中考数学《二次函数的最值》专项练习题及答案

中考数学《二次函数的最值》专项练习题及答案
一、单选题
1．定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望
函数”，这对点称为“守望点”.例如：点P(2，4)在函数y =x 2上，点 Q(−2，−4)在函数y =−2x −8上，点P 与点Q 关于原点对称，此时函数y =x 2和y =−2x −8互为“守望函数”
，点P 与点Q 则为一对“守望点”.已知函数y =x 2+2x 和y =4x +n −2022互为“守望函数”，则n 的最大值为（ ） A ．2020
B ．2022
C ．2023
D ．4084
2．已知二次函数y=ax 2+2ax+3a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，且-2≤x ≤
1时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ） A ．1或
B ．- 或
C ．
D ．1
3．已知二次函数y =ax 2+bx −1（a ，b 是常数，a ≠0）的图象经过A(2，1)，B(4，3)，C(4，−
1)三个点中的其中两个点.平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y =x −1上，则平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的（ ） A ．最大值为-1
B ．最小值为-1
C ．最大值为−12
D ．最小值为−1
2
4．二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y
12
5
﹣3
﹣4
﹣3
5
12
1）二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值，最小值为﹣3；
2）当 −1
2
<x <2 时，y ＜0；
3）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧．则其中正确结论的个数是（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
5．已知二次函数 y =−(x −ℎ)2+4 （h 为常数），在自变量 x 的值满足 1≤x ≤4的情况下，与其
对应的函数值 y 的最大值为0，则 h 的值为（ ） A ．
和
B ． 和
C ．
和
D ． 和
6．经过点A （m ，n ），点B （m ﹣4，n ）的抛物线y ＝x 2+2cx+c 与x 轴有两个公共点，与y 轴的交点在
x 轴的上方，则当m ＞﹣12
时，n 的取值范围是（ ）
A ．14<n <4
B ．12<n <2
C ．18<n <8
D ．14
<n <2
7．二次函数y ＝x 2＋2x －5有
A ．最大值－5
B ．最小值－5
C ．最大值－6
D ．最小值－6
8．①4的算术平方根是±2；
②√2与-√8是同类二次根式；
③点P （2，3）关于原点对称的点的坐标是（-2，-3）； ④抛物线y=-12（x-3）2+1的顶点坐标是（3，1）．
其中正确的是( ) A ．①②④
B ．①③
C ．②④
D ．②③④
9．童装专卖店销售一种童装，已知这种童装每天所获得的利润y （元）与童装的销售单价x （元）之
间满足关系式y=－x 2+50x+500，则要想每天获得最大利润，单价需为（ ）． A ．25元
B ．20元
C ．30元
D ．40元
10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的y 与x 的部分对应值如表：
x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2 y
6
﹣6
﹣4
6
8，y 1），点（8，y 2）在二次函数图象上，则y 1＜y 2；④方程ax 2＋bx ＋c ＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是（ ） A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．②③④
11．已知抛物线y=-2（x-3）2
+5，则此抛物线（ ）
A ．开口向下，对称轴为直线x=-3
B ．顶点坐标为（-3，5）
C ．最小值为5
D ．当x ＞3时y 随x 的增大而减小
12．如果抛物线 y =x 2−6x +c −2 的顶点到 x 轴的距离是3，那么 c 的值等于（ ）
A ．8
B ．14
C ．8或14
D ．-8或-14
二、填空题
13．二次函数y=2x 2﹣1，∵a= ，∴函数有最 值．
14．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s （m ）与时间t （s ）的函数关系式为s=20t-5t 2，当遇到
紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 m 才能停下来．
15．已知二次函数y ＝ 1
2
x ²＋2若自变量x 的取值范围是－1≤x ≤2，则函数y 的取值范围
是 ．
16．函数y =x 2−2x(0≤x ≤3)有最大值，也有最小值，则最小值是 . 17．若二次函数y ＝－x 2－4x ＋k 的最大值是9，则k ＝ ．
18．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的范围
是．
三、综合题
19．某农作物的生长率p与温度t ( C∘ )有如下关系：如图，当10≤t≤25 时可近似用函数p=150t−15刻画；
当25≤t≤37 时可近似用函数p=−
1
160(t−
ℎ)2+0.4刻画．
（1）求ℎ的值．
（2）按照经验，该作物提前上市的天数m (天)与生长率p满足函数关系，部分数据如下：生长率p0.20.250.30.35
提前上市的天数m（天）051015
②请用含t的代数式表示m
③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在大棚恒温20℃时每天的成本为100元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天，问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由。

（注：农作物上市售出后大鹏暂停使用）
20．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和对称轴．
（2）P为y轴上的一点．若点P向左平移n个单位，将与抛物线上的点P1重合；若点P向右平移2n个单位，将与抛物线上的点P2重合．已知n＞0．
①求n 的值．
②若点C 在抛物线上，且在直线P 1P 2的上方（不与点P 1，P 2重合），求点C 纵坐标的取值范围．
21．已知，A 点的坐标为（4，3），过A 点分别作坐标轴的垂线，交x 轴和y 轴分别于B 点和C 点，P
为线段AB 上一个动点（P 不与A ，B 重合），过点P 的反比例函数y= k x
的图象与AC 交于点D ．
（1）当△PBC 的面积等于4时，求该反比例函数的解析式； （2）当k 为何值时，△PBD 的面积最大，最大面积是多少？
22．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x ≤90）天的售价与销量的相
关信息如下表：
时间x （天） 1≤x ＜50 50≤x ≤90 售价（元/件） x+40 90
每天销量（件）
200﹣2x
（1）求出y 与x 的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
23．已知二次函数y=2x 2﹣4x ﹣6．
（1）用配方法将y=2x 2﹣4x ﹣6化成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式；并写出对称轴和顶点坐标． （2）当0＜x ＜4时，求y 的取值范围；
（3）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．
24．在新冠肺炎抗疫期间，某药店决定销售一批口罩，经市场调研：某类型口罩进价每包为20元，
当售价为每包24元时，周销售量为160包，若售价每提高1元，周销售量就会减少10包。

