对太阳电池I_V曲线进行拟合的数论方法_徐林

x ki= (2qk i- 1) 2n
此处我们修改通常的同余乘法使 qki满足 1Φ qkiΦ n, 则集合 Pn = {xk = (xk1, ……, xks ) k = 1, ……, n}称为生成矢量 (n, h1, ……, h s) 的格子点集, 如果 Pn 在所有可能的生成矢量中具有
最小偏差, 则 Pn
Η(k t
t)
,
否则令
d
t+
1=
dt
2,
Η0 t+
1=
Η(k t
t)
,
且使
D t+ 1= 〔Η0t+ 1-
d
t+
1,
Η0 t+
1+
d t+ 1〕∩D 0
t= t+ 1, 返回 2)
1) —3) 步骤中: t= 0, 1, ……, 表示寻优步数
k = 1, 2, ……, n 表示 n 个散布点中第 k 个点
n
为自然数, 表示散布点数
d t (. )
表示向量 d t 的某一个元素
∩
表示集合相交
<
表示集合属于另一个集合
下面就 2) 中的“均匀散布”作说明: 对于在一个闭域D t 上均匀布点的方法, 我们借鉴数论 中 g lp 集合布点的方法, 该方法首先在 CS 维单位“立方体”上均匀散布代表点集N , 然后把点 集映射到闭域D t 上, 从而获得D t 上均匀分布的点集 R, CS 维单位“立方体”上均匀布点构成点 集N 的方法:
2 期 徐 林等: 对太阳电池 I - V 曲线进行拟合的数论方法
163
C5
上是均匀散布的,
然后仿上方法把
Pn
映射到闭域 D
t
上获得计算用的点集{Ηt(k)
}N k=
1。
以上符号中的黑体符号表示集合或向量, 斜体符号表示标量。其中, n 为格子点集中点数,
s 为布点空间的维数, h i, i, kj 都是自然数, [a, b ]定义同前。
2 应用实例比较
我们在研制 JD 01 单体太阳电池测试仪和 JD 02 太阳电池组件测试仪时, 采用上述方法对 大量的实例 I - V 数据进行曲线拟合, 成功地实现了 I - V 数据点的曲线拟合。 本文方法的拟 合结果同文献〔4〕进行比较, 其数据列于表 1。
表 1 太阳电池 I - V 曲线拟合比较
太 阳 能 学 报 第
21 卷 第 2 2000 年 4 月
期
A
CTA
EN ER G IA E
SOLA R IS S IN ICA
V o l 1 21, N o12
A p r, 2000
对太阳电池 I - V 曲线进行拟合的数论方法①
徐 林 崔容强 庞乾骏 丁正明 孙铁囤 黄 燕 陈 东 徐秀琴 王永东
2) 在 D t 上均匀散布N
个点{
Η(k t
)
}N k=
1,
找
k
t
使得:
5
(
Η(k t
t)
)
=
m
in
S
[5
(
Η(k t
)
)
]
(4)
1Φ kΦN
3) 令 Ε为预先给定的适当小的正数, 作为拟合精度, 我们取 Ε=
10-
5,
若m
a
x〔Ηdt (ktt().
) (.
