《集合的概念》课件与导学案

若 = ，则 = ，由 + = 得 = = ，不符合题意；
综上， = −, = , + =
《1.1 集合的概念》导学案
第1课时 集合的概念
学习目标
核心素养
1.通过实例了解集合的含义．(难点)
1.通过集合概念的学习，逐步
2．掌握集合中元素的三个特性Байду номын сангаас(重点)
对于B，当 = 3 , = 4时，3 = 3，则 = 2； 4 = 4，则 = 3，不满足题意

对于C，当 = 3, = 4时，3 = 3，则 = 9；


4
对于D，当 = 4, = 3时，3 = 4，则 = 12；
= 4，则 = 16，不满足题意

4
= 3，则 = 12，满足题意
(3)不正确，方程的解只有 3 和－1，集合中有 2 个元素．
类型二：元素与集合的关系
【例 2】
(1)下列所给关系正确的个数是(
)
①π∉Q；② 2∈R；③0∈N；④|－3|∉N*.
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知集合 B 含有三个元素 2,4,6，且当 a∈B，有 6－a∈B，那么 a
温馨提示：有时也用冒号或者分号代替竖线，写成
｛ x ∈A：P(x)｝或｛ x ∈A；P(x)｝
集合的3种表示方法之描述法
问题：用描述法表示集合需要注意什么问题？
（1）竖线前面表示的是集合的元素，｛ x | = − 1｝，
｛ | = − 1｝， ｛ , | = − 1｝分别是三个不同的集合.
我看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号
等等，都可以看做对象。比如数、点、图形、多项式、方
程、函数、人等等、
“总体”
集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”
的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是
全体，而非个别对象了。
集合当中的元素有哪几种性质？
确定性
对于一个给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，对于一个
集合中元素个数为(
)
A．5
B．4
C．3
D．2
B
[由集合中元素的互异性可
知，该集合中共有
“s”“w”“e”“t”四个元素．]
3．用“∈”或“∉”填空：
2
5 ________N；－1________Z；
3 ________Q；0________N*；
1
1
3 ________R.
[答案]
∉ ∈ ∉
∉ ∈
(2)某班体重高于 50 千克的女生能构成一个集合，因为标准确定．
2．元素与集合的关系
(1)属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A ，记作 a∈A .
(2)不属于：如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A ，记
作 a∉A .
3．常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
第1章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
N*
N
Z
Q
R
什么是集合？什么是元素？
看下面的例子：
（1）1~10之间的所有偶数；
2，4，6，8，10
（2）卢老师所在初中今年入学的全体高一新生；
全部新生
（3）所有的正方形；
全部正方形，无数个
（4）到直线M的距离等于定长d的所有点；
点构成了直线
（5）方程x 2 + 9x − 10 = 0的所有解；
【③由集合相等求参数】

