福建省莆田二十五中2016-2017学年高二上学期第一次月

2016-2017学年福建省莆田二十五中高二（上）第一次月考数学
试卷（文科）
一、单项选择．
1．sin160°sin10°﹣cos20°cos10°的值是（）
A．﹣B．﹣ C．D．
2．在△ABC中，A=60°，a=，b=，则（）
A．B=45°或135°B．B=135°
C．B=45°D．以上答案都不对
3．已知sinα+cosα=，且α∈（0，π），则sin2α的值为（）
A．﹣B．﹣ C．D．
4．若sin=，则cos2α的值为（）
A．B．C．D．
5．在△ABC中，则C等于（）
A．B． C．D．
6．如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）
A．100米B．50米C．50米D．50（+1）米
7．在△ABC中，a=15，b=10，C=60°，则S△ABC等于（）
A．B．C．D．
8．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则tan2α=（）
A．B．C．﹣ D．﹣
=6，则a4=（）
9．已知数列{a n}满足a1=4，a n+2a n
+1
A．1 B．C．D．
10．已知锐角α，β满足cosα=，sin（α﹣β）=﹣，则sinβ的值为（）
A．B．C．D．
11．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如图），要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以计算出A，B两点的距离为（）
A．50m B．50m C．25m D．m
12．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S的值为（）
A．B．C．D．
二、填空题．
13．若tanα=，则tan（﹣α）=．
14．sin15°•cos15°=．
15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=，则b=．
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB，则角B的大小为．
三、解答题．
17．已知数列{a n}满足下列公式，写出它们的前5项：
（1）a n=（﹣1）n（n2+1），
（2）a1=1，a n=1+（n＞1）．
18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（b+c）2﹣a2=bc，a=3，
．
（1）求角A的大小；
（2）求边c的长．
19．已知向量=（﹣1，3），=（cosα，﹣sinα），且∠AOB=．
求：．
20．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，己知c﹣b=2bcosA．
（1）若a=2，b=3，求c；
（2）若C=，求角B．
21．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b （Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．
2016-2017学年福建省莆田二十五中高二（上）第一次月
考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、单项选择．
1．（2016春•哈尔滨校级期末）sin160°sin10°﹣cos20°cos10°的值是（）
A．﹣B．﹣ C．D．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】由条件利用诱导公式、两角差的余弦公式，求得结果．
【解答】解：sin160°sin10°﹣cos20°cos10°=sin20°sin10°﹣cos20°cos10°=﹣cos30°=
﹣，
故选：A．
【点评】本题主要考查诱导公式、两角差的余弦公式，属于基础题．
2．（2013春•湛江期末）在△ABC中，A=60°，a=，b=，则（）A．B=45°或135°B．B=135°
C．B=45°D．以上答案都不对
【考点】正弦定理．
【分析】由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，根据a大于b，得到A大于B，即可求出B的度数．
【解答】解：根据正弦定理=得：sinB===，
∵b＜a，∴B＜A=60°，
∴B=45°．
故选C
【点评】此题考查了正弦定理，以及三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
3．（2016秋•秀屿区校级月考）已知sinα+c osα=，且α∈（0，π），则sin2α的值为（）
A．﹣B．﹣ C．D．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sin2α的值．
【解答】解：∵已知sinα+cosα=，且α∈（0，π），平方可得1+sin2α=，
∴sin2α=﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
4．（2016秋•秀屿区校级月考）若sin=，则cos2α的值为（）
A．B．C．D．
【考点】二倍角的余弦．
【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．
【解答】解：∵sin=，
∴cosα=1﹣2sin2=1﹣2×=，
∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
5．（2015春•娄底期末）在△ABC中，则C等于（）
A．B． C．D．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】利用两角和的正切公式，求出tan（A+B）的三角函数值，求出A+B的大小，然后求出C的值即可．
【解答】解：由tanA+tanB+=tanAtanB可得
tan（A+B）==﹣
=
因为A，B，C是三角形内角，所以A+B=120°，所以C=60°
故选A
【点评】本题考查两角和的正切函数，考查计算能力，公式的灵活应用，注意三角形的内角和是180°．
6．（2016春•孝感期中）如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）
A．100米B．50米C．50米D．50（+1）米
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】设AB=xm，根据俯角的定义得到∠MAC=45°，∠MAD=30°，由平行线的性质得到∠D=30°，∠ACB=45°，再根据等腰三角形的性质得BC=AB=x，根据含30
度的直角三角形三边的关系得DB=AB，即100+x=x，解出x即可．
【解答】解：设AB=xm，则由题意，∠D=30°，∠ACB=45°，
