
（3）数形结合思想：如等差数列的通项公式n a 和前n 项和n S ，可视为直线和抛物线方程.
（4）化归转化思想：如将非等差数列、非等比数列转化为等差、等比数列.
三、本专题复习意义
数列是高中的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要
的地位。

高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏。

数列求和是数列的重要内容之一。

而且注重在知识交会处设计试题，如常常与函数、方程、不等式、导数、推理与证明等内容有机地结合在一起，既重视对数列的基础知识的考查，又突出对数学思想方法和数学能力的考查。

四、专题知识体系构建的方法
2.课时安排
（1）等差数列与等比数列 2课时
（2）数列的通项与求和 2课时
（3）数列的综合应用 2课时
五、重难点知识强化策略
重点：等差数列、等比数列的通项及前n项和
难点：数列的综合应用
重难点知识强化与突破策略：
（1）读纲研题，把握主干；（2）回归课本，夯实基础；
（3）通法为主，变法为辅；（4）适度训练，巩固提高。

六、训练题目设计
（1）强化基础，突出方法，分级达标；
（2）抓纲务本，落实通法，熟练应用；
（3）变式呈现，举一反三，强化提升。

说课数列求和及其应用
一、教学分析
1．教材分析
数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础。

数列求和是数列的重要内容之一,数列求和问题是高考的热点问题，各种题型均有出现，大部分数列的求和都需要一定的技巧与方法。

只要根据通项的特点，适当的运用求和方法，从而提高解题速度。

2.学情分析
教学对象是高三理科平行班的学生，基础知识储备比较丰富，但系统性、条理性不足，知识还没有有效地转化为能力。

高三学生一轮复习的目的是为了完善他们自身的知识体系，以点带面，促进学生构建知识网络，根据已知通项关系，准确、熟练地运用有关知识及方法对数列进行求和。

三、教学目标
（一）知识与技能目标
（1）能够利用“错位相减法”、“分组求和法”、“公式法”等通项化归求和的常用方法。

（2）通过研究数列前n项和问题使学生更好地掌握通过数列的特征来研究数列求和的方法。

（3）开拓思想、探索捷径，掌握解题规律，培养灵活处理问题的能力，培养学生自主学习能力。

（二）过程与方法目标
本节课采用学案导学的教学模式，采用学生为主体，教师为主导的方法，将复习、听课、巩固三者有机的结合起来，从而调动学生学习数学的积极性。

（三）情感与价值目标
培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好习惯；由适合的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习兴趣，培养学生可持续发展的能力。

1.教学重点：数列求和的常用方法
2.教学难点：各种求和方法的灵活运用
3.教法学法
教学方法：问题探究、小组讨论
学习方法：自助探究、合作交流、归纳总结
教学手段：多媒体辅助教学
四、教学过程
(一)知识点梳理
1．公式法
(1)直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
(2)常见得数列前n项和：
①1+2+3+…+n=__________
②2+4+6+…+2 n=________
③1+3+5+…+(2n-1)=_________
④12+22+…+n2=___________
⑤13+23+…+n3=_________
2．倒序相加法
如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
5．分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则可用分组求和法求和．
6．并项求和法
通项中含符号（-1）n ，按n 为奇数、偶数分类讨论后，再并项求和
（二）例题分析
考点一：公式法求和
（1）等差数列求和公式11()(1)22
n n n a a n n d
S na +-==+
（2）等比数列求和公式111
,1(1),111n n
n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩
例1．（2015新课标全国卷2文科T5）
1．等差数列}{n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则}{n a 的前n 项和=n S （ ）
A ．)1(+n n
B ．)1(-n n
C ．
2
)1(+n n D ．
2
)
1(-n n 2．（2015大纲全国卷文科T8）
设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ．若32=S ，154=S ，则=6S （ ） A ．31 B ．32
C ．63
D ．64
解：方法一 由31)1(212=--=q q a S ，151)1(414=--=q q a S
可解出1a ，q ，再求6S ．
方法二 由等比数列的性质，2S ，24S S -，46S S -成等比数列，直接可求出6S ．
显然，方法二比方法一运算量小，方法一要讨论q 的取值，方法二避免讨论
q 的取值.
设计意图：这类题目主要是培养学生对一些常见数列和公式应用的能力，尤
其是等差、等比数列前n 项和公式的应用能力，以及熟练运用数列基本量之间的关系，结合数列性质迅速、准确解决问题的能力。