含有3个实数的集合既可以表示为{, , }，又可以表示为{, + , }，则
+ 的值是多少？

【解】由题意{, , }={, + , }，易知≠0且≠1，

则有 + =0且=1或=1，
若 = ，则由 + = 得 = −，经验证符合题意；
4．已知集合 A 有两个元素 2 和
3
m＋1，且 4∈A，则实数 m＝______. ＝3.]
[由题意可知 m＋1＝4，即 m
合 作 探 究
提 素 养
类型一：集合的基本概念
例 1：考察下列每组对象，能构成集合的是(
)
①重庆最美的乡村；
②构成北京奥运五环的颜色
③大于 5 的整数；
④2018 年第 23 届冬季奥运会银牌获得者．
出：我们可以用自然
语言来描述集合，还
可以用什么方法呢？
N*
N
Z
Q
R
集合的3种表示方法之列举法
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为｛大西洋，太平洋，北冰洋，印度洋｝；
“方程 − = 的所有实数根”组成的集合可以表示为｛0，2｝
像这样，把集合的元素一一列出来，并用花括号｛｝括起来表示集合的方法
集合的3种表示方法之描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x
所组成的集合表示为｛ x ∈A|P(x)｝
这种表示集合的方法称为描述法。例如，我们可以把奇数集表示为
｛ x ∈Z| x =2k + 1(k∈Z)｝，偶数集表示为｛ x ∈Z| x =2k(k∈Z)｝；
把不等式 − 3 > 0的解集表示为｛ x ∈R| x ＞3｝
符号
N
____
N*或 N＋
_________
Z
Q
______
R
小试牛刀
1．下列能构成集合的是(
)
[“很大”“责任心”“帅
A．一切很大的数
气”等词没有严格的标准，
故选项 A、
B．有责任心的人
B、C 中的元素均不能构成集合，故
C．帅气的小男孩
选 D.]
D．北京大学 2020 年入学的全体
学生
D
2．用“sweet”中的字母构成的
集合和元素怎么表示？它们之间有什么关系？
一般来说：
用大写拉丁字母A、B、C…等表示集合
用小写拉丁字母, , …等表示元素
元素与集合的关系：
如果是是集合A的元素，那么就说属于集合A，记作∈A；
如果是不是集合A的元素，那么就说不属于集合A，记作∉A；
比如，3∈自然数集；4∉奇数集
常用的数集比如自然数集怎么表示？
【②已知元素与集合的关系求参数】
（1）若集合A中含有三个元素 − 3,2 − 1, 2 − 4，且-3∈A，求
【解】(1)①若 − = −，则 = ，此时A={-3,-1,-4}，满足题意
②若 − = −，则 = −，此时 − = − = −，不满足题意
表示集合的三种方法各有什么特点？
列举法和描述法的转化
列举法表
示的集合
描述法表
示的集合
明确集合中元素的共同特征
找准代表元素，满足什么条件
分析集合中的元素及其特征
逐一列出集合中的元素
描述法表
示的集合
列举法表
示的集合
表示集合的三种方法各有什么特点？
几何语言及其他语言的关系及构成
形象化
自然语言
(通俗、易懂)
【无限集】含有无限个元素的集合
用列举法表示下列集合
（1）小于8的所有自然数的集合；
（2）方程x 2 + x = 0的所有实数根组成的集合.
【解】（1）｛0，1，2，3，4，5，6，7｝
（2）｛-1，0｝
注意： 由于集合具有无序性，所以第(1)题的答案可以有多种呈现方式，
如｛1，2，4，5，6，0，7，3｝等
具体化
图形语言
(形象、直观)
集合语言
简介、抽象
文字语言
符号语言
图形语言
【①元素与集合关系的判断】
k
k
下列选项中是集合A={ x, y x = 3 , y = 4 , k ∈ Z}中的元素的是（
A.
1 3
,
3 4
B.
2 3
,
3 4
C. 3,4
D）
D. 4,3
1
3

