2022-2023学年北师大版(新)数学九年级下-1,1锐角三角函数 第二课时课件
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值( A ) A．不变
B．缩小为原来的 1 3
C．扩大为原来的3倍
D．不能确定
2 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则 sin A 的值为( B )
5 A. 13
5 C. 12
12 B. 13
12 D. 5
3 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，4)，那么sin α
BC . AB
例1 如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AC =200， sinA= 0.6, 求BC 的长.
解：在Rt△ABC 中，
C
∵ sin A
BC , AC
BC 即 200
0.6
∴BC =200×0.6=120.
A
┌
B
1 把Rt△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦
1 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°， AD⊥BC 于点D，
则下列结论不正确的是( C )
AD A．sin B＝ AB
AC B．sin B＝ BC
AD C．sin B＝ AC
CD D．sin B＝ AC
2 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝ 3 ，
5 则斜边上的高等于( B )
下列三角函数表示正确的是( A )
A. sin A 12 13
B.
cos
A
12 13
C.
tan
A
5 12
D.
tan
B
12 5
3 已知在Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果BC＝2， ∠A＝α，则AC 的长为( D )
A．2sin α
B．2cos α
C．2tan α 2
D. tanα
4 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么 cos α 的值是( D )
例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝45 ，BC＝40， 求△ABC 的周长和面积．
导引：已知BC＝40，求△ABC 的周长，
则还需要求出其他两边的长，借
助sin A 的值可求出AB 的长，再 利用勾股定理求出AC 的长即可，
直角三角形的面积等于两直角边 长乘积的一半．
解：∵sin A＝ BC , ∴AB＝ BC .
1 锐角三角函数
第2课时
复习回顾
∠A
的对边与邻边的比叫做∠A
的正切，记作tan
A，
Hale Waihona Puke Baidu
即tan
A＝
a. b
B
斜边c ∠A 的对边a
┌
A ∠A 的邻边b C
知识点 1 正 弦
正弦：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 的对
边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A，即
sin A＝
A的对边 斜边
AB
sin A
4
∵BC＝40，sin A＝ 5 ，∴AB＝50.
又∵AC＝ AB2 BC2 502 402 30,
∴△ABC 的周长为AB＋AC＋BC＝120，
△ABC
的面积为
1 2
BC·AC＝
1 2
×40×30＝600.
总结
正弦的定义表达式sin A＝ BC 可根据解题需要变形为
AB
BC＝AB sin A 或AB＝sBinCA
1 若α 是锐角，sin α＝3m－2，则m 的取值范围是( A )
A. 2 ＜m＜1
3
B．2＜m＜3
C．0＜m＜1
D．m＞ 2
3
2 如果0°＜∠A＜90°，并且cos A 是方程
x
1 2
(x－0.35)＝0的一个根，那么cos
A＝_0__.3_5___．
已知x＝cos α (α 为锐角)满足方程2x 2－5x＋2＝0，求cos α 的值．
A. 64 25
C. 16 5
余弦的定义表达式cos A＝ AC 也可变形为
AB
AC＝AB cos A 或AB＝ AC
.
cos A
1 如图，已知在Rt△ABC 中，∠C＝ 90°，AB＝5，BC＝3， 则cos B 的值是( A )
A. 3 5
B. 4 5 3
C. 4 4
D. 3
2 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则
AC 4
cos
B＝
BC AB
3 5
,
cos A＝ AC 4 ,
AB 5
sin
B＝
AC
4 ,
AB 5
tan
B＝
AC BC
4 3
.
总结
求一个直角三角形中锐角的三角函数值时， ①若已知两边长，先根据勾股定理求第三边长，然后根
据概念直接求； ②若已知两边的比，则设辅助未知数表示出两边长，然
后再用方法①求．
导引：在Rt△ABC 中，已知两直角边长，可先用勾股定理求
斜边长，再利用定义分别求出sin A，cos A 的值．
解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝ AC2 BC2 122 52 13.
∴sin A＝ BC 5 , cos A＝ AC 12 .
AB 13
AB 13
总结
在直角三角形中，求锐角的正弦和余弦时，一定要根 据正弦和余弦的定义求解．其中未知边的长度往往借助勾股 定理进行求解．
易错点：忽视锐角的余弦值的取值范围.
解：方程2x 2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝ ∵0＜cos α＜1，∴cos α＝ 1 .
1 2
.
常见错解：方程2x
2
2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝
1 2
,
此时忽略了cos α (α 为锐角)的取值范围是0＜cos α＜1，
而错得cos α＝2或cos α＝12 .
的值是( C )
A. 3 5
B. 3 4
C. 4 5
D. 4 3
知识点 2 余弦
余弦：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 的邻
边与斜边的比叫做∠A 的余弦，
记作cos A，即cos A＝
A的邻边 斜边
AC . AB
例2 如图，在Rt△ABC 中，
∠C＝ 90°，AC＝12，
BC＝5，求sin A，cos A的值．
A. 3
B. 4
4
3
C. 3
D. 4
5
5
知识点 3 锐角三角函数的取值范围
锐角三角函数的取值范围：
在Rt△ABC 中，因为各边边长都是正数，且斜边边长 大于直角边边长，所以对于锐角A，有tan A＞0， 0＜sin A＜1，0＜cos A＜1.
例4 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， 求∠A，∠B 的三角函数值．
导引：由已知AC 与BC 的长可确定∠A 与∠B 的正切，但要 确定∠A 与∠B 的正弦与余弦，根据定义必须确定 斜边AB 的长，这就需要先用勾股定理计算AB 的长．
解：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5.