考点二、倒序相加法求和 （推导等差数列前n 项和的方法） 例
2
．设
2
2
1)(x x x f +=
，
求：
)2
01
4
()2()1()2
013
1
(
)2
0141(
f f f f f ++++=______ 1)1
()(1)(2
2=+∴+=x f x f x x x f
)2014()2()1()20131
()20141(
f f f f f S ++++=令
)
20141
()21()1()2013()2014(f f f f f S ++++=则 以上两式相加得24027
402712=⨯=S S ，所以
设计意图：本题重在提高学生运用倒序相加求和的能力，培养学生运用函数思想结合探究解决问题的能力。

考点三、分组转化求和法
例3．（2016年北京卷文科T15（13分））
{}{}{}{}2311144.3,9,,12,n n n n n n n a b b b a b a b a c a b c n =====+已知是等差数列，是等比数列，且（）求的通项公式
（）设求数列的前项和
设计意图:有一类数列即非等差，又非等比，求和时需要先将原数列进行拆分，重新组合，构造成若干个可加求和的数列，然后分别求和，再将其合并。

本例主要培养学生对这类问题进行合理拆分，并重新组合，从而转化为可以求和的数列问题的能力。

归纳总结：分组转化法求和的常见类型
(1)若n n n c b a ±=且{}{}n n c b ,为等差或等比数列，
可采用分组求和法求{}n a 的
前n 项和；
(2)通项公式为⎩⎨⎧=为偶数为奇数
n c n b a n
n n ,,的数列，其中数列{}{}n n c b ,是等比数列或等
差数列，可采用分组求和法求和．
考点四、错位相减法求和
例4．（2016年山东卷理科T18(12分)）
{}{}{}{}211
38,.(1).
(1)2,(2)n n n n n n n n n n n n
n
n a n S n n b a b b b a c c n T b ++=+=++=+已知数列的前项和是等差数列，且求数列的通项公式（）令求数列的前项和
设计意图：本题重在培养学生运用错位相减方法求和的能力。

培养学生运用转化的思想、方程的思想以及复杂问题运算的能力。

考点五、裂项相消法求和
例5．（2016年天津卷理科T18（13分）
{}{}122122
1211..1,,.112,(1),,2n n n n n n n n n
n
k n k
k k k
a d n N
b a a
c b b n N c a
d T b n N T d *+*+*
==∈=-∈==-∈<∑∑
已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的等比中项（）设求证：数列是等差数列（）设求证：
设计意图：重在培养学生运用裂项求和方法求和的能力。

培养学生观察、分析、探究解决问题的能力。

归纳总结：裂项时常用的几种变形：
①111(1)1n n n n =-++；②
1111
()(21)(21)22121
n n n n =--+-+；
=.④11
tan tan )1tan(tan )1tan(--+=∙+k k k k
注意：用裂项相消法求和时应注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏掉了未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.体现了数学的对
称美。

考点六、数列求和与其它知识的综合
新定义题型是高考试题永不过时的创新策略，也是传承高考试题革新的重要途径和手段，在近几年高考中不少省市就出现了以方程、函数、数列、不等式为背景的新定义题型。

这类题以新课标教材内容为背景，给出某种新概念、新公式或新符号等，要求学生在理解相关新概念、新公式或新符号之后，运用所学知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等寻求问题解决。

例6．（2016年全国卷2理科T17（12分））
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ，记][lg n n a b = 其中][x 表示不超过x 的最大整数，如1]99[lg ,0]9.0[== （1）求101111,,b b b ；
（2）求数列{}n b 前1000项和
{}n a d d d a n n ===+所以得由的公差为）设解：（1,28217,1
{}189313900290110001000
,31000100,210010,1,
101,0)2(=⨯+⨯+⨯∴⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=<≤<≤<≤=项和为的前n n b n n n n b
设计意图：通过数列中的计算以及对数的计算提高学生的运算能力，通过对数列{}n b 前1000项的值的确定考查分类讨论思想
例7．（2016年四川卷理T19(12分)）
已知数列{}n a 的首项为1，n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，11+=+n n qS S ，其中*∈>N n q ,0
（1）若2,,2232+a a a 成等差数列，求数列{}n a 的通项公式
（2）设双曲线122
2
=-n
a y x 的离心率为n e ，且352=e ，证明：
1213
34-->++n n
n n e e e
设计意图：双曲线离心率的求法，以及放缩法，此类题以数列为背景，培养学生的阅读理解能力、迁移能力。

