2022-2023学年浙教版九年级数学下册《1-3解直角三角形》自主达标测试题(附答案)

2022-2023学年浙教版九年级数学下册《1.3解直角三角形》自主达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，若BD＝2，sin C＝，则线
段AB的长为（）
A．10B．4C．4D．2
2．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值为（）
A．B．C．2D．2
3．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B 在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（）
（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
A．28m B．34m C．37m D．46m
4．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（）
A．B．C．D．
5．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16m，则这棵树CD的高度是（）
A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m 6．在北京举行的2022年冬季奥运会，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某滑雪场雪道缆车线路示意图，滑雪者从点A出发，途经点B时高度上升了100m，最后到达终点C．已知BC＝300m，且BC段的运行路线与水平面的夹角为37°，他从点A运行到点C 垂直上升的高度约是（）（结果保留整数．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°＝0.80，tan n37°≈0.75）
A．280m B．300m C．325m D．340m
7．如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（）
A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC
8．如图，某学校准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由40°改为35°，已知原来楼梯AB长4m，调整后的楼梯多占用了一段地面，这段BD地面的长为（）m（参考数据：
sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，sin35°≈0.574，tan35°≈0.700，精确到0.01m）
A．0.48B．0.61C．1.10D．1.42
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tan∠ABM＝．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若CD＝5，BC＝6，则cos∠ACD的值是．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，tan∠CEF＝，则AC的长为．
12．如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个大小相同的小正方形，小正方形的顶点
E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则∠BFG的正切值是．
13．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD 为矩形，DE＝10m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度是米．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.123）
14．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，tanα＝2，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中MC＝100米，则河流的宽度CD为．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）
16．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）
17．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈
2.24）
18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．
19．交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD＝EF＝7m，测速仪C和E 之间的距离CE＝750m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．
（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）
20．如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m的A 处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得∠EBC＝48°，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵∠CAB＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∴sin∠BAD＝＝sin C＝，
∴AB＝BD＝×2＝2，
故选：D．
2．解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，AD＝＝2，BD＝＝，
∴tan A＝＝＝，
故选：A．
3．解：由题意可知：AB⊥BC，
在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，
∵tan∠ADB＝tan58°＝，
∴BD＝≈（m），
在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，
∵CD＝70m，
∴BC＝CD+BD＝（70+）m，
∴AB＝BC×tan C≈（70+）×0.40（m），
解得：AB≈37m，
答：该建筑物AB的高度约为37m．
故选：C．
4．解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵点A，B，C都在格点上，
∴∠ADC＝∠ABC，
在Rt△ABC中，
cos∠ABC＝＝＝＝cos∠ADC，
故选：B．
5．解：设AD＝x米，
∵AB＝16米，
∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米，
在Rt△ADC中，∠A＝45°，
∴CD＝AD•tan45°＝x（米），
在Rt△CDB中，∠B＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
∴x＝24﹣8，
经检验：x＝24﹣8是原方程的根，
∴CD＝24﹣8＝8（3﹣））米，
∴这棵树CD的高度是8（3﹣）米，
故选：A．
6．解：由题意得：四边形BDFE为矩形，
∴EF＝BD＝100m，
在Rt△CBE中，sin∠CBE＝，
则CE＝BC•sin∠CBE＝300•sin37°≈300×0.60＝180（m），∴CF＝180+100＝280（m），
∴他从点A运行到点C垂直上升的高度约为280m，
故选：A．
7．解：从热气球A看一栋楼底部C的俯角是∠DAC．
故选：D．
8．解：在Rt△ABC中，AB＝4m，∠ABC＝40°，
sin40°＝≈0.643，
cos40°＝≈0.766，
解得AC＝2.572，BC＝3.064，
在Rt△ACD中，∠D＝35°，
tan35°＝≈0.700，
解得CD≈3.674，