设该类型售价为x 元(不低于进价)，周利润为y 元．请解答以下问题： （1）求y 与x 的函数关系式？(要求关系式化为一般式)
（2）该药店为了获得周利润750元，且让利给顾客，售价应为多少元？
（3）物价局要求利润不得高于45%，当售价定为多少时，该药店获得利润最大，最大利润是多少元？
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】A
10．【答案】B
11．【答案】D
12．【答案】C
13．【答案】2；小
14．【答案】20
15．【答案】2≤y≤4
16．【答案】-1
17．【答案】5
18．【答案】2或﹣√3
19．【答案】（1）解：把（25，0.3）的坐标代入p= −
1
160（t-h）
2+0.4得h=29或h=21 ∵h>25, ∴
h=29
（2）解：①由表格可知m是p的一次函数，m=100p-20
②当10≤t≤25时，p= 1
50t−1
5 ,∴m=100(
1
50t−
1
5 )-20=2t-40
当25≤t≤37时，p= −
1
160 (t-29)
2+0.4.
∴.m=10[ −
1
160 (t-29)
2+0.4]-20= −
5
8 (t-29)
2+20
③设利润为y元，则当20≤t≤25时，y=600m+[100×30-（30-m）×200]=800m-3000=1600t-35000.当20≤t≤25时，y随着t的增大而增大，当t=25时，最大值y=5000.
当25＜t≤37时，y=600m+[100×30-（30-m）×400]=1000m-9000=-625（t-29）2+11000.
∵a=-625＜0
∴当t=29时，最大值y=11000. ∵11000＞5000
∴当加温到29℃时，利润最大。

20．【答案】（1）解：把点A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝﹣x 2
+bx+c ，得：
{−1−b +c =0−9+3b +c =0，解得：{b =2c =3 ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3 ∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4 ∴抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）解：①∵点P 向左平移n 个单位，将与抛物线上的点P 1重合；若点P 向右平移2n 个单位，将与抛物线上的点P 2重合．
∴设点P （0，p ），则P 1（-n ，p ），P 2（2n ，p ） ∴p =−(−n)2−2n +3=−(2n)2+2×2n +3 解得：n 1=0，n 2=2 ∵n ＞0． ∴n=2； ②∵n=2
∴p =−(−n)2−2n +3=−(−2)2−2×2+3=−5 ∴P 1(−2，−5)，P 2(4，−5) ∴直线P 1P 2为y=-5
∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4 ∴当x=1时，y 有最大值4
∴点C 在抛物线上，且在直线P 1P 2的上方（不与点P 1，P 2重合），点C 纵坐标的取值范围为−5<x ≤4．
21．【答案】（1）解：∵A 点的坐标为（4，3）
∴P 点的横坐标为4 ∵△PBC 的面积等于4 ∴PB=2 ∴P （4，2） ∴k=2×4=8
∴反比例函数的解析式为：y= 8x
；
（2）解：设D （ k 3 ，3），P （4， k 4
）
∴S △PBD = 12 PB •AD= 12 × k 4 ×（4﹣ k 3 ）=﹣ k 2
24
+ k 2 =﹣ 124 （k ﹣6）2+ 32
∴当k=6时，△PBD 的面积最大，最大面积是 32
．
22．【答案】（1）解：当1≤x ＜50时，y=（200-2x ）（x+40-30）=-2x 2
+180x+2000
当50≤x ≤90时
y=（200-2x ）（90-30）=-120x+12000
综上所述：y=
{−2x 2+180x +2000(1≤x <50)
−120x +12000(50≤x ≤90)
（2）解：当1≤x ＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45 当x=45时，y 最大=-2×452+180×45+2000=6050 当50≤x ≤90时，y 随x 的增大而减小 当x=50时，y 最大=6000
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元
（3）解：当1≤x ＜50时，y=-2x 2+180x+2000≥4800，解得20≤x ≤50，因此利润不低于4800元的天数是20≤x ＜50，共30天；
当50≤x ≤90时，y=-120x+12000≥4800，解得x ≤60 因此利润不低于4800元的天数是50≤x ≤60，共11天
所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元；
23．【答案】（1）解：y=2x 2
﹣4x ﹣6=2（x 2
﹣2x+1﹣1）﹣6=2（x 2
﹣2x+1）﹣2﹣6=2（x ﹣1）2
﹣8
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，﹣8） （2）解：当x=1时，y 有最小值，最小值为﹣8 ∵0＜x ＜4
∴y 的最大值为10． ∴y 的取值范围是﹣8≤y ＜10 （3）解：当x=0时，y=﹣6
当y=0时，2x 2﹣4x ﹣6=0，解得：x=3或x=﹣1
∴函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积= 12
×4×6=12
24．【答案】（1）解： y=(x- 20)[160-10(x-24)]
=(x- 20)(400-10x) =-10x 2+ 600x-8000
（2）解：当y=-10x 2+ 600x- 8000=750时， 则x 2-60x+875= 0 解得： x 1=25， x 2 =35
∵为了让利给顾客
∴x1=35 (舍去)
答：售价应为25元。

（3）解：y=-10x2+600x-8000
=-10(x- 30)2+1000
∵x-20≤20×45%
∴x≤29．
∴当x=29时，y max=-10(29-30)2+1000= 990．答：当售价定为29元时，甲获利最大为990元。