(完整版)向量公式大全

向量公式
设a=（ x， y），b=(x' ， y') 。

1、向量的加法
向量的加法知足平行四边形法例和三角形法例。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a 。

向量加法的运算律：
互换律： a+b=b+a；
联合律： (a+b)+c=a+(b+c) 。

2、向量的减法
假如 a、 b 是互为相反的向量，那么 a=-b ，b=-a ，a+b=0. 0 的反向量为 0
AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量 a 的乘积是一个向量，记作λa，且∣λ a∣ =∣λ∣ ?∣ a∣。

当λ＞ 0 时，λ a 与 a 同方向；
当λ＜ 0 时，λ a 与 a 反方向；
当λ =0 时，λ a=0，方向随意。

当a=0 时，对于随意实数λ，都有λ a=0。

注：按定义知，假如λ a=0，那么λ =0 或 a=0。

实数λ叫做向量 a 的系数，乘数向量λ a 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞ 1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（λ＞ 0）或反方向（λ＜ 0）上伸长为本来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜ 1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（λ＞ 0）或反方向（λ＜ 0）上缩短为本来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法知足下边的运算律
联合律： ( λa) ?b=λ(a ?b)=(a ?λ b) 。

向量对于数的分派律（第一分派律）：( λ+μ)a= λ a+μa.
数对于向量的分派律（第二分派律）：λ (a+b)= λa+λ b.
数乘向量的消去律：① 假如实数λ≠ 0 且λ a=λ b，那么 a=b。

②假如 a≠0
且λ a=μ a，那么λ =μ。

3、向量的的数目积
定义：已知两个非零向量a,b 。

作 OA=a,OB=b,则角 AOB称作向量 a 和向量 b
的夹角，记作〈 a,b 〉并规定 0≤〈 a,b 〉≤π
定义：两个向量的数目积（内积、点积）是一个数目，记作a?b。

若 a、b不共线，则 a?b=|a| ?|b| ?cos 〈a，b〉；若 a、b 共线，则 a?b=+- ∣ a∣∣ b∣。

向量的数目积的坐标表示：a?b=x?x'+y ?y' 。

向量的数目积的运算律
a ?b=b?a（互换律）；
( λ a) ?b=λ(a ?b)( 对于数乘法的联合律 ) ；
（a+b) ?c=a?c+b?c（分派律）；
向量的数目积的性质
a ?a=|a| 的平方。

a⊥ b 〈=〉a?b=0。

|a ?b| ≤|a| ?|b| 。

向量的数目积与实数运算的主要不一样样样点
1、向量的数目积不知足联合律，即： (a ?b) ?c≠ a?(b ?c) ；比方： (a ?b)^2 ≠a^2?b^2。

2 、向量的数目积不知足消去律，即：由 a ?b=a?c (a ≠0) ，推不出 b=c 。

3、 |a ?b| ≠|a| ?|b|
4、由 |a|=|b|，推不出a=b或a=-b。

4、向量的向量积
定义：两个向量 a 和 b 的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作 a×b。

若a、b 不共线，则 a× b 的模是：∣a×b∣=|a| ?|b| ?sin 〈a，b〉；a×b 的方向是：垂直于 a 和 b，且 a、b 和 a× b 按这个序次组成右手系。

若 a、b 共线，则 a× b=0。

向量的向量积性质：
∣a×b∣是以 a 和 b 为边的平行四边形面积。

a × a=0。

a‖ b〈 =〉 a× b=0。

向量的向量积运算律
a × b=-b× a；
（λ a）× b=λ（ a×b）=a×（λ b）；
（a+b）× c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量 AB/向量 CD”是没存心义的。

向量的三角形不等式
1、∣∣ a∣- ∣b∣∣≤∣ a+b∣≤∣ a∣+∣b∣；
①当且仅当 a、b 反向时，左侧取等号；
②当且仅当 a、b 同向时，右侧取等号。

2、∣∣ a∣- ∣b∣∣≤∣ a-b ∣≤∣ a∣+∣b∣。

①当且仅当 a、b 同向时，左侧取等号；
②当且仅当 a、b 反向时，右侧取等号。

定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ?向量 PP2）
设P1、P2 是直线上的两点， P 是 l 上不一样样样于 P1、P2的随意一点。

则存在一个实数λ，使向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P 分有向线段P1P2所成的比。

若 P1（x1,y1) ，P2(x2,y2) ，P(x,y) ，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ) ；（定比分点向量公式）
x=(x1+ λx2)/(1+ λ),
y=(y1+ λy2)/(1+ λ) 。

（定比分点坐标公式）
我们把上边的式子叫做有向线段 P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若 OC=λ OA +μ OB , 且λ +μ =1 , 则 A、 B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ ABC中，若 GA +GB +GC=O,则 G为△ ABC的重心
[ 编写本段 ] 向量共线的重要条件
若 b≠0，则 a//b的重要条件是存在独一实数λ，使a=λ b。

a//b 的重要条件是 xy'-x'y=0。

零向量 0 平行于任何向量。

[ 编写本段 ] 向量垂直的充要条件
a⊥ b 的充要条件是 a ?b=0。

a ⊥
b 的充要条件是 xx'+yy'=0。

零向量 0 垂直于任何向量 .。