1

3
2
3

2

3
【解】对于A，当 = 3 , = 4时，3 = 3，则 = 1； 4 = 4，则 = 3，不满足题意
{x|x < −1或x > 2}
请用描述法表示下列集合：
（1）方程x 2 − 4 = 0的所有实数根组成的集合A；
（2）由大于10而小于20的所有整数组成的集合B.
【解】（1）A={| x 2 − 4 = 0}
（2）B={∈Z|10 < < 20}
表示集合的三种方法各有什么特点？
自然语言是最基
③若 − = −，则 = ±， = 时，A={-2,1,-3}，满足题意;
= −时，由②知不满足题意;
（2）若2∉{| − > 0}，求的取值范围
(2)∵ 2∉{| − > }，所以2不满足不等式 − > ，即 − ≤ ，
即的取值范围为{| ≥2}
字母 A，B，C，… 表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样 的．
(4)集合中元素的特性：确定性 、互异性 和无序性 ．
思考：(1)某中学所有的高个子能否构成一个集合？
(2)某班体重高于 50 千克的女生能否构成一个集合？
提示：(1)某中学所有的高个子不能构成集合，因为高个子没有明确的
标准．
形成数学抽象素养．
3．体会元素与集合的“属于”关系，记
住常用数集的表示符号并会应用．(重
点、易混点)
2．借助集合中元素的互异性
的应用，培养逻辑推理素养.
自 主 预 习
探 新 知
1．元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，把研究对象 统称为元素，常用小写的拉丁字母
a，b，c，… 表示．
(2)集合：一些 元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁
已知的集合来说，某个元素在不在这个集合里，是确定的，要么在 ，
要么不在，不能含糊其辞。比如“较小的数”就不能构成集合，因为
组成它的元素是不缺定的。
互异性
一个给定的集合当中的元素是互不相同的，即集合中的元素不会重复
出现
无序性
集合中的元素排列没有顺序之分，只要某两个集合当中的元素相同，
那么它们就是相等的集合。｛1，2，3｝和｛3，2，1｝是同样的集合
【自然数集】全体自然数组成的集合，包括0，1，2…等，记作N，也叫非负整数集
【正整数集】全体正整数组成的集合，记作N*或N+；
【整数集】 全体整数组成的集合，记作Z；
注意写法
【有理数集】全体有理数组成的集合，记作Q；
【实数集】 全体实数组成的集合，记作R；
以上数集之间的关系如图所示：
从上面的例子可以看
叫做列举法。
【注意】 （1）花括号表示的是“所有”“整体”的含义，如实数集可以写成
｛实数｝，但不能写成｛实数集｝｛全体实数｝｛R｝
（2）列举法表示集合时要注意：
①元素之间用逗号隔开；
②一个集合中的元素书写一般不考虑顺序
集合的3种表示方法之列举法
【问题】哪些集合适合用列举法表示呢？
（1）含有有限个元素且元素个数较少的集合
A．③④
B．②③④
C．②③
D．②④
B [①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标
准明确，均可构成集合，故选B.]
判断一组对象能否组成集合的标准
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如
果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还
要注意集合中元素的互异性、无序性.
1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)1000 以内能被 4 整除的所有数构成一个集合；
(2)直角坐标系中横、纵坐标相等的点组成一个集合；
(3)方程(x－3)2(x＋1)3＝0 所有解组成的集合有 3 个元素．
[解] (1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．
(2)正确，(2)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．
本的语言形式，使用
范围广，但是具有多
义性，有时难于表达。
方程 − = 的解集
列举法直观地体
描述法具有抽象概括、
现了元素的个体，但
普遍性的特点，适用于元素
是有局限性，多适用
共同特征明显的集合，有些
于元素个数较少的有
集合元素没有明显的共同特
限集。
征，则不能用描述法。
｛1｝
｛| − = ｝
（2）元素较多，但是元素的排列呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况
下，也可以列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如自然数集
N可以表示为｛0，1，2，…，n…｝
（3）当集合所含元素属性特征不易表述时，用列举法比较方便，如
｛, + , 2 , ｝
集合的分类
【有限集】含有有限个元素的集合
= , = −
（6）地球上的七大洲
亚洲、欧洲、北美洲、南美洲、南极洲、非洲、大洋洲
一般地，我们把研究对象统称为元素，如(1)中的几个偶数2，4等；
把由元素组成的总体叫做集合(简称为集)，如上面左侧的6个集合。
什么是集合？什么是元素？
“对象”
集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中
（2）竖线后面写清元素满足的条件，一般是方程或者不等式.
（3）不能出现未说明的字母，如｛ = 2｝未说明的取值情况，故集合中的
元素不确定.
（4）所有描述内容都要写在花括号里面，如写法｛ = 2｝，∈Z不符合
要求，应改为｛ = 2，∈Z ｝
（5）多层描述时，要准确适用“或”“且”等表示元素关系的词语，如