)
〕<
Ε,
则取 Η的最小二乘估计的近似值为 Η3 =
联电阻, I 为太阳电池的输出电流,V 为太阳电池的输出电压。
式 (1) 不能写成 I = f (V ) 形式, 只能写成 I = f (V , I ) 的形式, 因为这是一个超越函数式。
在这里, 我们需要估计的参数是 IL , I 0, A , R s, R sh, 可用一个向量 Η( IL , I 0, A , lgR s, lgR sh ) 来
- 2;
e) R sh是并联电阻, 比较大, 一般在 10- 1—1058 之间, 初始值可取为 R sh = 1028 , 即 lgR sh = 2。
d 0 确定: d 0 ( IL ) = I sc×1% , d 0 ( I 0) = I sc×10% , d 0 (A ) = 015, d 0 ( lgR s) = 3, d 0 ( lgR sh) = 3。
要想获得
Η3
,
经典非线性回归算法要求计算55 向量和黑尔矩阵 5Η
H=
[
55 5Ηi5Ηj
]
ij,
但因为式
(1) 模型是超越方程, 无法根据式 (2) 直接求555Η向量, 因此, 我们尝试采用数论方法给出 Η3 的一
个最小二乘估计的序贯算法。
1 算 法
在介绍算法之前, 先说明以下使用的记号:
p
[a, b ]= X [ ai, b i ] 表示 p 维空间 R p 中的矩形 i= 1
称为 g lp
集合, 由式 (6) 定义的 x ki可以由公式 x ki=
{
2k
h i2n
1}来计算。这样获得
的 Pn 在 CS 维单位“立方体”上是均匀散布的, 把 CS 映射到 D 上的方法:
命 D < [a, b ], 假设{x k= (x ki, ……, x ks) T , k = 1, ……, n}在 C s 上均匀散布, 定义 ckj= a j+ (bj2a j) x kj, i= 1, ……, s k = 1, ……, n
实 验 数 据
双指数解析模型拟合
本文方法拟合
V (mV )
I (mA )
I 1 (mA )
(I1- I) I (◊ )
I 2 (mA )
(I2- I) I (◊ )
0
2400
240010
0100
240010
0100
36
2395
239017
- 0118
239311
- 0107
722384238来自13- 0111218117
- 0115
218219
- 0109
504
2060
205916
- 0102
206011
0101
540
1744
174418
0105
174417
0105
576
998
99810
0100
99713
- 0102
604
0
010
0100
0
0100
从表 1 数据可见, 本方法的拟合偏差大都明显小于解析双指数模型拟合偏差, 而且此方法 还能给出准确的太阳电池参数: 串联电阻 R s、并联电阻 R sh、光生电流 IL、反向饱和漏电流 I 0。 这是其它数值算法所没有的。
238210
- 0108
108
2376
237118
- 0118
237710
0104
144
2367
236212
- 0120
236210
- 0121
180
2354
235213
- 0107
235215
- 0107
216
2342
234210
0100
234310
0104
252
2329
233110
0109
233010
I
0exp
(q
(V A
+ K
IR T
)
-
1) -
V + IR s R sh
(1)
式中, IL 为光生电流, I 0 为反向饱和电流 (暗电流) , q 为单位电荷, A 为二极管曲线因子, K 为
普朗克常量, T 为太阳电池 p n 结的绝对温度, R s 为太阳电池的串联电阻, R sh 为太阳电池的并
值在110之间但性能较好的太阳电池a之间我们取a是串联电阻比较小一般在10108之间初始值可取为rsh是并联电阻比较大一般在10之间初始值可取为rsh10lgrshlgrsh在dt上均匀散布n令为预先给定的适当小的正数作为拟合精度我们取10表示n个散布点中第k为自然数表示散布点数表示集合属于另一个集合下面就2中的均匀散布作说明
0103
288
2318
231911
0104
231910
0104
324
2305
230514
0102
230515
0102
360
2289
228910
0100
228915
0102
396
2273
226717
- 0123
227119
- 0108
432
2236
223616
0103
223619
0104
468
2185
初始值;
162
太 阳 能 学 报
21 卷
b) I 0 是二极管饱和电流, 据我们测试经验可以取 I sc的 10% 作为初始值; c)A 值在 1—10 之间, 但性能较好的太阳电池A 值在 1—2 之间, 我们取A = 115; d) R s 是串联电阻, 比较小, 一般在 10- 5—108 之间, 初始值可取为 R s= 10- 2 8 , 即 lgR s=