∴BD＝CD﹣BC＝0.61（m）．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．解：如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，∵∠ABM+∠MBT＝90°，
∠OTB+∠MBT＝90°，
∴∠ABM＝∠OTB，则△BAM∽△TOB，
∴＝，即＝，即MB2＝2AM•BT①
令DN＝1，CT＝MD＝K，则：AM＝2﹣K，BM＝，BT＝2+K，
代入①中得：4+（2﹣K）2＝2（2﹣K）（2+K），
解方程得：K1＝0（舍去），K2＝．
∴AM＝2﹣＝．
tan∠ABM＝＝＝．
故答案是：．
10．解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，CD＝5，∴CD＝AD＝AB，
∴AB＝10，
∴AC＝＝＝8，
∴cos A＝＝＝，
∵CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∴cos∠ACD＝，
故答案为：．
11．解：连接BF，交CE于点D，
∵∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，
∴CE＝AE＝AB，
∴∠ECA＝∠A，
∵EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴BF＝AF，
∴∠A＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠ACE，
∵∠CDF＝∠BDE，
∴△CDF∽△BDE，
∴∠CFD＝∠BED，
∵∠CFD+∠CBF＝90°，∠BED+∠CEF＝90°，∴∠CBF＝∠CEF，
∵tan∠CEF＝，
∴tan∠CBF＝，
∴CF＝BC•tan∠CBF＝4×＝3，
∴BF＝＝＝5，
∴AF＝BF＝5，
∴AC＝CF+AF＝3+5＝8，
故答案为：8．
12．解：∵正方形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AEG＝∠CGE，
∴∠DEH＝∠BGF，
∵6个小正方形大小相同，
∴EH＝GF，
在△DEH和△BGF中，
，
∴△DEH≌△BGF（AAS），
∴DE＝BG，
过点G作GK⊥AD于K，则四边形ABGK是矩形，所以，AK＝BG，KG＝AB＝10，
∵∠DEH+∠KEG＝90°，∠KEG+∠KGE＝90°，∴∠DEH＝∠KGE，
又∵∠D＝∠EKG＝90°，
∴△DEH∽△KGE，
∴＝＝，
∴DE＝KG＝×10＝2，
∴EK＝AD﹣DE﹣AK＝10﹣2﹣2＝6，
∵∠KEG+∠KGE＝90°，∠KGE+∠KGF＝90°，
∴∠KEG＝∠KGF，
∵∠BFG＝∠KGF，
∴∠BFG＝∠KEG，
∴∠BFG的正切值＝tan∠KEG＝＝＝，
故答案为：．
13．解：∵DE的坡度为i1＝1：，
∴tan∠DEC＝＝，
∴∠DEC＝30°，
∴DC＝DE＝5（m），
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝5m，
∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，AB＝5m，
∴BF＝4AB＝20（m），
在Rt△ABF中，AF＝＝≈20.62（m），
∴斜坡AF的长度约为20.62米，
故答案为：20.62．
14．解：作BE⊥MD于点E，如图所示，则四边形ABEM是矩形，
∴ME＝AB，AM＝BE
由已知可得：∠BAC＝α，tanα＝2，AB＝80米，∠BDE＝30°，MC＝100米，AM⊥MD，AB∥MD，
∴ME＝AB＝80米，∠ACM＝∠BAC＝α，
∵tanα＝2，
∴＝2，
∴AM＝200米，
∴BE＝200米，
∵tan∠BDE＝，
∴tan30°＝＝，
解得DE＝200米，
∴CD＝MD﹣MC＝ME+DE﹣MC＝80+200﹣100＝（200﹣20）（米），故答案为：（200﹣20）米．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DE＝AF，DF＝AE，
在Rt△DEC中，tanθ＝＝，
设DE＝3x米，则CE＝4x米，
∵DE2+CE2＝DC2，
∴（3x）2+（4x）2＝400，
∴x＝4或x＝﹣4（舍去），
∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，
设BF＝y米，
∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，
在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，
∴DF＝＝＝y（米），
∴AE＝DF＝y米，
∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
解得：y＝6+8，
经检验：y＝6+8是原方程的根，
∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），
∴建筑物的高度AB约为31.9米．
16．解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，
∴（米），
答：点D与点A的距离为300米．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB是东西走向，
∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，
在Rt△ADE中，
∴（米），
在Rt△BDE中，
∴（米），
∴（米），
答：隧道AB的长为米．
17．
解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，
在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，
∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，
∴＝0.60，＝0.80，
∴AE＝3m，BE＝4m，
∴CE＝6m，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∴FD＝AO＝1m，
∴CF＝5m，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．
∴OD＝2≈4.5m．
18．解：（1）分别以A、C为圆心，大于AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q 两点，画直线PQ交劣弧于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理可知，直线PQ一定过点O；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6．
∴AB＝＝10，
∵OD⊥AC，
∴AE＝CE＝AC＝4，
又∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝3，
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
即点O到AC的距离为3，
连接OC，在Rt△CDE中，
∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，
∴CD＝＝＝2
∴sin∠ACD＝＝＝．
19．解：（1）由题意得：
∠CAD＝25°，∠EBF＝60°，CE＝DF＝750米，在Rt△ACD中，CD＝7米，
∴AD＝≈＝14（米），
在Rt△BEF中，EF＝7米，
∴BF＝＝≈4.1（米），
∴AB＝AD+DF﹣BF＝14+750﹣4.1≈760（米），
∴A，B两点之间的距离约为760米；
（2）小汽车从点A行驶到点B没有超速，
理由：由题意得：
760÷38＝20米/秒，
∵20米/秒＜22米/秒，
∴小汽车从点A行驶到点B没有超速．
20．解：在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，AC＝30米，∴CD＝AC•tan30°＝30×＝10（米），
∵AB＝10米，
∴BC＝AC﹣AB＝20（米），
在Rt△BCE中，∠EBC＝48°，
∴EC＝BC•tan48°≈20×1.111＝22.22（米），
∴DE＝EC﹣DC＝22.22﹣10≈4.9（米），
∴广告牌ED的高度约为4.9米．。