在Rt△ABC中，BC=AB=x，
在Rt△ADB中，DB=CD+BC=100+x，
∴DB=AB，即100+x=x，解得x=50（+1）m．
∴山AB的高度为50（+1）米．
故选：D．
【点评】此题考查了仰角的知识．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想与方程思想的应用．
7．（2016秋•揭阳期中）在△ABC 中，a=15，b=10，C=60°，则S △ABC 等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】解：在△ABC 中，∵a=15，b=10，C=60°，
∴S △ABC =absinC==．
故选：B ．
【点评】本题主要考查了三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．
8．（2016•云南二模）已知角α的终边经过点P （﹣3，4），则tan2α=（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】根据角α的终边经过点P （﹣3，4），可先求出tanα的值，进而由二倍角公式可得答案．
【解答】解：∵角α的终边经过点P （﹣3，4），
∴tanα==﹣⇒tan2α===．
故选：A ．
【点评】本题主要考查正切函数的定义及二倍角公式的应用，属于基础题．
9．（2016秋•秀屿区校级月考）已知数列{a n }满足a 1=4，a n +2a n +1=6，则a 4=（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
【考点】数列递推式．
【分析】由已知数列递推式构造等比数列{a n ﹣2}，再由等比数列的通项公式求得a n ，则a 4可求．
【解答】解：由a n +2a n +1=6，得a n +1=﹣a n +3，
即
，
又a 1﹣2=4﹣2=2≠0，
∴数列{a n ﹣2}是以2为首项，以为公比的等比数列，
则，∴，
则．
故选：C ．
【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．
10．（2016秋•秀屿区校级月考）已知锐角α，β满足cosα=，sin （α﹣β）=
﹣，则sinβ的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】求出角的正弦函数，利用两角和与差的三角函数化简求解即可．
【解答】解：锐角α，β满足cosα=，sin （α﹣β）=﹣，可得sinα=
=
；
cos （α﹣β）=
=．
sinβ=sin [α﹣（α﹣β）]=sinαcos （α﹣β）﹣cosαsin （α﹣β）==
．
故选：A ．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．
11．（2013•茂名二模）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B （如图），要测算A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，
测得BC=50m ，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以计算出A ，B 两点的距离为（ ）
A．50m B．50m C．25m D．m
【考点】正弦定理的应用．
【分析】由题意及图知，可先求出∠BAC，再由正弦定理得到AB=代入数据即可计算出A，B两点的距离
【解答】解：由题意及图知，∠BAC=30°，又BC=50m，∠BCA=45°
由正弦定理得AB==50m
故选A
【点评】本题考查利用正弦定理求长度，是正弦定理应用的基本题型，计算题．
12．（2016秋•秀屿区校级月考）阅读如图所示的程序框图，则输出结果S的值为（）
A．B．C．D．
【考点】程序框图．
【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．
【解答】解通过程序框图可知，框图是当型结构，循环规律是，n逐次加1，S
是累积，当n＞4时结束程序．
所以S=1×
=2sin×÷2sin
=sin×cos××cos÷2sin=÷2sin=．
故选D．
【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于中档题，注意求和的表达式的规律．
二、填空题．
13．（2016•南宁二模）若tanα=，则tan（﹣α）=．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】由条件利用两角和差的正切公式，求得tan（﹣α）的值．
【解答】解：∵tanα=，则tan（﹣α）===，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于基础题．
14．（2011•厦门模拟）sin15°•cos15°=．
【考点】二倍角的正弦．
【分析】给原式乘以2后，利用二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，即可求出原式的值．
【解答】解：sin15°•cos15°
=×2sin15°•cos15°
=sin30°
=×
=．
故答案为：
【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．
15．（2016春•惠阳区校级期中）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c．若a=2，c=2，cosA=，则b=2或4．
【考点】余弦定理．
【分析】利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用正弦定理可求sinC，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosC，利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosB，进而利用余弦定理即可计算求值得解．
【解答】解：∵cosA=，A∈（0，π），
∴sinA=，
∵a=2，c=2，
∴利用正弦定理可得：sinC===，可得：cosC=±=
±，
∴cosB=﹣cos（A+C）=sinAsinC﹣cosAcosC=﹣（）=0，或，
∴由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=4+12﹣2×2×2×cosB=16，或4．
∴b=2或4．
故答案为：2或4．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
16．（2016春•台州校级期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，且bsinA=acosB，则角B的大小为60°．