∴sin A＝ BC 3 ,
AB 5
tan A＝ BC 3 ,
B．缩小为原来的 1 3
C．扩大为原来的3倍
D．不能确定
2 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则 sin A 的值为( B )
5 A. 13
5 C. 12
12 B. 13
12 D. 5
3 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，4)，那么sin α
BC . AB
例1 如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AC =200， sinA= 0.6, 求BC 的长.
解：在Rt△ABC 中，
C
∵ sin A
BC , AC
BC 即 200
0.6
∴BC =200×0.6=120.
A
┌
B
1 把Rt△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦
1 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°， AD⊥BC 于点D，
则下列结论不正确的是( C )
AD A．sin B＝ AB
AC B．sin B＝ BC
AD C．sin B＝ AC
CD D．sin B＝ AC
2 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝ 3 ，
5 则斜边上的高等于( B )
下列三角函数表示正确的是( A )
A. sin A 12 13
B.
cos
A
12 13
C.
tan
A
5 12
D.
tan
B
12 5
3 已知在Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果BC＝2， ∠A＝α，则AC 的长为( D )
A．2sin α
B．2cos α
C．2tan α 2
D. tanα
4 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么 cos α 的值是( D )
例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝45 ，BC＝40， 求△ABC 的周长和面积．
导引：已知BC＝40，求△ABC 的周长，
则还需要求出其他两边的长，借
助sin A 的值可求出AB 的长，再 利用勾股定理求出AC 的长即可，
直角三角形的面积等于两直角边 长乘积的一半．
解：∵sin A＝ BC , ∴AB＝ BC .
1 锐角三角函数
第2课时
复习回顾
∠A
的对边与邻边的比叫做∠A
的正切，记作tan
A，
Hale Waihona Puke Baidu
即tan
A＝
a. b
B
斜边c ∠A 的对边a
┌
A ∠A 的邻边b C
知识点 1 正 弦
正弦：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 的对
边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A，即
sin A＝
A的对边 斜边
AB
sin A
4
∵BC＝40，sin A＝ 5 ，∴AB＝50.
又∵AC＝ AB2 BC2 502 402 30,
∴△ABC 的周长为AB＋AC＋BC＝120，
△ABC
的面积为
1 2
BC·AC＝
1 2
×40×30＝600.
总结
正弦的定义表达式sin A＝ BC 可根据解题需要变形为
AB
BC＝AB sin A 或AB＝sBinCA
1 若α 是锐角，sin α＝3m－2，则m 的取值范围是( A )
A. 2 ＜m＜1
3
B．2＜m＜3
C．0＜m＜1
D．m＞ 2
3
2 如果0°＜∠A＜90°，并且cos A 是方程
x
1 2
(x－0.35)＝0的一个根，那么cos
A＝_0__.3_5___．
已知x＝cos α (α 为锐角)满足方程2x 2－5x＋2＝0，求cos α 的值．
A. 64 25
C. 16 5
余弦的定义表达式cos A＝ AC 也可变形为
AB
AC＝AB cos A 或AB＝ AC
.
cos A
1 如图，已知在Rt△ABC 中，∠C＝ 90°，AB＝5，BC＝3， 则cos B 的值是( A )
A. 3 5
B. 4 5 3
C. 4 4
D. 3
2 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则
AC 4
cos
B＝
BC AB
3 5
,
cos A＝ AC 4 ,
AB 5
sin
B＝
AC
4 ,
AB 5
tan
B＝
AC BC
4 3
.
总结
求一个直角三角形中锐角的三角函数值时， ①若已知两边长，先根据勾股定理求第三边长，然后根
据概念直接求； ②若已知两边的比，则设辅助未知数表示出两边长，然
后再用方法①求．
导引：在Rt△ABC 中，已知两直角边长，可先用勾股定理求
斜边长，再利用定义分别求出sin A，cos A 的值．
解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝ AC2 BC2 122 52 13.
∴sin A＝ BC 5 , cos A＝ AC 12 .
AB 13
AB 13
总结
在直角三角形中，求锐角的正弦和余弦时，一定要根 据正弦和余弦的定义求解．其中未知边的长度往往借助勾股 定理进行求解．
易错点：忽视锐角的余弦值的取值范围.
解：方程2x 2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝ ∵0＜cos α＜1，∴cos α＝ 1 .
1 2
.
常见错解：方程2x
2
2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝
1 2
,
此时忽略了cos α (α 为锐角)的取值范围是0＜cos α＜1，
而错得cos α＝2或cos α＝12 .
的值是( C )
A. 3 5
B. 3 4
C. 4 5
D. 4 3
知识点 2 余弦
余弦：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 的邻
边与斜边的比叫做∠A 的余弦，
记作cos A，即cos A＝
A的邻边 斜边
AC . AB
例2 如图，在Rt△ABC 中，
∠C＝ 90°，AC＝12，
BC＝5，求sin A，cos A的值．
A. 3
B. 4
4
3
C. 3
D. 4
5
5
知识点 3 锐角三角函数的取值范围
锐角三角函数的取值范围：
在Rt△ABC 中，因为各边边长都是正数，且斜边边长 大于直角边边长，所以对于锐角A，有tan A＞0， 0＜sin A＜1，0＜cos A＜1.
例4 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， 求∠A，∠B 的三角函数值．
导引：由已知AC 与BC 的长可确定∠A 与∠B 的正切，但要 确定∠A 与∠B 的正弦与余弦，根据定义必须确定 斜边AB 的长，这就需要先用勾股定理计算AB 的长．
解：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5.
∴sin A＝ BC 3 ,
AB 5
tan A＝ BC 3 ,