圆的基本概念初三数学已印

【基础知识】

(一) 概念及其记号

1、本质：决定圆的两个最原始的条件(圆心<定位>、半径<定大小>)

点评：圆的本质是“圆心与半径”，故处理圆的问题，务必优先考虑和“圆心、半径”相关的“直径、特征等腰三角形”，因此，“过圆心作直径或连接圆心与圆上点”是处理圆中问题所作的常见辅助线”.

2、弦(对应两段弧)

点评：直径是过圆心圆的特殊弦，它是圆中最长的弦(如图：AB OD OC CD =+>

3、弧：劣弧<不足半圆的弧>、半圆、优弧)

4、角(针对弧而言)：圆心角、圆周角

(二) 特征

1、定性

⑴ 对称性：关于任何一条直径所在直线成轴对称；关于圆心成中心对称 (实际上是关于圆心成任意角的旋转对称).

⑵ 垂径定理(10个定理)：五条件(①过圆心、②平分劣弧、③平分优弧、④垂直弦、⑤平分弦)知二得三.

①②

⇒③④⑤ ①③⇒②④⑤ ①④⇒②③⑤ *①⑤⇒②③④

②③⇒①④⑤ ②④⇒①③⑤ ②⑤⇒①③④

③④⇒①②⑤ ③⑤⇒①②④ ④⑤⇒①②③

点评：1、第四个“垂径定理”务必在“弦”处加上“非直径”的限制；

2、后六个“垂径定理”有确定“圆心”的作用；

3

、涉及弦的问题一般首先考虑垂径定理；

4、此定理采用“圆的对称性”进行证明.

2、定量

圆的特征RT △(弦心距、半径、半弦长)：222)2(a

R d -=(弦−−→

−−−−←1111对对弦心距)

点评：研究问题的一般步骤：定义 → 特征( 定性 → 定量 ) → 判定(识别、运用).

【典型例题】

例1、如图，AB 、CD 为⊙O 的两条弦，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，且AMN CNM ∠=. 求证：AB=CD. 分析：“弦的中点”及“圆心”联想“垂径定理”.

练习：1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 的交角30APC ∠=o ，且BP=1、AP=5，则CD 的长度为 ．(Key to ：

2、如图，矩形与⊙O 相交，若AB=4、BC=5、DE=3，则EF 的长度为 ．(Key to ：7)

3、若AB 、CD 为⊙O 的两条互相垂直得弦，AB 被CD 分成5与13的两段，则圆心O 到CD 的距离为 ．(Key to ：4)

4、如图，AB 、CD 是直径为4的⊙O 的两相交弦，D 是»AB 的中点，CD =APC ∠为 ．(Key to ：60o )

【基础练习】

1、⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离为3，则AB的长为．

2、D是半径为5的⊙O内的一点，且OD＝3，则过点D的所有弦中，最小的弦AB的长度为．

3、点A是半径为5的⊙O内的一点，若OA＝3，则过点A且长小于8的弦有条．

4、若∆ABC是半径为2的圆内接三角形，且3

2

BC，则A

=

∠为．

5、在直径为10cm的圆中有两条长分别为6cm和8cm的平行弦，则这两条弦之间的距离为 .

6、如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，AE交⊙O于点B，且 AB=OC，ο

∠

78

∠EOD，则A

=

为．

7、如图，△ABC的三边被⊙O截得的弦长相等，若70

∠＝．

∠=o，则BOC

A