【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】由正弦定理化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B的大小．
【解答】解：由题意得，bsinA=acosB，
根据正弦定理得sinBsinA=sinAcosB，
∵0＜A＜π，∴sinA≠0，则sinB=cosB，
∴tanB=，
∵0°＜B＜180°，∴B=60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查正弦定理，特殊角的三角函数值的应用，注意内角的范围，属于基础题．
三、解答题．
17．（2016秋•秀屿区校级月考）已知数列{a n}满足下列公式，写出它们的前5项：
（1）a n=（﹣1）n（n2+1），
（2）a1=1，a n=1+（n＞1）．
【考点】数列的函数特性．
【分析】（1）根据数列{a n}的通项公式，即可写出它们的前5项；
（2）根据数列{a n}的首项与递推公式，即可写出它们的前5项．
【解答】解：（1）数列{a n}中，a n=（﹣1）n（n2+1），
所以a1=﹣1×（12+1）=﹣2，
a2=（﹣1）2×（22+1）=5，
a3=（﹣1）3×（32+1）=﹣10，
a4=（﹣1）4×（42+1）=17，
a5=（﹣1）5×（52+1）=﹣26；
（2）数列{a n}中，a1=1，a n=1+（n＞1）；
所以a2=1+=1+1=2，
a3=1+=1+=，
a4=1+=1+=，
a5=1+=1+=．
【点评】本题考查了根据数列的通项公式或递推公式写出对应项的问题，是基础题目．
18．（2015秋•珠海期末）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（b+c）2﹣a2=bc，a=3，．
（1）求角A的大小；
（2）求边c的长．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由（b+c）2﹣a2=bc和余弦定理得：cosA=﹣，结合范围A∈（0°，180°），即可解得A的值．
（2）由（1）可求sinA的值，利用正弦定理即可得解c的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）△ABC中，由（b+c）2﹣a2=bc和余弦定理得：，…∵A∈（0°，180°）
∴A=…
（2）…（8分）
依据正弦定理，有，
可得：…（10分）
=．…（12分）
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
19．（2016秋•秀屿区校级月考）已知向量=（﹣1，3），=（cosα，﹣sinα），且∠AOB=．
求：．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用平面向量数量积的运算可求tanα的值，进而利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．
【解答】解：∵向量=（﹣1，3），=（cosα，﹣sinα），且∠AOB=．
∴=0，
∴﹣cosα﹣3sinα=0，可得：tan，
∴===．
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
20．（2016•贵阳一模）在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，己知c﹣b=2bcosA．
（1）若a=2，b=3，求c；
（2）若C=，求角B．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）由余弦定理化简已知等式，整理可得：a2=b2+bc，代入已知即可解得c的值．
（2）由题意A+B=，可得sinA=cosB，cosA=sinB，由正弦定理化简已知等式可
得：2sin2B+sinB﹣1=0，解得sinB，即可求B=．
【解答】解：（1）∵c﹣b=2bcosA．
∴由余弦定理可得：c﹣b=2b×，整理可得：a2=b2+bc，
∵a=2，b=3，
∴24=9+3c，解得：c=5．
（2）∵C=，∴A+B=，可得sinA=cosB，cosA=sinB，
∴c﹣b=2bcosA，由正弦定理可得：sin（A+B）=2sinBcosA+sinB，
可得：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA+sinB，
解得：cos2B+sin2B=2sin2B+sinB=1，即：2sin2B+sinB﹣1=0，
可得：sinB=或﹣1（舍去）．即B=．
【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了一元二次方程的解法，诱导公式的应用，属于基础题．
21．（2014•福建）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【考点】二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+）
+1，从而求得f（）的值．
（Ⅱ）根据函数f（x）=sin（2x+）+1，求得它的最小正周期．令2kπ﹣
≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得x的范围，可得函数的单调递增区间．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，
∴f（）=sin（+）+1=sin+1=+1=2．
（Ⅱ）∵函数f（x）=sin（2x+）+1，故它的最小正周期为=π．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和单调性，属于
中档题．
22．（2016•济南模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形内角和定理化简
已知等式可得sinA=2sinAcosC，由于sinA≠0，解得，又C是三角形的内角，即可得解C的值．
（Ⅱ）利用三角形面积公式可求ab=4，又由余弦定理可解得a+b=4，联立即可解得a，b的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，
∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…（2分）
∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），
即2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴sinA=2sinAcosC，
∴，
又∵C是三角形的内角，
∴…
（Ⅱ）∵，∴，∴ab=4，…（9分）
又∵c2=a2+b2﹣2abcosC，
∴4=（a+b）2﹣2ab﹣ab。