解题关键是利用双曲线离心率定义求解，再利用等差数列求和，最后结合放缩法解决问题。

例8．（2016年江苏卷理科T20（16分））
记{}1002,1，， =U ，对数列{})(*∈N n a n ，和U 的子集T ，若∅=T ，定义
,0=T S 若{}k t t t T
,,,21 =，定义k
t t t T a a a S ++=2
1
，例如：{}663,1，=T 时，
6631a a a S T ++=.现设{})(*∈N n a n ，是公比为3的等比数列，且当{}4,2=T 时，
30=T S .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意正整数)1001(≤≤k k ，若{}k T ,,2,1 ⊆， 求证：1+<k T a S
（3）设 D C S S U D U C ≥⊆⊆,,, 求证：D D C C S S S 2≥+
设计意图：此类题以数列为背景，数列通过新定义培养学生的阅读理解能力、迁移能力、创新能力和探究能力。

解题的关键是读懂题意，后再去利用定义求解。

例9．(2015年湖南文科T3（5分）)
执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出S=（ ）
A ．76
B ．73
C ．9
8
D ．
9
4 解：7
371-5151-3131-121751531311=++=⨯+⨯+⨯=
）（S 答案：B
设计意图：本题是数列求和与算法的综合运用。

主要是培养学生观察、分析、推理运算的能力。

例10．（2015年广东卷理T21（14分）） 数列{}n a 满足)(,2
2
4321
321*-∈+-=+++N n n na a a a n n （1）求3a 的值；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n T （3）令11111
1
,(1),(2)23
n n n T b a b a n n n
-==
+++++≥，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<
设计意图：数列前n 项和的求法与不等证明综合运用此类题以数列为背景，通过新定义培养学生的阅读理解能力、迁移能力、创新能力和探究能力。

解题的关键是读懂题意，后再去利用定义求解。

通过此类问题的复习，让学生体会到：学数学，解决数学问题，理解概念是基础，抓住实质是关键。

3.总结归纳，提炼反思
课堂小结：通过本节课，大家有什么收获？
学生活动：让学生自己谈这节课的体会，相互交流，教师适当点评总结。

设计意图：通过学生自己对所学知识进行归纳，总结，加深对本专题知识的理解和思想方法的掌握程度，把零碎的认知过程和知识点形成了一个完整的知识体系，为以后的学习打下基础。

4.课后检测，巩固提升 1.（浙江十校2015年联考）
{}.5,22,,103111成等比数列且中，已知的等差数列在公差为a a a a a d n +=
(1)求d ,a n
(2) n a a a a d ++++< 321,0求若
2. 020*********sin 88sin 3sin 2sin 1sin ++++
3．.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.
(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .
4.已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为
n
2n ＋1
. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和 T n
5.(2015·全国卷Ⅰ) n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知0>n a ，2
243n n n a a S +=+．
（1）求{}n a 的通项公式；(2)设1
1
n n n b a a +=
,求数列{}n b 的前n 项和．
6.（2014年山东卷理科T19（12分））
已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且421,S S S ，成等比数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令1
1
4)1(+--=n n n n a a n
b ，求数列{}n b 前n 项和为n T ．
7.（2011年安徽理科T18（13分））
在1和100之间插入n 个实数，使得这2+n 个数构成递增的等比数列，将这
2+n 个数的积记作n T ，再令1,lg ≥=n T a n n .
（1）求数列{}n a 的通项；
（2）设1tan tan +∙=n n n a a b ，求数列{}n b 前n 项和为n S 8.(2014四川卷 理科T19(12分))
设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f(x)＝2x 的图像上(n ∈N *)． （1）若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ； （2）若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，
求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n
b n 的前n 项和T n .
设计意图：课后作业是课堂教学的重要组成部分，也是课堂教学的延伸。

数列求和在高考里频繁出现，设计几个高考题目，通过学生课后作业反馈教学效果，为下一步的教学做好准备。

（三）教学反思
熟练掌握等差、等比数列的有关概念、公式与性质，这是解决数列求和问题的基础。

对于常见的数列求和的类型题要善于分类归纳整理，掌握各种类型的通解通法。

总之，在高三复习时，我们以核心素养关为指导，以提升学生“四基”为基础设计教学，要更多地把关注点放在知识的回顾、巩固、再学习和再认识 上，放在学习策略、思维方法和探索途径上。

让学生走出题海战术，更多地倡导启发式、讨论式、探究式、勇于创新的良好环境，让学生学会发现问题、解决问题的能力，从而提高高三复习效率，提升学生数学素养。

以上是个人一点不成熟的想法，不足之处还请 各位专家、同仁指正！。