则{ck= (ck1, ……, cks) , k = 1, ……, n}在[a, b ]上均匀散布。 我们要散布点的空间是 5 维的, 即 s= 5, 根据数论中关于 g lp 集合的布点表格可知, 需选 择 n= 1069, h1= 1, h2= 63, h 3= 762, h4= 970, h5= 177[2 ]。 这样获得的格子点集 P n 才能保证在
滑的 I - V 曲线, 准确计算太阳电池的特性参数 (诸如串联电阻、并联电阻、光生电流 IL、曲线 因子A ) , 就需要对该数据进行非线性回归模型参数估计。 为此, 我们先确立所要回归的模型,
即采用太阳电池全电路欧姆定律等效电路模型, 见
图 1, 然后确定回归的方法。该模型是超越指数函数
模型, 又是非线性模型。 对非线性回归模型参数估
计, N a sh 和W a lker2Sm ith 介绍了各种算法, 并提出
相 应 的 B a sic 程 序, 这 些 算 法 包 括 直 接 搜 索 法、
Hooke2J eeve 法、N elder2M ead 法, 梯度法、截尾牛顿
法、变尺度法等。 目前, 国内外教科书普遍采用的方
法 是 Gua ss N ew ton 法 ( 又 称 N ew ton2R ap h son
m ax [a ]= m ax ai 1Φ iΦ p
表示最大值
Η(k ) t
表示第 t 步中均匀散布点构成的集合中第 k 个点 ( t= 0, 1, ……, k
= 1, ……, N )
Η0t 表示第 t 步中构成矩形D t 的中心点
算法步骤:
1) 找 Η的初始估计 Η00, 确定初始矩形的半边长 d 0, 并以 Η00 为中心, 以 d 0 为半径作初始矩
3 结 论
(1) 采用本文介绍的方法, 可以准确拟合 I - V 曲线, 拟合的最大相对偏差可控制在 011◊ 以内。
(上海交通大学应用物理系太阳能研究所, 上海 200240)
文 摘: 以太阳电池等效电路为数学模型, 提出一种采用数论方法拟合 I - V 曲线的新方法。 该方法 的基本过程是: 先在 C s 上建立 glp 集合的数论网格, 然后确定拟合参数 Η的初始范围[a, b ], 再把该 数论网格映射到[a, b ]上, 从而获得[a, b ]内实数意义上的均匀分布的参数可取值 Ηi, 接下来利用目标 函数选取最优的参数可取值 Ηt, 其寻优过程可反复进行, 直到满足给出的拟合精度, 以这些满足拟合 精度的参数作为最后的拟合参数。 该方法对拟合模型没有任何限制, 拟合精度可在要求精度范围内 任意控制, 具有很广的应用领域和实用价值。
首 先命 (n, h1, …, h s) 为一个整矢量, 并满足 1Φ h i, < n, h i≠h j ( i≠j ) , s< n 及最大公约数 (n, h i) = 1, i= 1, ……, s, 命:
qki= kh i (m odn) k = 1, ……, n, i= 1, ……s,
(6)
表示, 我们采用的目标函数
n
n
∑ ∑ 5 (Η) =
[ I ’i- I i ]2=
[ I ’i- f (V i, I i) ]2
(2)
i= 1
i= 1
其中, I ’i 为第 i 次测量电流值, V i 为第 i 次测量电压值, I i 为由 V i 据式 (1) 所确定的模型计算
出来的值。
我们的最终目的是找到一个 Η3 , 使 5 (Η3 ) 在 Η可取值的范围内最小。通过这种参数估计后, IL、 I 0、A 、R s、R sh 都计算出来了, 这对正确描述所测太阳电池的基本特性, 从而对指导太阳电池科 研和生产是至关重要的。
图 1 太阳电池的等效电路
法)。 以上这些算法针对非线性回归模型提出, 但不
适合用于超越非线性回归模型。
根据太阳电池的等效电路可写出 I - V 之间的关系式:
① 本文 1999204215 收到
2 期 徐 林等: 对太阳电池 I - V 曲线进行拟合的数论方法
161
I = I l-
关键词: 太阳电池, I - V 曲线, 拟合, 数论方法
0 引 言
我们在单体太阳电池测试仪和太阳电池组件测试仪的研制过程中, 遇到如何根据实测的
I - V 数据绘制 I - V 曲线, 计算太阳电池性能参数的问题。因为计算机采样得到的 I - V 数据
是客观的, 但不可避免地存在误差。要想根据这些有误差的 I - V 数据点绘制真实可靠并且平
形
D 0= [ Η00- d 0, Η00+ d 0 ] Η00 的确定可以根据当前测试的电池特性和经验, 下面分别说明:
a) IL 是光生电流, 当太阳电池短路时据式 (1) 有
I sc= IL -
exp
(q I scR s) A KT
-
I scR s R sh
(3)
若忽略串并联电阻, 则 I sc= IL , 这就是说 IL 与 I sc很接近, 我们可以取实测的短路电流作为 IL